1、1考点测试 32 数列求和一、基础小题1若数列 an的通项公式为 an2 n2 n1，则数列 an的前 n 项和为( )A2 n n21 B2 n1 n21C2 n1 n22 D2 n n2答案 C解析 Sn 2 n1 2 n2故选 C21 2n1 2 n1 2n 122数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an ，则 S5等于 ( )1nn 1A1 B C D56 16 130答案 B解析 an ，1n 1n 1 S51 故选 B12 12 13 15 16 563等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S410 a1，则 ( )a1dA B1 C D212 32答案 B解析 由 S410
2、 a1得 10 a1，即 d a1所以 1故选 B4a1 a42 a1d24已知数列 an满足 a1 a2 a3 an2 a2，则( )A a10 C a1 a2 D a20答案 D解析 a1 a2 a3 an2 a2，当 n1 时， a12 a2，当 n2 时，a1 a22 a2， a20故选 D5设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn ，若 a38，则 a1( )a14n 13A B C64 D12814 12答案 B解析 S3 S2 a3， 8，a143 13 a142 13 a1 ，故选 B126已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，当 n2 时， an2 Sn1 n，
3、则 S11( )A5 B6 C7 D8答案 B解析 由当 n2 时， an2 Sn1 n 得 an1 2 Sn n1，上面两式相减得an1 an2 an1，即 an1 an1，所以 S11 a1( a2 a3)( a4 a5)( a10 a11)5116故选 B7设 Sn1234(1) n1 n，则 S4m S2m1 S2m3 (mN *)的值为( )A0 B3C4 D随 m 的变化而变化答案 B解析 容易求得 S2k k， S2k1 k1，所以S4m S2m1 S2m3 2 m m1 m23故选 B8等差数列 an中，已知| a6| a11|，且公差 d0，则其前 n 项和取最小值时的 n
4、的值为( )A6 B7 C8 D9答案 C解析 由题意知 a60， a15 d a110 d， a1 d，有152Sn na1 (n216 n) (n8) 264，因为 d0，所以当 n8 时前 n 项和取nn 1d2 d2 d2最小值故选 C二、高考小题39(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20， 21， 22，依此类
5、推，求满足如下条件的最小整数 N： N100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330 C220 D110答案 A解析 设首项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依此类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为 由题意知， N100，令 nn 12 nn 12100，解得 n14 且 nN *，即 N 出现在第 13 组之后第 n 组的各项和为 2 n1，前 n 组所有项的和为 n2 n1 2 n1 2n1 2 21 2n1 2设 N 是第 n1 组的第 k 项，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 N 项的和
6、即第nn 12n1 组的前 k 项的和 2k1 应与2 n 互为相反数，即 2k12 n(kN *， n14)， klog 2(n3)， n 最小为 29，此时 k5则 N5440故选 A291 29210(2016北京高考)已知 an为等差数列， Sn为其前 n 项和若a16， a3 a50，则 S6_答案 6解析 设等差数列 an的公差为d， a16， a3 a50，62 d64 d0， d2， S666 (2)652611(2017全国卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a33， S410，则_n k 11Sk答案 2nn 1解析 设公差为 d，则Error!Error! an
7、n前 n 项和 Sn12 n ，nn 124 2 ，1Sn 2nn 1 1n 1n 1 21 21 2 n k 11Sk 12 12 13 1n 1n 1 1n 1 nn 1 2nn 112(2015全国卷)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11， an1 SnSn1 ，则Sn_答案 1n解析 an1 Sn1 Sn， Sn1 Sn SnSn1 ，又由 a11，知 Sn0， 1，1Sn 1Sn 1 是等差数列，且公差为1，而 1，1Sn 1S1 1a1 1( n1)(1) n， Sn 1Sn 1n13(2018江苏高考)已知集合 A x|x2 n1， nN *， B x|x2 n， nN
8、 *将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an记 Sn为数列 an的前 n 项和，则使得 Sn12an1 成立的 n 的最小值为_答案 27解析 设 An2 n1， Bn2 n， nN *，当 Ak12a39，则 n22，38)， nN *时，存5在 n，使 Sn12 an1 ，此时 T5 A1 A2 A16 B1 B2 B3 B4 B5，则当 n22，38)，nN *时，Sn T5 n210 n87 an1 An15 An4， 12an1 122( nn 22 1A22 5 An 524)124 n108， Sn12 an1 n234 n195( n17) 294，则 n27 时
9、，Sn12 an1 0，即 nmin27三、模拟小题14(2018福建厦门第一学期期末)已知数列 an满足 an1 (1) n1 an2，则其前100 项和为( )A250 B200 C150 D100答案 D解析 n2 k(kN *)时， a2k1 a2k2，n2 k1( kN *)时， a2k a2k1 2，n2 k1( kN *)时， a2k2 a2k1 2， a2k1 a2k1 4， a2k2 a2k0， an的前 100 项和( a1 a3)( a97 a99)( a2 a4)( a98 a100)254250100故选 D15(2018浙江模拟)已知数列 an的通项公式为 anEr
10、ror!则数列3 an n7的前2n 项和的最小值为( )A B C D514 1854 252 1058答案 D解析 设 bn3 an n7，3 an n7的前 2n 项和为 S2n，则S2n b1 b2 b3 b2n3 (1232 n)14 n91 n2 n213 n，又1 12n1 12121 12n1 12 122n213 n2 n 2 ，当 n4 时， f(n)2 n 2 是关于 n 的增函数，又 g(n)134 1698 134 169891 n也是关于 n 的增函数，12 S81024 的最小 n 的值2n6为_答案 9解析 当 n1 时， a14，当 n2 时， an Sn S
11、n1 2 n1 2 n2 n，所以 anError!所以 bnError!所以 TnError!当 n9 时， T92 10910211161024；当 n8 时，T82 98925861024 的最小 n 的值为 917(2018江西南昌莲塘一中质检)函数 f(x) ， g(x) f(x1)ex 1ex 11， an g g g g ， nN *，则数列 an的通项公式为_1n 2n 3n 2n 1n答案 an2 n1解析 由题意知 f(x)的定义域为 R，又 f( x) f(x)，e x 1e x 1 1 ex1 ex函数 f(x) 为奇函数， g(x) g(2 x) f(x1)1 f(2
12、 x1)ex 1ex 11 f(x1) f(1 x)2，由 f(x) 为奇函数，知 f(x1) f(1 x)0，ex 1ex 1 g(x) g(2 x)2 an g g g g ， nN *，1n 2n 3n 2n 1n an g g g g ， nN *，2n 1n 2n 2n 2n 3n 1n由得 2an g g g g g g (2 n1)2，则数列1n 2n 1n 2n 2n 2n 2n 1n 1nan的通项公式为 an2 n118(2018洛阳质检)已知正项数列 an满足 a 6 a an1 an若 a12，则数列2n 1 2nan的前 n 项和 Sn为_答案 3 n1解析 a 6
13、a an1 an，( an1 3 an)(an1 2 an)2n 1 2n0， an0， an1 3 an， an是公比为 3 的等比数列， Sn 3 n121 3n1 319(2018石家庄质检二)已知数列 an的前 n 项和 Sn n，如果存在正整数 n，使12得( m an)(m an1 )1，且 a3 a4 a528， a42 是a3， a5的等差中项数列 bn满足 b11，数列( bn1 bn)an的前 n 项和为 2n2 n(1)求 q 的值；(2)求数列 bn的通项公式解 (1)由 a42 是 a3， a5的等差中项得 a3 a52 a44，所以a3 a4 a53 a4428，解
14、得 a48由 a3 a520 得 8q 20，1q解得 q2 或 q ，因为 q1，所以 q212(2)设 cn( bn1 bn)an，数列 cn的前 n 项和为 Sn由 cnError! 解得 cn4 n18由(1)可知 an2 n1 ，所以 bn1 bn(4 n1) n1 ，12故 bn bn1 (4 n5) n2 ， n2，12bn b1( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b3 b2)( b2 b1)(4 n5) n2 (4 n9) n3 7 312 12 12设 Tn37 11 2(4 n5) n2 ， n2，12 12 12Tn3 7 2(4 n9) n2 (4 n5) n
15、1 ，12 12 12 12 12所以 Tn34 4 24 n2 (4 n5) n1 ，12 12 12 12 12因此 Tn14(4 n3) n2 ， n2，12又 b11，所以 bn15(4 n3) n2 ， n212经检验，当 n1 时， bn也成立故 bn15(4 n3) n2 122(2018天津高考)设 an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn(nN *)， bn是等差数列已知 a11， a3 a22， a4 b3 b5， a5 b42 b6(1)求 an和 bn的通项公式；(2)设数列 Sn的前 n 项和为 Tn(nN *)求 Tn；证明 2( nN *)n k 1T
16、k bk 2bkk 1k 2 2n 2n 2解 (1)设等比数列 an的公比为 q由 a11， a3 a22，可得 q2 q20因为 q0，可得 q2，故 an2 n1 设等差数列 bn的公差为 d由 a4 b3 b5，可得 b13 d4由 a5 b42 b6，可得 3b113 d16，从而 b11， d1，故 bn n所以，数列 an的通项公式为 an2 n1 ，数列 bn的通项公式为 bn n9(2)由(1)，有 Sn 2 n1，1 2n1 2故 Tn (2k1) 2k nn k 1 n k 1 n2 n1 n221 2n1 2证明：因为 Tk bk 2bkk 1k 2 2k 1 k 2
17、k 2kk 1k 2 ，所以，k2k 1k 1k 2 2k 2k 2 2k 1k 1 n k 1Tk bk 2bkk 1k 2 233 222 244 233 2n 2n 2 2n 1n 1 22n 2n 23(2017天津高考)已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(nN *)， bn是首项为 2的等比数列，且公比大于 0， b2 b312， b3 a42 a1， S1111 b4(1)求 an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nb2n1 的前 n 项和( nN *)解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q由已知 b2 b312，得 b1(q q2)12，而
18、 b12，所以 q2 q60，解得 q2 或 q3，又因为 q0，所以 q2所以 bn2 n由 b3 a42 a1，可得 3d a18由 S1111 b4，可得 a15 d16，联立，解得 a11， d3，由此可得 an3 n2所以，数列 an的通项公式为 an3 n2，数列 bn的通项公式为 bn2 n(2)设数列 a2nb2n1 的前 n 项和为 Tn，由 a2n6 n2， b2n1 24 n1 ，有a2nb2n1 (3 n1)4 n，故 Tn2454 284 3(3 n1)4 n，4Tn24 254 384 4(3 n4)4 n(3 n1)4 n1 ，上述两式相减，得3 Tn2434 2
19、34 334 n(3 n1)4 n1 4(3 n1)121 4n1 44n1(3 n2)4 n1 810得 Tn 4n1 3n 23 83所以数列 a2nb2n1 的前 n 项和为 4n1 3n 23 83二、模拟大题4(2018山西太原模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，数列 bn满足nn 12bn an an1 (nN *)(1)求数列 bn的通项公式；(2)若 cn2 an(bn1)( nN *)，求数列 cn的前 n 项和 Tn解 (1)当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 n，nn 12 n 1n2又 a11 符合上式， an n(nN *)，
20、bn an an1 2 n1(2)由(1)得 cn2 an(bn1) n2n1 ， Tn12 222 332 4( n1)2 n n2n1 ， 2Tn12 322 432 5( n1)2 n1 n2n2 ， 得， Tn2 22 32 42 n1 n2n2 n2n2 (1 n)2n2 4，41 2n1 2 Tn( n1)2 n2 45(2018沈阳质检)已知数列 an是递增的等比数列，且 a1 a49， a2a38(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Sn为数列 an的前 n 项和， bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tnan 1SnSn 1解 (1)由题设知 a1a4 a2a38，又 a1
21、 a49，可解得Error!或Error!(舍去)设等比数列 an的公比为 q，由 a4 a1q3得 q2，故 an a1qn1 2 n1 ， nN *(2)Sn 2 n1，a11 qn1 q又 bn ，an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1所以 Tn b1 b2 bn11 1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn 1 1 ， nN *1S1 1Sn 1 12n 1 16(2018安徽马鞍山第二次教学质量监测)已知数列 an是等差数列，其前 n 项和为Sn， a237， S4152(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列| an2 n|的前 n 项和 Tn解 (1)设数列 an的首项为 a1，公差为 d，则Error!解得 Error!所以数列 an的通项公式为 an2 n33( nN *)(2)由(1)知，| an2 n|2 n332 n|Error!当 1 n5 时， Tn 35 2n 33n2 21 2n1 2 n234 n2 n1 2；当 n6 时， T5133，|2 n332 n|2 n(2 n33)，Tn T5 641 2n 51 2 45 2n 33n 522 n1 n234 n131， Tn2 n1 n234 n264综上所述， TnError!12
