1、12017-2018 学年山东省青岛市青岛第二中学九年级（下）期中数学试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）13 的相反数是（ ）A3 B3 C D2下列图形是轴对称图形的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个3如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D4某中学篮球队 12 名队员的年龄情况如下表：年龄/岁 12 13 14 15 16人数 1 3 4 2 2关于这 12 名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）A众数为 14 B极差为 3 C中位数为 13 D平均数为 145小明家承包了一个鱼塘，快到年底了，爸爸想知道这
2、个鱼塘大约有多少条鱼小明采用“捉放法”先随机抓 1000 条鱼做上标记，再放回鱼塘过一段时间后再随机抓 1000 条鱼发现有 5 条鱼是做标记的，再以此来估算整个池塘的鱼大约有（ ）A10000 条 B100000 C200000 条 D2000000 条6“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设原来参加游览的同学共 x 人，则所列方程为（ ）A BC D7如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，若 O 的半径为 5，则 的长度为（ ）2A B2 C5 D108已知二次函数 y
3、ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示，则正比例函数 y（ b+c） x 的图象与反比例函数 y 的图象在同一坐标系中大致是（ ）A BC D二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9计算：（ ） 2 10现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的 2015 年的“双 11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破 67000000000 元，将 67000000000 元用科学记数法表示为 11如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD12 cm， AB8 m， AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E，则 CE的长等于 厘米312已知 O 半径为 1， A、
4、 B 在 O 上，且 AB ，则 AB 所对的圆周角为 o13如图，矩形纸片 ABCD， AD4， AB3，如果点 E 在边 BC 上，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，联结 FC，当 EFC 是直角三角形时，那么 BE 的长为 14如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形 ABCD 的面积为 34，小正方形 EFGH 的面积为4，则 tan DCG 的值为 三解答题（共 1 小题，满分 4 分，每小题 4 分）15（4 分）如图，已知 AB 是 O 的切线，过点 A 作 O 的另一条切线（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法），并证明你的结论四解答题（共 9 小题，满分 74
5、 分）16（8 分）已知： A（ ）（1）化简 A；（2）当 x 是满足不等式组 的整数时，求 A 的值17（6 分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学4校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名同学；（2）条形统计图中， m ， n ；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；（4）学校计划购买课外读物 5000 册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？18（
6、6 分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200 m、1000 m（分别用 A1、 A2、 A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、 T2表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2为 19（6 分）如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据，求出坡角 和坝底宽 AD（结果果保留根号）20（8 分）为迎接北京 2022
7、 年冬奥会，某工艺厂准备生产奥运会标志与奥运会吉祥物，该厂主要用甲、乙两种原料已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完5（1）求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？（2）如果奥运会标志的成本为 16 元，奥运会吉祥物的成本为 15 元，若东营客商购进奥运会标志和奥运会吉祥物共 250 件进行试销，其中奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数，且不小于 80 件，已知奥运会标志的售价为 24 元/件，奥运会吉祥物的售价
8、为 22 元/件，且全部售出，设购进奥运会标志 m 件，求该客商销售这批商品的利润 y 与 m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，东营客商决定在试销活动中毎售出一件奥运会标志，就从一件奥运会标志的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益21（8 分）如图，平行四边形 ABCD， F 是对角线 AC 上的一点，过点 D 作 DE AC，且 DE CF，连接 AE、 DE、 EF（1）求证： ADE BCF；（2）若 BAF+ AED180，求证：四边形 ABFE 为菱形22（10 分）某商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40
9、元，每周可卖出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每周就会少卖出 5 件，但每件售价不能高于 50 元，设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为整数），每周的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是 2145 元？23（10 分）一张正方形纸的内部被针扎了 2010 个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何 3 点都不共线作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这
10、些三角形的内部和边上都不再有小孔请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？24（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E， F 分别在边 AB， AD 上，且 ECF45， CF的延长线交 BA 的延长线于点 G， CE 的延长线交 DA 的延长线于点 H，连接 AC， EF， GH（1）填空： AHC ACG；（填“”或“”或“”）（2）线段 AC， AG， AH 什么关系？请说明理由；6（3）设 AE m， AGH 的面积 S 有变化吗？如果变化请求出 S 与 m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值请直接写出使 CGH 是等腰三角形的 m 值72017-2018 学年山
11、东省青岛市青岛第二中学九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）13 的相反数是（ ）A3 B3 C D【分析】依据相反数的定义回答即可【解答】解：3 的相反数是3故选： A【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2下列图形是轴对称图形的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形据此对图中的图形进行判断【解答】解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何
12、这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意故轴对称图形有 4 个故选： C【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）8A B C D【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形故选： B【
13、点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图4某中学篮球队 12 名队员的年龄情况如下表：年龄/岁 12 13 14 15 16人数 1 3 4 2 2关于这 12 名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ）A众数为 14 B极差为 3 C中位数为 13 D平均数为 14【分析】根据众数、中位数、平均数与极差的定义逐一计算即可判断【解答】解： A、这 12 个数据的众数为 14，正确；B、极差为 16124，错误；C、中位数为 14，错误；D、平均数为 ，错误；故选： A【点评】本题主要考查众数、极差、中位数和平均数，熟练掌握众数、极差、中位数和平均数的定义是解题的关键5小明家承
14、包了一个鱼塘，快到年底了，爸爸想知道这个鱼塘大约有多少条鱼小明采用“捉放法”先随机抓 1000 条鱼做上标记，再放回鱼塘过一段时间后再随机抓 1000 条鱼发现有 5 条鱼是做标记的，再以此来估算整个池塘的鱼大约有（ ）A10000 条 B100000 C200000 条 D2000000 条【分析】第二次捕上的 1000 条，发现其中带标记的鱼有 5 条，说明有标记的占到 ，而有标记的共有 1000 条，从而根据所占比例求出总数【解答】解：1000 20000 条故选： C【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可96“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学
15、包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设原来参加游览的同学共 x 人，则所列方程为（ ）A BC D【分析】设原来参加游览的同学共 x 人，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，可列方程【解答】解：设原来参加游览的同学共 x 人，由题意得 3故选： D【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价做为等量关系列方程7如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，若 O 的半径为 5，则 的长度为（ ）A B2 C5 D10【分析】连接 OA、 OB，根据正五边形
16、的性质求出 AOB，根据弧长公式计算即可【解答】解：连接 OA、 OB，五边形 ABCDE 是正五边形， AOB360572， 的长度 2，故选： B【点评】本题考查的是正多边形的性质、弧长的计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、弧长的计算公式是解题的关键108已知二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示，则正比例函数 y（ b+c） x 的图象与反比例函数 y 的图象在同一坐标系中大致是（ ）A BC D【分析】由已知二次函数 y ax2+bx+c 的图象开口方向可以知道 a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，再利用 f（0）和 f（1）的值即可确定 c 的取值，然后就
17、可以确定反比例函数与正比例函数 y（ b+c） x 在同一坐标系内的大致图象【解答】解：二次函数 y ax2+bx+c 的图象开口方向向下， a0，对称轴在 y 轴的右边， x 0， b0，当 x0 时， y c0，当 x1 时， a+b+c0， a0， b+c0，反比例函数 的图象在第二四象限，正比例函数 y（ b+c） x 的图象在第一三象限11故选： A【点评】本题主要考查函数图象的知识点，此题从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得 a 的值，简单的图象最少能反映出 2 个条件：开口向下 a0；对称轴的位置即可确定 b 的值及 f（0）和 f（1）的值确定 c 的取值范围二填空题（
18、共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9计算：（ ） 2 8 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式42 4264128故答案为：8【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型10现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的 2015 年的“双 11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破 67000000000 元，将 67000000000 元用科学记数法表示为 6.71010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动
19、了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：67 000 000 0006.710 10，故答案为：6.710 10【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值11如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD12 cm， AB8 m， AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E，则 CE的长等于 4 厘米【分析】由平行四边形的性质得出 BC AD12 cm， AD BC，得出 DAE BEA，证出12 BE
20、A BAE，得出 BE AB，即可得出 CE 的长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BC AD12 cm， AD BC， DAE BEA， AE 平分 BAD， BAE DAE， BEA BAE， BE AB8 cm， CE BC BE4 cm；故答案为：4【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键12已知 O 半径为 1， A、 B 在 O 上，且 AB ，则 AB 所对的圆周角为 45 或 135 o【分析】根据题意画出图形，由 OC 垂直于 AB，利用垂径定理得到 C 为 AB 的中点，求出 AC 的长，在
21、直角三角形 AOC 中，利用勾股定理求出 OC AC，确定出三角形 AOC 为等腰直角三角形，同理三角形 BOC 为等腰直角三角形，确定出 AOB 度数，利用圆周角定理即可求出 ADB 与 AEB 的度数【解答】解：如图所示， OC AB， C 为 AB 的中点，即 AC BC AB ，在 Rt AOC 中， OA1， AC ，根据勾股定理得： OC ，即 OC AC， AOC 为等腰直角三角形， AOC45，同理 BOC45， AOB AOC+ BOC90，13 AOB 与 ADB 都对 ， ADB AOB45，大角 AOB270， AEB135，弦 AB 所对的圆周角为 45或 135故答
22、案为：45 或 135【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解13如图，矩形纸片 ABCD， AD4， AB3，如果点 E 在边 BC 上，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，联结 FC，当 EFC 是直角三角形时，那么 BE 的长为 1.5 或 3 【分析】分两种情况：当 EFC90时，先判断出点 F 在对角线 AC 上，利用勾股定理列式求出 AC，设 BE x，表示出 CE，根据翻折变换的性质可得 AF AB， EF BE，然后在 Rt CEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；当 CEF90时，判断出四边形 ABEF 是正方形，根据正方形的四条边都
23、相等可得 BE AB【解答】解：分两种情况：当 EFC90时，如图 1， AFE B90， EFC90，点 A、 F、 C 共线，矩形 ABCD 的边 AD4， BC AD4，在 Rt ABC 中， AC 5，设 BE x，则 CE BC BE4 x，由翻折的性质得， AF AB3， EF BE x， CF AC AF532，在 Rt CEF 中， EF2+CF2 CE2，14即 x2+22（4 x） 2，解得 x1.5，即 BE1.5；当 CEF90时，如图 2，由翻折的性质得， AEB AEF 9045，四边形 ABEF 是正方形， BE AB3，综上所述， BE 的长为 1.5 或 3故
24、答案为：1.5 或 3【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观14如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形 ABCD 的面积为 34，小正方形 EFGH 的面积为4，则 tan DCG 的值为 【分析】依据大正方形 ABCD 的面积为 34，小正方形 EFGH 的面积为 4，即可得到CD234， HG2，再根据勾股定理，即可得到 DG5， CG3，进而得出 tan DCG 的值【解答】解：大正方形 ABCD 的面积为 34，小正方形 EFGH 的面积为 4， CD23
25、4， HG2，15四个直角三角形全等，可设 DH CG x，则 DG2+ x，由勾股定理得，Rt CDG 中， x2+（2+ x） 234，解得 x13， x25（舍去）， DG5， CG3，Rt CDG 中，tan DCG ，故答案为： 【点评】此题考查勾股定理以及解直角三角形的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理三解答题（共 1 小题，满分 4 分，每小题 4 分）15（4 分）如图，已知 AB 是 O 的切线，过点 A 作 O 的另一条切线（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法），并证明你的结论【分
26、析】连接 AO，作 AOC AOB，与 O 交于点 C，连接 AC，即为所求，证 ACO ABO 得 ACO ABO90，从而得证【解答】解：如图所示， AC 即为所求，16由作图知 AOC AOB， AO AO， OB OC， AOB AOC（ SAS）， ACO ABO， AB 是 O 的切线， ACO ABO90， OC 是 O 的半径， AC 是 O 的切线【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图、全等三角形的判定与性质及切线的判定与性质四解答题（共 9 小题，满分 74 分）16（8 分）已知： A（ ）（1）化简 A；（2）当 x 是满足不等式
27、组 的整数时，求 A 的值【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）求出不等式组的解集确定出整数解得到 x 的值，代入（1）中结果计算即可得到结果【解答】解：（1） A ；（2） ，由得： x1，由得： x3，17不等式组的解集为1 x3，即整数解为1，0，1，2，当 x1，0，1 时，原式没有意义；则当 x2 时，原式 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键17（6 分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”
28、从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 200 名同学；（2）条形统计图中， m 40 ， n 60 ；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度；（4）学校计划购买课外读物 5000 册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？【分析】（1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为： n20030%60 人
29、，即可得出 m 的值；（3）利用 360乘以对应的百分比即可求解；（4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计 6000 册中其他读物的数量；【解答】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，故本次调查中，一共调查了：7035%200 人，故答案为：200； 18（2）根据科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为： n20030%60 人，m20070306040 人，故 m40， n60； 故答案为：40，60；（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是： 36072，故答案为：72； （4）由题意，得 5000 750（册）答：学校购买其他类读物
30、 750 册比较合理【点评】此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键18（6 分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200 m、1000 m（分别用 A1、 A2、 A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、 T2表示）（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2为 【分析】
31、（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1；（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率 P2【解答】解：（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P ；（2）画树状图为：19共有 20 种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为 12，所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1 ；（3）两个项目都是径赛项目的结果数为 6，所以两个项目都是径赛项目的概率 P2 故答案为 ， 【点评】本
32、题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率19（6 分）如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据，求出坡角 和坝底宽 AD（结果果保留根号）【分析】在 Rt CED 中，已知铅直高度以及坡度比，可求出坡角 、 DE 的长；过 B 作 BF AD于 F，在 Rt ABF 中，根据铅直高度和坡长，可求出 AF 的长 AD AF+BC+DE【解答】解：过 B 作 BF AD 于 F 在 Rt ABF 中， AB5， BF CE4 AF3在 Rt CDE 中，tan
33、 i 30且 DE 4 ， AD AF+FE+ED3+4.5+4 7.5+4 答：坡角 等于 30，坝底宽 AD 为 7.5+4 【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用坡度坡角问题，关键是作“两高”构造出20直角三角形和矩形，是解有关梯形问题时常作的辅助线20（8 分）为迎接北京 2022 年冬奥会，某工艺厂准备生产奥运会标志与奥运会吉祥物，该厂主要用甲、乙两种原料已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完（1）求该厂能
34、生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？（2）如果奥运会标志的成本为 16 元，奥运会吉祥物的成本为 15 元，若东营客商购进奥运会标志和奥运会吉祥物共 250 件进行试销，其中奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数，且不小于 80 件，已知奥运会标志的售价为 24 元/件，奥运会吉祥物的售价为 22 元/件，且全部售出，设购进奥运会标志 m 件，求该客商销售这批商品的利润 y 与 m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，东营客商决定在试销活动中毎售出一件奥运会标志，就从一件奥运会标志的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益【分析
35、】（1）设该厂能生产奥运会标志 x 套，能生产奥运会吉祥物 z 套，根据该厂购进甲、乙原料的数量，即可得出关于 x、 z 的二元一次方程，解之即可得出结论；（2）设购进奥运会标志 m 件，则购进奥运会吉祥物（250 m）件，根据总利润单价利润购进数量，即可得出 y 关于 m 的函数关系式，再由奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数且不小于 80 件，即可得出 m 的取值范围；（3）设该客商售完所有商品并捐献资金后获得的收益为 w 元，根据收益利润捐献总资金，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设该厂能生产奥运会标志 x 套，能生产奥运会
36、吉祥物 z 套，根据题意得： ，解得： 答：该厂能生产奥运会标志 2000 套，能生产奥运会吉祥物 2400 套（2）设购进奥运会标志 m 件，则购进奥运会吉祥物（250 m）件，根据题意得： y（2416） m+（2215）（250 m） m+1750奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数，且不小于 80 件， ，80 m12521（3）设该客商售完所有商品并捐献资金后获得的收益为 w 元，根据题意得： w y am（1 a） m+1750（80 m125），当 a1 时，1 a0， w 随 m 值的增大而增大，当 m125 时， w 取最大值，最大收益为125（1 a）+1750元；当
37、a1 时，1 a0， w1750，即在 80 m125 中，该客商均为 1750 元；当 a1 时，1 a0， w 随 x 值的增大而减小，当 m80 时， w 取最大值，最大收益为80（1 a）+1750元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，找出 y关于 m 的函数关系式；（3）利用一次函数的性质解决最值问题21（8 分）如图，平行四边形 ABCD， F 是对角线 AC 上的一点，过点 D 作 DE AC，且 DE CF，连接 AE、 DE、 EF（1）求证： ADE
38、BCF；（2）若 BAF+ AED180，求证：四边形 ABFE 为菱形【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可【解答】证明：（1）平行四边形 ABCD， AD BC， AD BC， DAC BCF， DE AC， DAC EDA， FCB EDA，在 ADE 与 BCF 中22， ADE BCF（ SAS）；（2） DE AC，且 DE AC，四边形 EFCD 是平行四边形， DC EF，且 DC EF，又 AB CD， AB CD， AB EF， AB EF，四边形 ABFE 是平行四边形， ADE BCF， AED BF
39、C， BAF+ AED180， BAF+ BFC180，又 BFA+ BFC180， BAF BFA， BA BF，四边形 ABFE 为菱形【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答22（10 分）某商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每周可卖出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每周就会少卖出 5 件，但每件售价不能高于 50 元，设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为整数），每周的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润
40、？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是 2145 元？【分析】（1）根据销售利润每件的利润销售数量，构建函数关系即可（2）利用二次函数的性质即可解决问题（3）列出方程，解方程即可解决问题【解答】解：（1）由题意得：y（40+ x30）（1805 x）5 x2+130x+1800（0 x10）23（2）对称轴： x 13，1310， a50，在对称轴左侧， y 随 x 增大而增大，当 x10 时， y 最大值 510 2+13010+18002600，售价40+1050 元答：当售价为 50 元时，可获得最大利润 2600 元（3）由题意得：5 x2+130x+18
41、002145解之得： x3 或 23（不符合题意，舍去） 售价40+343 元答：售价为 43 元时，每周利润为 2145 元【点评】本题考查二次函数的应用、最值问题、一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型23（10 分）一张正方形纸的内部被针扎了 2010 个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何 3 点都不共线作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？【分析】利用三角形的内角和解决问
42、题，根据题意可得出正方形的每个顶点都提供 90的角，每个孔点则提供 360的角，从而可得出所有三角形的内角和表达式，从而设共分成了 n 个三角形，于是它们的内角和为 n180，联立可得出 n 的值，也可得出所作的线段数【解答】解：把 2010 个小孔和正方形的 4 个顶点所组成的集合称之为 M，显然， M 中的点都是一些三角形的公共顶点，下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，设共分成了 n 个三角形，于是它们的内角和为 n180，另一方面，这些三角形的内角的顶点都是 M 中的点，也即它们的内角都是由 M 中的点提供的，正方形的每个顶点都提供 90的角，每个孔点则提供 360的角，所以得到
43、的 n 个三角形的内角和又应为：490+20103602011360，综合两个方面可得 n1802011360，则 n4022，即有 4022 个三角形24这 4022 个三角形共有 40223 条边，其中有 4 条边是原正方形的 4 条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为（402234）26031综上所述可得一共作了 6031 条线段，共得到 4022 个三角形【点评】此题考查了立体图形的知识，解答本题的关键是得出在组成三角形的过程中，正方形的每个顶点都提供 90的角，每个孔点则提供 360的角，从而根据三角形的内角和得出方程，难度较大
44、24（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E， F 分别在边 AB， AD 上，且 ECF45， CF的延长线交 BA 的延长线于点 G， CE 的延长线交 DA 的延长线于点 H，连接 AC， EF， GH（1）填空： AHC ACG；（填“”或“”或“”）（2）线段 AC， AG， AH 什么关系？请说明理由；（3）设 AE m， AGH 的面积 S 有变化吗？如果变化请求出 S 与 m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值请直接写出使 CGH 是等腰三角形的 m 值【分析】（1）证明 DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45，即可推出 AHC ACG；（2）结
45、论： AC2 AGAH只要证明 AHC ACG 即可解决问题；（3） AGH 的面积不变理由三角形的面积公式计算即可；分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形， AB CB CD DA4， D DAB90 DAC BAC45，25 AC 4 ， DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45， AHC ACG故答案为（2）结论： AC2 AGAH理由： AHC ACG， CAH CAG135， AHC ACG， ， AC2 AGAH（3） AGH 的面积不变理由： S AGH AHAG AC2 （4 ） 216 AGH 的面积为 16如图 1 中，当
46、GC GH 时，易证 AHG BGC，可得 AG BC4， AH BG8， BC AH， ， AE AB 如图 2 中，当 CH HG 时，26易证 AH BC4， BC AH， 1， AE BE2如图 3 中，当 CG CH 时，易证 ECB DCF22.5在 BC 上取一点 M，使得 BM BE， BME BEM45， BME MCE+ MEC， MCE MEC22.5， CM EM，设 BM BE x，则 CM EM x， x+ x4， m4（ 1）， AE44（ 1）84 ，综上所述，满足条件的 m 的值为 或 2 或 84 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角27形的判定和性质等知识，解
