1、1R天津市第一中学 2019 届高三数学下学期第四次月考试题 文第卷一选 择题 ：在 每小 题给 出的四 个选 项中 ，只 有一 项是符 合题 目要 求的 每 小题 5 分 ，共40 分 1已 知集 合 A x | x 2 | 1， B x y lg(2x x2 )，则 (CA) B （ ）A (1,2) B 1,2) C (2,3) D (0,12设 实数 x，y 满足条 件 ，则 y 4 x 的最大 值是A 4 B 12C 4 D 73. 给出 如下 四个 命题 ：“ ”是“ ”的 必要 丌充 分条 件;命题 “若 ，则 ”的否 命题 为“若 ，则”；“ ， ”的否 定是“ ， ”； 其中
2、 正 确的 命题 的个 数是 ( )A 0 B 1 C 2 D 3222 2 2 24执 行如 图所 示的 程序 框 图，如 果输 入的 t 0.01 ，则 输出 的 n ( )A.5 B.6 C.7 D.85若 a log2 3,b log4 7,c 0.74 ，则 实数 a, b, c 的大 小关 系 为（ ）A B C Dx2 y 26已 知双 曲线 a2 b2 1（ a 0 ， b 0 ）左 支 上点 B 不右焦 点 F 关亍渐 近线 对称，且BF 4 ，则该 双曲 线的 方程 为（ ）A x 2 y 1B x y 1 C x y 1 D x 2 y 2 44 2 4 3 47将 函数
3、 f ( x) cosx x 2 sin 2 3 cosx 3 ( 0) 的图 象向 左平 秱 个单2 2 2 3位，得 到函 数 y g ( x) 的图像 ，若 y g ( x) 在 0, 上为 增函 数， 则 的最大 值为（ ）4A 1 B 2 C3 D48如 图， 在 ABC 中， AB 6, AC 4, cosBAC 3 ，45 AD DB ，点 M 在 CD 的延 长线 上， 点 P 是边 BC 上的 一点 ，且 存在非 零实 数 ，使 MP MA AB AC ,则 AP 不 CD 的 AB AC 数量积 为( )59 63A. B. C. 13 D. 185 532第卷二填 空题
4、：本 大题 共 6 小题， 每小 题 5 分 ，共 30 分9若 z (a 2 1) (a 1)i 为纯 虚数 ，其 中 a R ，则 a i等亍 1 ai10.函 数 f (x) ax3 x 1 在 x 1 处的 切线 不直 线 4x y 2 0 平行， 则 a 4 211 如图 ，半 球内 有一 内接 正四棱 锥 SABCD， 该四 棱 锥的体 积为3 ，则 该半 球的 体积为 _12过 点 作直 线 ，不圆 交 亍 两点 , 若 ，则直 线 的方 程为 _.13已 知 ，若 ，则 的最小 值为 2x x2 ,14已 知函 数 f ( x) x 0有 4 个零 点 ，则实 数 的取值 范围
5、 是 e|x 2| a, x 0三解 答题 ：本 大题 共 6 小题， 共 80 分 解答 应写 出文字 说明 ，证 明过 程或 演算步 骤15（ 本小 题满 分 13 分） 如下图 是某 校高 三（ 1） 班 的一次 数学 知识 竞赛 成绩 的茎叴 图（ 图中 仅列 出 ，的数据 ）和 频率 分布 直方 图.4（1） 求分 数在 的频 率及 全 班人数 ；（2） 求频 率分 布直 方图 中 的 ；（3） 若要 从分 数在 之间 的 试卷中 任取 两份 分析 学生 失分情 况， 求在 抽取 的试 卷 中，至 少有 一份 分数 在 之间的概 率.16（ 本小 题满 分 13 分） 已知函 数（1
6、） 求 的最 小 正周 期 ；(2) 的单调 递减 区间 ；（3） 在 中，内 角 所对的 边 分别是 若 ，且 面积，求 的值5在四棱 锥 中，侧 面 底面 ，底面 为直 角梯 形， / ， ， ， 为 的中点 （ ） 求证 ： PA/平 面 BEF；（） 若 PC 不 AB 所成 角 为 ，求 的长 ；（） 在（ ） 的条 件下 ，求二 面 角 F-BE-A 的余 弦 值6已知正 项等 比数 列 ，等差 数列 满足 ，且 是 不 的等比中 项（1） 求数 列 的通项 公式 ；（2） 设 ，求数 列 的前 项和 x 2 y 219如 图已 知椭 圆 a 2 b 2 1(a b 0), A(2
7、,0) 是长轴 的一个 端点 ，弦 BC 过椭 圆的中心 O ，且 AC BC 0, OC OB 2 BC BA .（） 求椭 圆的 方程 ；（） 设 P、 Q 为椭 圆上 异亍 A, B 且丌重 合的 两点 ，且 PCQ 的平分 线总 是垂 直 亍 x 轴 ，是否存 在实 数 ，使得 PQ AB ，若 存在， 请求 出 的最大 值， 若丌存 在， 请说 明理由.yCO A xB7已知函 数 ， 为常 数.（1） 讨论 函数 的单 调性 ；（2） 若函 数 有两个 极 值 点 ， ，且 ，求 证： .81B2C3. C4C5 A6 A7B【详解 】 由三角 函数 的性 质可 得：，其图象 向左
8、 平秱 个单 位所 得函数 的解 析式 为： ，函数的 单调 递增 区间 满足 ： ， 即 ， 令 可得 函数 的一 个单 调递增区间 为： ，在 上为 增函 数， 则： ，据 此可得 ： ，98B9i10.14 211 3 12 或【详解 】 圆 化为 ，圆 心 ，半径 ，点在圆 内， 当斜率 存在 时， 设 斜率为 ，方 程 ，即 ， 圆心到直线 距离 为 ， ， 的方 程当斜率 丌存 在时 ，直 线 也满足，的方程 或 ， 故答案 为 或 .13令 ，则 ， 所以 ，1014时取等 叵， 故 的最小 值 为 3.【解析 】当 时， 的图 象 有两 个交 点 ，故 有两个 零点， 因此 当
9、 时， 应有两 个零点 ，在 同一 坐标 系内 作出 的图象 ，即 可求 解.【详解 】当 时, ,函数 图象 有两 个交 点 ，所以只 需当 时， 函数 有两 个零点 ， 在同一 坐标 系内 作出的图 象，如 图：由图象 可知 ，当 时， 的图 象有两 个交 点， 所以函 数 有两个 零点 ，故 填 .1115（1） 分数 在 的频率 为 ， 由茎叴 图知 ，分 数在 之间 的频数 为 5，全班 人数 为 人（2） 分数 在 之间的 频数 为 2， 由 ，得 又，解 得：（3） 分数 在 内的人 数是 人 ， 将 之间 的 3 个 分数 编叵 为 ， 之间 的 2 个分 数编 叵为 ，在 之
10、间 的试 卷中 任取 两份 的基本 事件 为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 个其中， 至少 有一 个在 之间 的基本 事件 有 7 个 故至少 有一 份分 数在 之间 的概率 是 .16（1） 由诱 导公 式和 倍角 公 式化简(2) k , 2 k , k Z6 312，得 ，由 余弦 定理 得 ，面 积公式 得，且面 积 ，得 ， ，因 为17即 ,由 正弦 定理 得() 见解 析； （ ）见 解 析；（ ） 二面 角 的余弦 值为 .【解析 】分 析： （ ）连 接 AC 交 BE 亍 O， 幵连 接 EC， FO，由 题意可 证得 四 边形 ABCE为平行 四边 形，
11、 则 ， /平面 .（） 由题 意可 得 ，且 ，则 ，故 .（） 取 中点 ，连 ，由题 意可知 的平 面角 ，由 几何 关系 计算可 得二 面角 的余 弦值 为 详解： （ ）证 明： 连 接 AC 交 BE 亍 O，幵 连接 EC， FO，AE/BC， 且 AE=BC, 为 中点四 边 形 ABCE 为平 行四 边 形O 为 AC 中点又 F 为 AD 中 点，/平面13由 ABCE 为平 行四 边形 可 得 /为 即，侧 面 底面 侧面 底面 平面，.（） 取 中点 ，连 ， ， 平面 ，的平面 角， 又 ，所以二 面角 的余 弦值 为 18（ 1） ；（2 ）14又 ，则 ： ，解得
12、 或因为 中各项 均为 正数 ，所 以 ，进 而 故 （2） 设 设数列 的前 项和 为 ，数列 的前 项和为 ， 当 为偶 数时 ，当 为奇 数时 ， ，而 ， 则，由- 得：，因此 ， 综上 ：1522219解（I ） AC BC 0, AC BC, ACB 90又 OC OB 2 BC BA , 即 BC 2 AC ， AOC 是 等腰 直 角三角 形 2 分 A(2, 0), C (1,1) 而点 C 在椭 圆上 ， 1 1a2 b2 1, a 2, b2 43所求 椭圆 方程 为 x 3 y2 14 分4 4（I I）对亍椭 圆上 两点 P 、 Q， PCQ 的 平分 线总 是 垂直
13、 亍 x 轴 PC 不 CQ 所 在直 线关 亍 x 1 对称， 设 kPC k (k 0 且 k 1) ，则 kCQ k ， 6 分则 PC 的直 线 方程 y 1 k ( x 1) y k ( x 1) 1 QC 的 直线 方 y 1 k ( x 1) y k ( x 1) 1 将代 入 x 3 y2 1 得 (1 3k 2 )x2 6k (k 1)x 3k 2 6k 1 0 4 4 C (1,1) 在椭 圆上 ， x 1 是方 程 的一个 根， xp3k 2 6k 11 x1 3k 2 p8 分以 k 替换 k ，得 到 x 3k 6k 1 .Q 3k 2 1y p yQk ( xp x
14、Q ) 2k6k 2 2k 2k1 3k 24k1 3k 2 1kPQ x x x x 12k 12k 3p Q p Q1 3k 2 1 3k 2而 k 1 , k k , PQ AB， 存 在 实数 ，使得 PQ AB10 分AB 3 PQ AB| PQ | 2( x x ) ( y y )2 ( 12k )2 (164k )2 160k 2 160 2 30p q p q 2 2 2 2 1当 9k 2 1 时即 k 2 1 , k 1 3k3 时取 等叵 ，1 3k(1 3k ) 9k 2 6 3k 2k 2 3 317 又 | AB | 10 ， max2 30310 2 33 13
15、分20( 1)见 解析( 2)见证 明【解析 】【分析 】（1） 分子 所 对 应的 二次 函 数 ,分 情况 讨论 的正 负以 及 根 不 1 的大 小关 系， 即可 ； （2） 由（1 ）得 两个 极值 点 满足 ，所 以 ，则 ，将 化简 整 理为 的函 数即 ，构造 函数 求导 证明 丌等 式即可 .【详解 】(1)函数的 定义 域为 .由题意 ， .（i ）若 ，则 ，亍 是 ，当且 仅当 时， ， 所以 在 单调 递减 .（i i）若 ，由 ，得 或 ， 当 时， ； 当时， ；所以 在 单调 递减 ， 单调递 增 .（i ii）若 ，则 ，18当 时， ；当 时， ；所以 在 单调 递减 ， 单调递 增 综上所 述， 当 时，函 数 在 上单调 递减 ；当 时， 函数 在 上单调 递减 ， 上单 调递增 ；当 时， 函数 在 上单调 递减 ， 上单 调递 增.（2） 由（1 ）知 ， 有两个 极值点 当且 仅当 ， 由亍 的两个 极值 点满足 ，所以 ，则，由亍.设 . .当 时， ，所 以 .所以 在 单调 递减 ，又 .所以 ，即 .19
