1、1考点测试 28 平面向量的数量积及应用高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 、 低 等 难 度考纲研读1理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1已知向量 a(2，1)， b( m，1)， mR，若 a b，则 m 的值为( )A B C2 D212 12答案 A解析 由 a b，得 ab0，即2 m10，则 m 故选 A122在边长为 1 的等边三角形
2、 ABC 中，设 a， b， c，则BC CA AB ab bc ca( )A B0 C D332 32答案 A解析 依题意有 ab bc ca11 11 11 故选12 12 12 32A3在 Rt ABC 中， C90， AC4，则 等于( )AB AC A16 B8 C8 D16答案 D解析 因为 cosA ，故 | | |cosA| |216故选 D|AC |AB | AB AC AB AC AC 4已知| a|6，| b|3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 ab 为( )A12 B8 C8 D2答案 A2解析 | a|cos a， b4，| b|3， ab| a|b|cos
3、 a， b3412故选 A5平面四边形 ABCD 中， 0，( ) 0，则四边形 ABCD 是( )AB CD AB AD AC A矩形 B正方形 C菱形 D梯形答案 C解析 因为 0，所以 ，所以四边形 ABCD 是平行四边形又( AB CD AB CD DC AB ) 0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 是菱形故选 CAD AC DB AC 6已知向量 a(2，7)， b( x，3)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围为( )A x0，| a b|2cos x 3， 4(2)f(x)cos2 x2cos x2cos 2x2cos x12 2 (cosx12
4、) 32 x ， cos x1， 3， 4 12当 cosx 时， f(x)取得最小值 ；12 32当 cosx1 时， f(x)取得最大值112单元质量测试(三)时间：120 分钟 满分：150 分第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1函数 f(x)12sin 2 的最小正周期为( )x2A2 B C D4 2答案 A解析 f(x)12sin 2 cos x，最小正周期 T2，故选 Ax2已知 sin 0，则 化简的结果为( )1 sin2Acos Bcos Ccos D以上都不对答案 B解析 由已知可判断出 是第三象限角，所以 |c
5、os |cos 故选1 sin2B3(2018福建 4 月质检)已知向量 (1，1)， (2，3)，则下列向量与 垂直的AB AC BC 是( )A a(3，6) B b(8，6)C c(6，8) D d(6，3)答案 D解析 (1，2)，因为(1，2)(6，3)1(6)230故选 DBC AC AB 4(2018长沙统考)已知 a， b 为单位向量，且 a( a2 b)，则向量 a 与 b 的夹角为( )A30 B60 C120 D150答案 C解析 由题意， a(a2 b) a22 ab| a|22| a|b|cos a， b12cos a， b0，所以 cos a， b ，又 0 a，
6、b180，所以12 a， b120故选 C5(2018长春调研)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若2bcosC2 ccosB a，且 B2 C，则 ABC 的形状是( )13A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案 B解析 2 bcosC2 ccosB a，2sin BcosC2sin CcosBsin Asin( B C)，即sinBcosC3cos BsinC，tan B3tan C，又 B2 C， 3tan C，得2tanC1 tan2CtanC ， C ， B2 C ， A ，故 ABC 为直角三角形故选 B33 6 3 26(20
7、18广东广州调研)如图所示，在 ABC 中， ， P 是 BN 上的一点，若AN 13AC m ，则实数 m 的值为( )AP AB 211AC A B911 511C D311 211答案 B解析 因为 N， P， B 三点共线，所以 m m ，从而AP AB 211AC AB 611AN m 1 m 故选 B611 5117(2018湖南长郡中学调研)若 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2bsin2A asinB，且 c2 b，则 等于( )abA2 B3 C D2 3答案 A解析 由 2bsin2A asinB，得 4bsinAcosA asinB，
8、由正弦定理得4sinBsinAcosAsin AsinB，sin A0，且 sinB0，cos A ，由余弦定理，得1414a2 b24 b2 b2， a24 b2， 2故选 Aab8(2018江西九校联考)已知 5sin2 6cos ， ，则 tan ( )(0， 2) 2A B C D23 13 35 23答案 B解析 由题意知 10sin cos 6cos ，又 ，(0， 2)sin ，cos ，tan 35 45 2sin 2cos 22sin2 22sin 2cos 2 1 cossin1 4535 139(2018东北三省四市二联)将函数 f(x)sin(2 x )| | 的图象向
9、右平移 2个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)在 0， 上的最小值为( )12 2A B C D32 12 12 32答案 D解析 f(x)sin(2 x )向右平移 个单位得到函数 g(x)12sin2 x sin2 x ，此函数图象关于 y 轴对称，即函数 g(x)为偶函数，则12 6 k， kZ，由| | ，可得 ，所以 f(x)sin2 x ，因为 6 2 2 3 30 x ，所以 2 x ，所以 f(x)的最小值为 sin 故选 D 2 3 3 23 3 3210(2018湖北宜昌二模)已知 ABC 中， A120，且 AB3， AC4，若 AP ，且 ，则实数 的
10、值为( )AB AC AP BC A B C6 D2215 103 127答案 A解析 因为 ，且 ，所以有 ( )( )AP AB AC AP BC AP BC AB AC AC AB 2 2 ( 1) 2 20，整理可得( 1)AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 1534cos1209 160，解得 ，故选 A221511(2018湖南长沙长郡中学摸底)已知函数 f(x)sin( x ) 0，| |0)的最小正周期为 12 32(1)求 的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数 y f(x)在区间0，上的图象；(2)函数 y f(x)的图象可由函数 ysin x 的
11、图象经过怎样的变换得到？解 (1)函数可化为 f(x)sin ，( x 3)因为 T，所以 ，即 2，2所以 f(x)sin (2x 3)列表如下：x 0 12 3 712 56 y 32 1 0 1 0 32画出图象如图所示：19(2)将函数 ysin x(xR)图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 ysin 3(xR) 的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，(x 3) 12可得函数 f(x)sin (xR)的图象(2x 3)19(2018河南洛阳二模)(本小题满分 12 分)如图，已知扇形的圆心角 AOB ，23半径为 4 ，若点 C 是 上的一动点(
12、不与点 A， B 重合)2 AB(1)若弦 BC4( 1)，求 的长；3 BC(2)求四边形 OACB 面积的最大值解 (1)在 OBC 中， BC4( 1)， OB OC4 ，3 2所以由余弦定理得 cos BOC ，OB2 OC2 BC22OBOC 32所以 BOC ，于是 的长为 4 6 BC 6 2 223(2)设 AOC ， 0， ，则 BOC ，23 23S 四边形 OACB S AOC S BOC 4 4 sin 4 4 sin 24sin 8 cos 16 sin 12 2 2 12 2 2 23 3 3， 6由于 0， ，所以 ， ，23 6 65620当 时，四边形 OAC
13、B 的面积取得最大值 16 3 320(2018河南濮阳三模)(本小题满分 12 分) ABC 内接于半径为 R 的圆， a， b， c分别是内角 A， B， C 的对边，且 2R(sin2Bsin 2A)( b c)sinC， c3(1)求角 A 的大小；(2)若 AD 是 BC 边上的中线， AD ，求 ABC 的面积192解 (1)因为 2R(sin2Bsin 2A)( b c)sinC，所以 2RsinBsinB2 RsinAsinA( b c)sinC，所以 bsinB asinA bsinC csinC，即 b2 a2 bc c2，即 b2 c2 a2 bc，所以 cosA ， A
14、60b2 c2 a22bc 12(2)以 AB， AC 为邻边作平行四边形 ABEC，在 ABE 中， ABE120， AE ，19由余弦定理得 AE2 AB2 BE22 ABBEcos120，即 199 BE223 BE ，12解得 BE2(负值舍去)，所以 AC2故 S ABC ABACsin BAC12 32 12 32 33221(2018荆门调研)(本小题满分 12 分)已知向量 m(3sin x，cos x)，n(cos x， cosx)， f(x) mn 332(1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值；(2)若方程 f(x) a 在区间 上有两个不同的实数根，求实数
15、 a 的取值范围0， 2解 (1) f(x) mn 3sin xcosx cos2x sin2x (1cos2 x)32 3 32 32 32 32 sin2x cos2x sin 32 32 3 (2x 56)当 2x 2 k ， kZ，即 x k ， kZ 时，56 2 6函数 f(x)取得最大值 3(2)由于 x 时，2 x 0， 2 56 56， 116 21而函数 g(x) sinx 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增3 56， 32 32， 116 又 g ， g ， g (116 ) 32 (32) 3 (56) 32结合图象(如图)，所以方程 f(x) a 在区间 上有两个
16、不同的实数根时， a0， 2( 3， 3222(2018广东茂名二模)(本小题满分 12 分)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，sin A2sin C，2 b3 c(1)求 cosC；(2)若 ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 ABC 的面积为 ，求 BD 的长3154解 (1)sin A2sin C， a2 c于是，cos C a2 b2 c22ab2c2 32c2 c222c32c 78(2)由(1)知 cosC ，sin C 78 158 S ABC 2c c ，12 32 158 3154 c24， c2，则 a4， b3 BD 为 ABC 的平分线， 2， CD2 ADac CDAD又 CD AD3， CD2， AD1在 BCD 中，由余弦定理可得 BD24 22 2242 6，78 BD 622
