1、1考点测试 12 函数与方程高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 ， 分 值 5分 ， 中 、 高 等 难 度考纲研读结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数一、基础小题1若函数 f(x) ax b 的零点是 2，那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是( )A0，2 B0，12C0， D2，12 12答案 C解析 由题意知 2a b0，即 b2 a令 g(x) bx2 ax0，得 x0 或x ab 122若函数 f(x) ax1 在区间(1，1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B(，1)C
2、(，1)(1，) D(1，1)答案 C解析 由题意知， f(1) f(1)13下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )答案 C解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 a， b上连续不断，并且有f(a)f(b)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A(0，05)， f(0125) B(05，1)， f(0875)2C(05，1)， f(075) D(0，05)， f(025)答案 D解析 f(x) x58 x31， f(0)0， f(0)f(05)0， f(2)0， f(2)0， h(22)0，零点在 ，1 上，故选 C12 12 129设函数
3、 f(x) x33 x，若函数 g(x) f(x) f(t x)有零点，则实数 t 的取值范围是( )A(2 ，2 ) B( ， )3 3 3 3C2 ，2 D ， 3 3 3 3答案 C解析 由题意， g(x) x33 x( t x)33( t x)3 tx23 t2x t33 t，当 t0 时，显然 g(x)0 恒成立；当 t0 时，只需 (3 t2)243 t(t33 t)0，化简得t212，即2 t2 ， t0综上可知，实数 t 的取值范围是2 ，2 3 3 3 310若 a0， f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在( a， b)和( b， c)内11已知
4、 f(x) x2( a21) x( a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，则实数a 的取值范围是_答案 (2，1)解析 函数 f(x)的大致图象如图所示，则 f(1)1a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| f(x)|2 x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( )A B(0，23 23， 34C D 13， 23 34 13， 23) 34答案 C6解析 要使函数 f(x)在 R 上单调递减，只需解得 a ，因为方程| f(x)|2 x 恰有两个不相等的实数解，所以直线 y2 x13 34与函数 y| f(x)|的图象有两个交点，如图所示易知 y| f(
5、x)|的图象与 x 轴的交点的横坐标为 1，又 12，故由图可知，1a 13 1a直线 y2 x 与 y| f(x)|的图象在 x0 时有一个交点；当直线 y2 x 与 y x2(4 a3)x3 a(x0若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_答案 (3，)解析 f(x)的大致图象如图所示，若存在 bR，使得方程 f(x) b 有三个不同的根，只需 4m m20，所以m318(2018全国卷)函数 f(x)cos 在0，的零点个数为_(3x 6)答案 37解析 0 x， 3 x 6 6 196由题可知，当 3x ，3 x 或 3x 时， f(x
6、)0解得 x ， 6 2 6 32 6 52 9或 49 79故函数 f(x)cos3 x 在0，上有 3 个零点 619(2018天津高考)已知 a0，函数 f(x) 若关于 x 的方程 f(x) ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_答案 (4，8)解析 设 g(x) f(x) ax方程 f(x) ax 恰有 2 个互异的实数解即函数 y g(x)有两个零点，即 y g(x)的图象与 x 轴有 2 个交点，满足条件的 y g(x)的图象有以下两种情况：情况一：则情况二：则 不等式组无解综上，满足条件的 a 的取值范围是(4，8)820(2018浙江高考)已知 R，函数 f(
7、x) 当 2时，不等式 f(x)4两个零点为 1，4，由图可知，此时 10，根据函数零点存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1，2)上，故选 D22(2018安徽安庆二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)且 f(x1) f(x1)，若 g(x)3log 2x，则函数 F(x) f(x) g(x)在(0，)内的零点个数为( )A3 B2 C1 D0答案 B9解析 由 f(x1) f(x1)，知 f(x)的周期是 2，画出函数 f(x)和 g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，故 F(x)有 2 个零点故选 B23(2018沈阳质
8、检一)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2) f(2 x)，当 x2，0时， f(x) x1，则在区间(2，6)上关于 x 的方程 f(x)log 8(x2)220 的解的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 原方程等价于 y f(x)与 ylog 8(x2)的图象的交点个数问题，由 f(x2) f(2 x)，可知 f(x)的图象关于 x2 对称，再根据 f(x)是偶函数这一性质，可由 f(x)在2，0上的解析式，作出 f(x)在(0，2)上的图象，进而作出 f(x)在(2，6)上的图象，如图所示再在同一坐标系下，画出 ylog 8(x2)的图象，注意其图象过点(6
9、，1)，由图可知，两图象在区间(2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选 C24(2018郑州质检一)已知函数 f(x)(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )A(0，1 B1，)C(0，1) D(，1答案 A解析 由于 x0 时， f(x)e x a 在(，0上单调递增， x0 时， f(x)2 x a 在(0，)上也单调递增，而函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以当 x0 时， f(x)e x a在(，0上有一个零点，即 ex a 有一个根因为 x0，00 时， f(x)2 x a 在(0，)上有一个零点，即 2x a 有一个根因为 x0，2
10、 x0，所以 a0所以函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是(0，1，故选 A1025(2018唐山期末)已知 a1，函数 f(x) 若存在 t使得 g(x) f(x) t 有三个零点，则 a 的取值范围是( )A(1，0) B(0，1) C(1，) D(0，)答案 C解析 如图，作出函数 y x2和 ylog 2(x1)的图象，从图中可以看出，在点O(0，0)和点 A(1，1)处两函数图象有交点，显然，要使 g(x) f(x) t 有三个零点，则函数 y f(x)的图象与直线 y t 有三个交点，显然，只有当 a1 时，才可能有三个交点，故选 C26(2018衡阳三模)
11、已知函数 f(x) x23 x 8cos x，则函数 f(x)在134 12(0，)上的所有零点之和为( )A6 B7 C9 D12答案 A解析 h(x) x23 x x 21 的图象关于 x 对称，设函数 g(x)134 32 328cos x由 x k，可得 x k(kZ)，令 k1 可得 x ，所以函数12 12 12 32g(x)8cos x 的图象也关于 x 对称当 x 时， h 2 g 8，作出函数 h(x)，12 32 12 12 12g(x)的图象由图可知函数 h(x) x23 x x 21 的图象与函数 g(x)134 328cos x 的图象有四个交点，所以函数 f(x)
12、x23 x 8cos x 在(0，)12 134 1211上的零点个数为 4，所有零点之和为 4 6，故选 A3227(2018广东惠州 4 月模拟)已知函数 f(x)对任意的 xR，都有 f x f x，12 12函数 f(x1)是奇函数，当 x 时， f(x)2 x，则方程 f(x) 在区间3，5内12 12 12的所有根的和为_答案 4解析 函数 f(x1)是奇函数，函数 f(x1)的图象关于点(0，0)对称，把函数 f(x1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 f(x)的图象，即函数 f(x)的图象关于点(1，0)对称，则 f(2 x) f(x)又 f x f x，12 12 f(1
13、x) f(x)，从而 f(2 x) f(1 x)， f(x1) f(x)，即 f(x2) f(x1) f(x)，函数 f(x)的周期为 2，且图象关于直线 x 对称12画出函数 f(x)的图象如图所示结合图象可得方程 f(x) 在区间3，5内有 8 个根，且所有根之和为122441228(2018江西上高第二中学模拟)已知 f(x) 则函数y2 f2(x)3 f(x)的零点个数为_答案 5解析 令 y2 f2(x)3 f(x)0，则 f(x)0 或 f(x) 函数 f(x)3212的图象如图所示：由图可得， f(x)0 有 2 个根， f(x) 有 3 个根，故函数 y2 f2(x)3 f(x
14、)的零点个32数为 5一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018湖南衡阳八中月考)已知函数 f(x) x22 x， g(x)(1)求 gf(1)的值；(2)若方程 gf(x) a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围解 (1)利用解析式直接求解得 gf(1) g(3)312(2)令 f(x) t，则原方程化为 g(t) a，易知方程 f(x) t 在 t(，1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y g(t)(t1)与 y a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y g(t)(t1)的图象，如图，由图象可知，当 1 a 时，函数 y g(t)(t1)与54y a 有 2 个不同的交点，即所求实数 a 的取值范围是 1，542(2018河北沧州一中月考)已知关于 x 的二次方程 x22 mx2 m10(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围13解 (1)由条件，抛物线 f(x) x22 mx2 m1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，如图 1 所示，得(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0，1)内，如图 2 所示，列不等式组14即 m1 12 215
