1、1考点测试 24 正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 5 分、12 分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1在 ABC 中， C60， AB ， BC ，那么 A 等于( )3 2A135 B105 C45 D75答案 C解析 由正弦定理知 ，即 ，所以 sinA ，又由题知 0BCsinA ABsinC 2sinA 3sin60 22a， BA，角 B 有两个解，故选 CbsinAa 16sin4514 427二、高考小题9(2018全国卷)在 ABC 中，cos ， BC1， AC5
2、，则 AB( )C2 55A4 B C D22 30 29 5答案 A解析 因为 cosC2cos 2 12 21 ，所以C 55 35AB2 BC2 AC22 BCACcosC125215 32， AB4 故选 A35 210(2018全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ABC 的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A B C D 2 3 4 6答案 C解析 由题可知 S ABC absinC ，所以 a2 b2 c22 absinC由余弦定12 a2 b2 c24理得 a2 b2 c22 abcosC，所以 sinCcos C C(0，)， C ，
3、故选 C 411(2017山东高考)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cos C)2sin AcosCcos AsinC，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 a C A2 B D B2 A答案 A解析 解法一：因为 sinB(12cos C)2sin AcosCcos AsinC，所以sinB2sin BcosCsin AcosCsin( A C)，所以 sinB2sin BcosCsin AcosCsin B，即 cosC(2sinBsin A)0，所以 cosC0 或 2sinBsin A，即 C90
4、或 2b a，又 ABC 为锐角三角形，所以 0 C90，故 2b a故选 A解法二：由正弦定理和余弦定理得b1 2 a c ，a2 b2 c2ab a2 b2 c22ab b2 c2 a22bc4所以 2b21 a23 b2 c2，a2 b2 c2ab即 (a2 b2 c2) a2 b2 c2，2ba即( a2 b2 c2) 10，2ba所以 a2 b2 c2或 2b a，又 ABC 为锐角三角形，所以 a2 b2 c2，故 2b a故选 A12(2018浙江高考)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若a ， b2， A60，则 sinB_， c_7答案 321
5、7解析 由 得 sinB sinA ，由 a2 b2 c22 bccosA，得asinA bsinB ba 217c22 c30，解得 c3(舍去负值)13(2018全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知bsinC csinB4 asinBsinC， b2 c2 a28，则 ABC 的面积为_答案 233解析 根据题意，结合正弦定理可得 sinBsinCsin CsinB4sin AsinBsinC，即sinA ，结合余弦定理可得 2bccosA8，所以 A 为锐角，且 cosA ，从而求得 bc12 32，所以 ABC 的面积为 S bcsinA 833
6、 12 12 833 12 233三、模拟小题14(2018广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知 a， b， c 为 ABC 的三个内角A， B， C 所对的边，若 3bcosC c(13cos B)，则 sinCsin A( )A23 B43 C31 D32答案 C解析 由正弦定理得 3sinBcosCsin C3sin CcosB，3sin( B C)sin C，因为A B C，所以 B C A，所以 3sinAsin C，所以 sinCsin A31，故选 C15(2018合肥质检)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若sin(C A) sinB，且
7、 b4，则 c2 a2( )12A10 B8 C7 D4答案 B5解析 依题意，有 sinCcosAcos CsinA sinB，由正弦定理得 ccosA acosC b；12 12再由余弦定理可得 c a b，将 b4 代入整理，得b2 c2 a22bc b2 a2 c22ab 12c2 a28，故选 B16(2018珠海摸底)在 ABC 中，已知角 A， B， C 对应的边分别为a， b， c， C60， a4 b， c ，则 ABC 的面积为_13答案 3解析 根据余弦定理，有 a2 b22 abcosC c2，即 16b2 b28 b2 13，所以12b21，解得 b1，所以 a4，所
8、以 S ABC absinC 41 12 12 32 317(2018贵阳期末)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且asinB bcosA， a4，若 ABC 的面积为 4 ，则 b c_3 3答案 8解析 由 asinB bcosA 得 ，再由正弦定理 ，所以 3bsinB a3cosA bsinB asinA asinA，即 tanA ，又 A 为 ABC 的内角，所以 A 由 ABC 的面积为a3cosA 3 3S bcsinA bc 4 ，得 bc16再由余弦定理 a2 b2 c22 bccosA，得12 12 32 3b2 c232，所以 b c 8b
9、 c2 b2 c2 2bc 32 21618(2018长春质检)已知 ABC 中内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若其面积S b2sinA，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， AD ， a ，则 b_233 3答案 1解析 由 S bcsinA b2sinA，可知 c2 b，由角平分线定理可知，12 2又 BD CD a ，所以 BD ， CD 在 ABD 中，因为 BD ADBDCD ABAC cb 3 233 33， AB c2 b，所以 cos ABD b，在 ABC 中，由余弦定理得233 12ABBD 32AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABD，
10、所以 b24 b234 bcos ABD34 b26 b2，解得3b16一、高考大题1(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中， ADC90， A45，AB2， BD5(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC2解 (1)在 ABD 中，由正弦定理，得 BDsinA ABsin ADB由题设知， ，所以 sin ADB 5sin45 2sin ADB 25由题设知， ADB0，所以 sinBcos A， 2即 cos Bcos A 2因为 A(0，)， B0， ， 2 2所以 B A，即 A B ，所以 C 2 2 2(2)设 BD m， CB n因为 B ， C ， 3 28
11、所以 A ， DBC ，且 AC n， AB2 n， AD2 n m所以 S 6 23 3ACD ACADsinA n(2n m) ，即 n(2n m)3，12 12 3 12 334在 BCD 中，由余弦定理得 CD2 BC2 BD22 BCBDcos DBC，即 m2 n2 mn3，联立解得 m n1，即 BD15(2018长沙统考)在锐角三角形 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知a2 c(a c) b2(1)求角 B 的大小；(2)设 m2 a c，若 b ，求 m 的取值范围3解 (1)因为 a2 c(a c) b2，所以 a2 c2 b2 ac，所以
12、cosB a2 c2 b22ac 12又因为 0B，所以 B 3(2)由正弦定理得 2，asinA csinC bsinB 3sin 3所以 a2sin A， c2sin C所以 m2 a c4sin A2sin C4sin A2sin A234sin A2 cosA sinA32 123sin A cosA32 sinA cosA332 122 sinA 3 6因为 A， C 都为锐角，则 0A ，且 0C A ，所以 A ，所以 0A 2 23 2 6 2 6， 3所以 0sinA ，所以 0m3 6 326(2018福建 4 月质检) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，
13、b， c，已知bcosC csinB a3 3(1)求角 B 的大小；9(2)若 a3， b7， D 为边 AC 上一点，且 sin BDC ，求 BD33解 (1)由正弦定理及 bcosC csinB a，3 3得 sinBcosCsin CsinB sinA，3 3所以 sinBcosCsin CsinB sin(B C)，3 3所以 sinBcosCsin CsinB sinBcosC cosBsinC，3 3 3即sin CsinB cosBsinC3因为 sinC0，所以sin B cosB，所以 tanB 3 3又 B(0，)，解得 B 23(2)解法一：在 ABC 中，由余弦定理
14、 b2 a2 c22 accosB，且 a3， b7，所以 723 2 c223 c ，解得 c512在 ABC 中，由正弦定理 ，得 ，bsinB csinC 732 5sinC解得 sinC 5314在 BCD 中，由正弦定理 ，BDsinC asin BDC得 ，BD5314333解得 BD 4514解法二：在 ABC 中，由正弦定理 ，asinA bsinB及 a3， b7，得 sinA 3314又因为 B ，所以 0A ，所以 cosA ，23 3 1314则 sinCsin( A B)sin cosAcos sinA23 23 32 1314 12 3314 5314在 BCD 中，由正弦定理 ，BDsinC asin BDC10得 ，解得 BD BD5314333 4514
