1、1考点测试 17 定积分与微积分基本定理高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 、 低 等 难 度考纲研读1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义一、基础小题1计算： (ex2x) dx( )10A1 B e1 C eD e1答案 C解析 (ex2x) dx( exx 2)10 e故选 C102若 dx3 ln 2(a1)，则 a 的值是( )a1(2x 1x)A2 B3 C4 D6答案 A解析 dx(x 2 ln x)a1a 2 ln a13 ln 2，即 a2a1(2x
2、1x)3设 f(x) (e 为自然对数的底数)，则 f(x)dx( )e0A B C D43 23 23 43答案 D解析 依题意得， f(x)dx x2dx dx x310 ln xe1 1 e010e11x 13 13 434已知函数 yf(x)的图象为如图所示的折线 ABC，则1(x1)f(x) dx( )12A2 B2C1 D1答案 D解析 由图易知 f(x)所以 1(x 1)f(x)dx 1(x1)(x1) dx 0(x1)(x1)1 0 1dx 1(x 22x1) dx 0(x21) dx x3x 2x0 1 x3x10 1，0 1 13 13 13 23故选 D5设 f(x)是一
3、条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间a，a上的定积分为 af(x)dx，由定积分的几何意义和性质，得 af(x)dx 可表示为( )a aA af(x)dx B2 af(x)dxa 0C f(x)dx D af(x)dx12a0 0答案 B解析 偶函数的图象关于 y 轴对称，故 af(x)dx 对应的几何区域关于 y 轴对称，a因而其可表示为 2 af(x)dx，应选 B06设函数 f(x)ax 2b(a0)，若 f(x)dx3 f(x0)，则 x0等于( )30A1 B C D22 3答案 C解析 f(x)dx (ax2 b)dx 309 a3 b， 9a3b3(ax b)，即3030 (1
4、3ax3 bx) 20x 3，x 0 ，故选 C20 337给出如下命题： dx dt b a(a，b 为常数，且 a0)a a0其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 由于 dxab， dtba，所以错误；由定积分的几何意义知， 1abba0dx 和 dx 都表示半径为 1 的圆的 面积，所以都等于 ，所以正确；只有1 x2101 x2 14 4当函数 f(x)为偶函数时，才有 af(x)dx2 f(x)dx，所以 错误故选 Ba a08由抛物线 yx 24x3 及其在点 M(0，3)和点 N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A B C D294 92 7
5、4答案 A解析 由 yx 24x3，得 y2x4，yx04，在 M 点处的切线方程为y4x3；yx32，在 N 点处的切线方程为 y2x6又两切线交点的横坐标为x ，故所求面积 S 04x3(x 24x3) dx 2x6(x 24x3)32 32dx 0x2dx (x26x9) dx x3 0 x33x 2 9x3 32 13 32 13 32 949曲线 y sinx，y cosx 与直线 x0，x 所围成的平面区域的面积为( ) 2A 0(sinx cosx)dx B2 0(sinx cosx)dx 2 4C2 0(cosx sinx)dx D 0(cosx sinx)dx 4 24答案
6、C解析 当 x 时， cosx sinx，当 x 时， sinxcosx，故所求平面区0， 4 ( 4， 2)域的面积为 (sinx cosx)dx，数形结合知 0(cosx sinx) 40cosx sinxdx 2 4 4dx (sinx cosx)dx故选 C 2 410一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度 v(t)5t(t 的单位： s，v 的单位： m/s)紧急刹车至停止在此期间火车继续行驶的距离是( )551 tA55 ln10 mB55 ln11 mC(1255 ln 7) mD(1255 ln 6) m答案 B解析 令 5t 0，注意到 t0，得 t10，即
7、经过的时间为 10 s；行驶的距离551 ts dt 10055 ln 11，即紧急刹车后火车运行的10(5 t55t 1) 5t 12t2 55lnt 1路程为 55ln11 m11 0sin2 dx_ 2 x答案 4 12解析 0sin2 dx 0 dx 2 x 21 cosx2 x sinx 0 12 12 2 4 1212由曲线 y2x 2，直线 yx 及 x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是_答案 423 76解析 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积易得5S (2 x2)dx (2 x2 x)0210dx 0 2x Error!102 2 (2xx33
8、) 2 x33 2 233 13 12 423 76二、高考小题13(2014山东高考)直线 y4x 与曲线 yx 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A2 B4 C2 D42 2答案 D解析 由 得 x0 或 x2 或 x2(舍)S (4xx 3)dx 20420 (2x2 14x4)14(2014湖北高考)若函数 f(x)，g(x)满足 1f(x)g(x) dx0，则称 f(x)，g(x)1为区间1，1上的一组正交函数给出三组函数：f(x) sin x，g(x) cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x 212 12其中为区间1，1上的正交函数的组数是( )A0
9、 B1 C2 D3答案 C解析 由得 f(x)g(x) sin xcos x sinx，是奇函数，所以 1f(x)g(x) dx0，12 12 12 1所以为区间1，1上的正交函数；由得 f(x)g(x)x 21，所以 1f(x)g(x)1dx 1(x 2 1)dx 11 ，所以不是区间1，1上的正交函数；由得1(x33 x) 43f(x)g(x)x 3，是奇函数，所以 1f(x)g(x) dx0，所以为区间1，1上的正交函1数故选 C15(2014湖南高考)已知函数 f(x) sin(x)，且 0f(x)dx0，则函数 f(x)的23图象的一条对称轴是( )Ax Bx56 7126Cx Dx
10、 3 6答案 A解析 由 0f(x)dx 0sin(x) dx cos(x)23 230 cos cos0，得 cos sin 23 (23 ) 32 32从而有 tan ，则 n ，nZ，3 3从而有 f(x)sin (x n 3)(1) nsin ， nZ(x 3)令 x k ， kZ，得 x k ， kZ，即 f(x)的图象的对称轴是 3 2 56x k ， kZ故选 A5616(2015天津高考)曲线 y x2与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为_答案 16解析 曲线 y x2与直线 y x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由Error!解得x0 或 x1，所以 S (x x2
11、)dx 10 10 (12x2 13x3) 12 13 1617(2015陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_答案 65解析 建立直角坐标系，如图7过 B 作 BEx 轴于点 E，BAE45，BE2，AE2又 OE5，A(3，0)，B(5，2)设抛物线的方程为 x22py(p0)，代入点 B 的坐标，得 p ，254故抛物线的方程为 y x2225从而曲边三角形 OEB 的面积为x2dx 50 50225 2x375 103又 SABE 222，12故曲边三角形 OAB 的面积为 ，43从而图
12、中阴影部分的面积为 83又易知等腰梯形 ABCD 的面积为 216，6 102则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1616 83 6518(2014辽宁高考)正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线 yx 2和 yx 2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_8答案 23解析 由对称性可知 S 阴影 S 正方形 ABCD4 x2dx2 24 ，所以所求概率为10 (13x310) 83 834 23三、模拟小题19(2018安徽淮南一模)求曲线 yx 2与 yx 所围成的封闭图形的面积 S，正确的是(
13、)AS (x2x) dx BS (xx 2)dx1010CS (y2y) dy DS (y )dy1010 y答案 B解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故对 x 积分时，积分上限是 1，下限是 0，由于在0，1上，xx 2，故曲线 yx 2与 yx 所围成的封闭图形的面积S (xx 2)dx(同理可知对 y 积分时，S ( y) dy)1010 y20(2018湖北孝感模拟)已知 m dx ，则 m 的值为( )e11x 3 e2A B C D1e 14e 12 12答案 B解析 由微积分基本定理得 m dx( ln xmx) e1m1m e，结合题意得e11xm1m e ，
14、解得 m 故选 B3 e2 1221(2018河南郑州一模)汽车以 v(3t2) m/s 做变速运动时，在第 1 s 至第 2 s之间的 1 s 内经过的路程是( )A5 mB mC6 mD m112 132答案 D解析 根据题意，汽车以 v(3t2) m/s 做变速运动时，汽车在第 1 s 至第 2 s 之间9的 1 s 内经过的路程 s (3t2) dt 2t21 m，故选 D21 3t22 13222(2018山西联考)函数 yx 21 的图象如图所示，则阴影部分的面积是( )A (x21) dx10B (x21) dx20C |x21| dx20D (x21) dx (1x 2)dx1
15、021答案 C解析 所求面积为 (1x 2)dx (x21) dx1021|x21| dx2023(2018河北五校联考)若 f(x)ff(1)1，则 a 的值为( )A1 B2 C1 D2答案 A解析 因为 f(1) lg 10，f(0) 3t2dt t3a0 a3，所以由 ff(1)1 得：a0a31， a1，故选 A24(2018宁夏质检)已知 2 ，若 0， ，则 (x22 x)dx( )1sin 1cos 2 2 tan 110A B C D13 13 23 23答案 C解析 由 2 sin cos 2 sin cos sin sin2 ，因为1sin 1cos 2 2 2 4 2
16、0， ，所以 ，所以 tan 1，故 (x22 x)dx (x22 x) 2 4 tan 1 1 1dx x211 x33 2325(2018陕西模拟) (2x )dx_10 1 x2答案 1 4解析 dx 表示以原点为圆心，101 x2以 1 为半径的圆的面积的 ，14 dx 101 x2 4又 2xdx x2101，10 (2x )dx 2xdx dx1 10 1 x210101 x2 426(2018河北衡水中学六调)曲线 y x33 x 和直线 y x 所围成的图形的面积是_答案 8解析 由 得交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(2，2)，作出11草图如图，可知曲线 y x33
17、x 和直线 y x 围成图形的面积 S2 x( x33 x)dx2 (4x x3)2020dx22 x2 x4202(84)814一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018云南月考)用 mina， b表示 a， b 两个数中的较小的数，设 f(x)min x2， ，那么由函数 y f(x)的图象、 x 轴、直线 x 和直线 x4 所围成的封闭x12图形的面积是多少？解 如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积 S x2dxdx x31 x 41 x13 12 2332 724 143 119242(2018甘肃天水月考)在区间0，1上给定曲线 y x2试
18、在此区间内确定点 t 的值，使图中的阴影部分的面积 S1与 S2之和最小，并求最小值解 面积 S1等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y x2与 x 轴、直线 x t 所围成的面积，即 S1 tt2 x2dx t3t0 23S2的面积等于曲线 y x2与 x 轴， x t， x1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t2， 1 t，12即 S2 x2dx t2(1 t) t3 t2 1t 23 13所以阴影部分面积 S S1 S2 t3 t2 (0 t1)43 13令 S( t)4 t22 t4 t 0 时，得 t0 或 t (t12) 12t0 时， S ； t 时， S ； t1 时， S 13 12 14 23所以当 t 时， S 最小，且最小值为 12 1413
