1、1山东省淄博实验中学高三数学第二学期 4 月份教学诊断考试试题 文 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 2.已知集合 ,若 ，则实数 m 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3.如图是为了求出满足 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A. A1000 和 n=n+1 B. A1000 和 n=n+2 C. A 1000 和
2、n=n+1 D. A 1000 和 n=n+24.已知函数 ，若 ，则 a 为（ ）A. 1 B. C. D. 5函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）26我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）（第 6 题图） （第 11 题图）A. B. C. D. 7.直线 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆 的直径分为两段，则较长的一段与较短的一段的比值等于 (
3、)A. 2 B. 3 C. 4 D. 58已知 ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对边长分别为 a、 b、 c，向量 =(a c， a b)， =(b， a c)，若 ，则 C=( )A B C D 9. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）A.128 B.256 C.512 D.102410.已知锐角 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 11.已知 O 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若右支上有点 M 满足 ，则双曲线的离心率为（ ）3A. B. C. D. 12.已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）A B C. D 二、填
4、空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知 则当 a 的值为 时, 取得最大值.14. 若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_.15.已知平面 ，直线 .给出下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 .其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号）16若 是函数 的两个不同的零点， 且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）
5、某公司为了提高利润，从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年 份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018投资金额（万元） 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5年利润增长（万元） 6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1（I）请用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程；如果 2019 年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是 8 万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留 2 位小数）（II）现从 20122018 年这 7 年中抽取 2 年进行调查，记 =年
6、利润增长投资金额，求这两年都是 2（万元）的概率。参考公式：回归方程 中， 18. （本小题满分 12 分）在 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且4.（I）求角 C； （II）若 ， 的面积为 ， M 为 AB 的中点，求 CM 的长.19. （本小题满分 12 分）如图所示的几何体 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， ， AB=a， ， ，平面 ABCD 平面 PAB， ， E 为 PD 的中点， G 为平面 PAB 内任一点.（I）在平面 PAB 内，过 G 点是否存在直线 l 使 OE/l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（II）过 A、
7、C、 E 三点的平面将几何体 P-ABCD 截去三棱锥 D-AEC，求剩余几何体 AECBP 的体积.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，离心率为 ， 是 上的一个动点。当 为 的上顶点时， 的面积为 。（I）求 的方程； （II）设斜率存在的直线 与 的另一个交点为 。若存在点 ，使得 ，求 的取值范围。21（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=lnx（I）若函数 F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x21 在点 x=1 处有共同的切线 l，求 t 的值；（II）证明： ；（III）若不等式 mf(x) a+x 对所有的 都成立，求实数 a 的取值范围请
8、考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. （本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 5（I）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角； （II）设点 P(0, 2)， l 和 C 交于 A， B 两点，求|PA|+|PB|23. （本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】函数 ，其中 ，若 的解集为 （I）求 a 的值；（II）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立6高三年级第二学期第一次诊断考试
9、数学文试题答案 2019.41.【答案】D 【解析】因为复数 是纯虚数，所以 ，解得： ，所以复数 可化为 ，所以复数 在复面上对应的点的坐标为 .故选：D2.【答案】B 【解析】对集合 A，由 得： 或 .对集合 B，由 得： .又 ，所以 （舍去）或 . 故选：B3.【答案】D 【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 A1000，故填 A 1000，又要求 n 为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填 n=n+2，故选 D.4.【答案】D 【解析】由题意可得：，解得： .本题选择 D 选项.5【答案】D6【答案】B 【解析】结合三视图，还原直观图，是一个棱长为 2
10、 的正方体挖去一个半圆柱得到的，故 ，故选 B。7.【答案】A 【解析】令 代入 可得 ，圆心坐标为 ，则 与圆心的距离为 ，半径为 6，可知较长一段为 8，较短一段 4，则较长一段比上较短一段的值等于 2。故答案为 A.8【答案】B 【解答】向量 ， ，若 ，则 ，即 ，即 ，由余弦定理得 , . 故选： B.9. 【答案】B 【解析】当 n=1 时， S22 S11，得 a1 a22 a11， a2 a11=1，当 n2 时，由 Sn+12 Sn1，得 Sn2 Sn11，两式相减得 an12 an (n2， nN *)，所以数列 an从第二项起成等比数列，且公比 q2. 因此 an12 n
11、2 2 n2 (n2， nN *)所以 a102 102 2 8=256.10.【答案】C 【解析】因为锐角 满足 ，所以 也是锐角，由三角函数的基本关系式可得 ，7则 ，故选 C.11.【答案】A 【解析】设 ， ， 由题可得： ,在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .由双曲线定义得： ，即： .整理得： .故选:A12.【答案】C 【解析】由 得 ，所以数列 是等差数列，公差是 1，首项是 。所以 ，则 。当且仅当 时， ， a6=0，其它的 。又已知 ， ，则 的最小值为 ，也等于 ，所以故选 C。13.【答案】4 【解析】14.【答案】 815
12、.【答案】 【解析】对于，若 ， ，则 或 相交，所以该命题是假命题；对于，若 ， ，则 可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；对于可以证明是真命题. 故答案为：16【答案】917. 解:（） ， ， ，-2 分那么回归直线方程为： 4 分将 代入方程得 即估计该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元. 6 分（）由题意可知，9年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 20181.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.67 分设 2012 年-2018 年这 7 年分别定为 1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4）
13、，（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有 21 种结果， 9分选取的两年都是 万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共 6 种，11 分所以选取的两年都是 万元的概率 .-12 分 18.【解析】（1）由平方关系可得： 再由正弦定理可化为，整理得到 ，即 .又由余弦定理，得 . 因为 ，所以 .-6 分（2）因为 ，所以 为等腰三角形，且顶角 . 故 ，所以 .在 中
14、，由余弦定理，得 ，解得 .-12 分19. 【解析】（1）过 点存在直线 l 使 OE/l，理由如下：由题可知 为 的中点，又 为 的中点，所以在 中，有 .若点 在直线 上，则直线 即为所求作直线 l，所以有 OE/l；若点 不在直线 上，在平面 内，过点 作直线 l，使 ，又 ，所以 OE/l，即过 点存在直线 l 使 OE/l. -4 分（2）连接 ， ，则平面 将几何体分成两部分：三棱锥 与几何体 （如图所示）.因为平面 平面 ，且交线为 ，10又 ，所以 平面 . 故 为几何体 的高.又四边形 为菱形， ， ， ，所以 ，所以 .又 ，所以 平面 ， OE 是三棱锥 E-ACD 的
15、高。所以 ，所以几何体 的体积 .-12 分20.解：（1）设椭圆的半焦距为 c。因为 ，所以， ，1 分又 ，2 分 所以 .3 分所以 C 得方程为 4 分（2）设直线 PQ 的方程为 ， PQ 的中点为 .当 k=0 时，直线成为 x 轴，原点 O(0,0)符合题意，即 t=0 符合题意.5 分当 k0 时，由 得 6 分则 7 分所以 即 8 分因为 ，所以 TN PQ,则 KTNk=1，9 分11所以 10 分因为 ，所以 .11 分综上， t 的取值范围为 .12 分21【解析】（）g( x)=2x， F(x)=tf(x)=t lnx， F( x)=t f ( x)= ， F(x)
16、=tf(x)与函数 g(x)=x21 在点 x=1 处有共同的切线 l， k=F(1)=g(1)，即 t=2，-2 分（）令 h(x)=f(x) x，则 h( x)= ，则 h(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数， h(x)的最大值为 h(1)=1，| h(x)| 在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，最小值是 1。设 G(x)= ， G( x)= ，故 G(x)在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，故 G(x)max= ， ；-6 分（）不等式 mf(x) a+x 对所有的 都成立，则 a mlnxx 对所有的 都成立，令 H(m)=mlnxx ， ，是关
17、于 m 的一次函数， x1，e 2，ln x0，2，当 m=0 时， H(m)取得最小值 x，即 a x，当 x1，e 2时，恒成立，故 ae 2 -12 分22. 【解析】(1)由 消去参数 ，得 ，即 C 的普通方程为 . 2 分12由 sin ，得 sin cos 2，(*) 3 分将 代入(*)，化简得 y x2，所以直线 l 的倾斜角为 .4 分(2)由(1)知，点 P(0，2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，5 分即 (t 为参数)，代入 并化简，得 5t218 t270，6 分(18 )245271080，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 0，所以 t10， t20， 8 分所以| PA| PB| t1| t2|( t1 t2) . 10 分23.【解析】（1）由题意知 不满足题意，1 分当 时，由 得 ，则 ,则 a=2 4 分（2）设 ，对于任意实数 ，存在 ，使得 ，5 分只需 ，因为 ，当 时， 8 分由 ，仅当 取等号所以原命题成立. 10 分
