1、1专题训练(四)与圆有关的计算和证明1.2017庆阳如图 ZT4-1,AN是 M的直径, NB x轴, AB交 M于点 C.点 A(0,6),N(0,2), ABN=30.图 ZT4-1(1)求点 B的坐标;(2)若 D为线段 NB的中点,求证:直线 CD是 M的切线 .2.2017巴中如图 ZT4-2,AH是 O的直径, AE平分 FAH,交 O于点 E,过点 E的直线 FG AF,垂足为 F,B为半径 OH上一点,点 E,F分别在矩形 ABCD的边 BC和 CD上 .图 ZT4-2(1)求证:直线 FG是 O的切线 .(2)若 AF=12,BE=6,求 的值 .FCAD23.2018贵港如
2、图 ZT4-3,已知 O是 ABC的外接圆,且 AB=BC=CD,AB CD,连接 BD.图 ZT4-3(1)求证: BD是 O的切线;(2)若 AB=10,cos BAC= ,求 BD的长及 O的半径 .354.2018曲靖如图 ZT4-4,AB为 O的直径,点 C为 O上一点,将 沿直线 BC翻折,使 的中点 D恰好与圆心 O重合,连BC BC接 OC,CD,BD,过点 C的切线与线段 BA的延长线交于点 P,连接 AD,在 PB的另一侧作 MPB= ADC.图 ZT4-4(1)判断 PM与 O的位置关系,并说明理由;(2)若 PC= ,求四边形 OCDB的面积 .335.2017内江如图
3、 ZT4-5,在 O中,直径 CD垂直于不过圆心 O的弦 AB,垂足为点 N,连接 AC,点 E在 AB上,且 AE=CE.(1)求证: AC2=AEAB;(2)过点 B作 O的切线交 EC的延长线于点 P,试判断 PB与 PE是否相等,并说明理由;(3)设 O的半径为 4,点 N为 OC中点,点 Q在 O上,求线段 PQ的最小值 .图 ZT4-56.2018广东如图 ZT4-6,四边形 ABCD中, AB=AD=CD,以 AB为直径的 O经过点 C,连接 AC,OD交于点 E.图 ZT4-6(1)证明: OD BC;(2)若 tan ABC=2,证明: DA与 O相切;(3)在(2)的条件下
4、,连接 BD交 O于点 F,连接 EF,若 BC=1,求 EF的长 .4参考答案1.解:(1) A的坐标为(0,6), N(0,2), AN=4. ABN=30, ANB=90, AB=2AN=8,由勾股定理可知 NB=4 ,3 B(4 ,2).3(2)证明:连接 MC,NC. AN是 M的直径, ACN=90, NCB=90.在 Rt NCB中, D为 NB的中点, CD= NB=ND, CND= NCD,12 MC=MN, MCN= MNC. MNC+ CND=90, MCN+ NCD=90,即 MC CD.直线 CD是 M的切线 .2.解:(1)证明:连接 OE.5 OA=OE, OAE
5、= OEA. AE平分 FAH, HAE= EAF, FAE= OEA, OE AF, OEG= AFG.又 AF FG, AFG=90, OEG= AFG=90, OE FG,直线 FG是 O的切线 .(2)四边形 ABCD为矩形, BE AB. EF AF,又 AE平分 FAB, EF=BE=6.又四边形 ABCD为矩形, D= C=90. D=90, DAF+ AFD=90.又 AF FG, AFG=90, AFD+ CFE=90, DAF= CFE.又 D= C, ADF FCE, FCAD=EFAF. FCAD= 6 12=1 2.3.解:(1)连接 BO并延长交 AC于 H,6由于
6、 O是 ABC的外接圆, AB=BC,则 BH AC且 AH=CH,又 AB=CD,AB CD,四边形 ABDC是平行四边形, AC BD, BH BD,即 OB BD, BD是 O的切线 .(2)由(1)知, BD=AC,而 AC=2AH=2ABcos BAC=210 =12.35 BD=12.设圆的半径为 r,OH=x,则有 r+x=BH,连接 AO,在 Rt OAH中, AH2+x2=r2,又 BH= = =8,AB2-AH2 102-62 r+x=8.又由 AH2+x2=r2得,( r+x)(r-x)=AH2=36, r-x= .92 , 联立,解得 r= ,254 O的半径为 .25
7、44.解:(1)过点 O作 OH PM,连接 OD交 BC于点 E,由于点 D为 中点,且沿 BC折叠与 O重合,所以 OD垂直平分BCBC,OE= OD= OB,12 127所以 OBC=30,所以 ADC= MPB=30,则 POH=60,又因为 POC=2 OBC=60,所以 POH= POC,又因为 PHO= PCO,PO=PO,所以 PHO PCO,所以 OH=OC,直线 PM到圆心的距离等于 半径,且 OH PM,因此 PM是 O的切线 .(2)由于 D是 中点,且沿 BC折叠与点 O重合,BC所以 OB=DB,OC=CD,又因为 OC=OB,所以 OC=CD=DB=BO,所以 C
8、OD是等边三角形,四边形 OCDB是菱形,由(1)得出 CPO= HPO=30,所以 OC=PCtan30= =1,333则四边形 OCDB的面积为 2 1 1 = ,12 32 32因此四边形 OCDB的面积为 .325.解:(1)证明:如图,连接 BC, CD AB, = , CAB= CBA.CBCA又 AE=CE, CAE= ACE. ACE= ABC.8 CAE= BAC, CAE BAC. = ,即 AC2=AEAB.ACABAEAC(2)PB=PE.理由如下:如图,连接 BD,OB. CD是直径, CBD=90. BP是 O的切线, OBP=90. BCD+ D= PBC+ OB
9、C=90. OB=OC, OBC= OCB. PBC= D. A= D, PBC= A. ACE= ABC, PEB= A+ ACE, PBN= PBC+ ABC, PEB= PBN. PE=PB.(3)如图,连接 PO交 O于点 Q,则此时线段 PQ有最小值 . N是 OC的中点, ON=2. OB=4, OBN=30, PBE=60. PE=PB, PEB是等边三角形 . PEB=60,PB=BE.9在 Rt BON中, BN= = =2 .OB2-ON2 42-22 3在 Rt CEN中, EN= = = .CNtan602323 3 BE=BN+EN= .83 3 PB=BE= .83
10、 3 PQ=PO-OQ= -OQ= -4= -4.OB2+PB2 42+(83 3) 2 43 216.解析 (1)连接 OC,由 SSS可证得 OAD OCD,得 ADO= CDO,由 AD=CD可证 DE AC,再由 AB为直径证得 BC AC,从而得 OD BC;(2)根据 tan ABC=2,可设 BC=a,则 AC=2a,AD=AB= = a,由 OE为中位线知AC2+BC2 5OE= a,AE=CE= AC=a,进一步求得 DE= =2a,在 AOD中利用勾股定理的逆定理证 OAD=90即可;(3)先证12 12 AD2-AE2AFD BAD,得 DFBD=AD2,再证 AED O
11、AD,得 ODDE=AD2,从而可得 DFBD=ODDE,即 = ,结合 EDF= BDO知DFODDEBD EDF BDO,据此可得 = ,结合(2)所得相关线段的长,代入计算可得 .EFOBDEBD解:(1)证明:连接 OC,在 OAD和 OCD中, OA=OC,AD=CD,OD=OD, OAD OCD(SSS), ADO= CDO. AD=CD, DE AC, AEO=90. AB为 O的直径, ACB=90,10 AEO= ACB, OD BC.(2)证明:tan ABC= =2,ACBC设 BC=a,则 AC=2a, AD=AB= = a.AC2+BC2 5 OE BC,且 AO=B
12、O, OE= BC= a,AE=CE= AC=a.12 12 12在 AED中, DE= =2a.AD2-AE2在 AOD中, AO2+AD2= a 2+( a)2= a2,OD2=(OE+DE)2= a+2a 2= a2,52 5 254 12 254 AO2+AD2=OD2, OAD=90,则 DA与 O相切 .(3)连接 AF, AB是 O的直径, AFD= BAD=90,又 ADF= BDA, AFD BAD, = ,即 DFBD=AD2.DFADADBD11 AED= OAD=90, ADE= ODA, AED OAD, = ,即 ODDE=AD2.ADODDEAD由 可得 DFBD=ODDE,即 = ,DFODDEBD又 EDF= BDO, EDF BDO, BC=1, AB=AD= ,OD= ,ED=2,BD= ,OB= ,552 10 52 = ,即 = ,EFOBDEBD EF52 210解得 EF= .2212
