1、12018-2019 学年河北省沧州市东光县于桥乡中学九年级（下）第一次月考数学试卷一选择题（共 16 小题，满分 42 分）1下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D2在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，下列说法错误的是（ ）A科比罚球投篮 2 次，一定全部命中B科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中C科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大D科比罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小3我市某家快递公司，今年 8 月份与 10 月份完成投递的快递总件数分别为 6 万件和 8.5 万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）A6
2、（1+ x）8.5 B6（1+2 x）8.5C6（1+ x） 28.5 D6+6（1+ x）+6（1+ x） 28.54一元二次方程 x2+mx+n0 的两根为1 和 3，则 m 的值是（ ）A3 B3 C2 D25对于反比例函数 y ，下列说法不正确的是（ ）A图象分布在第二、四象限B当 x0 时， y 随 x 的增大而增大C图象经过点（1，2）D若点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）都在图象上，且 x1 x2，则 y1 y26如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树 A 和 B 之间的距离，在垂直 AB 的方向 AC 上确定点 C，如果测得 AC75
3、 米， ACB55，那么 A 和 B 之间的距离是（ ）米2A75sin55 B75cos55 C75tan55 D7如图，平面直角坐标系中， P 与 x 轴分别交于 A、 B 两点，点 P 的坐标为（3，1）， AB将 P 沿着与 y 轴平行的方向平移多少距离时 P 与 x 轴相切（ ）A1 B2 C3 D1 或 38如图 ABC 绕点 B 顺时针旋转，旋转角是 ABC，那么下列说法错误的是（ ）A BC 平分 ABE B AB BD C AC BE D AC DE9如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A和 B和 C和 D和10在 ABC 中， A， O 为 ABC
4、的内心，则 BOC 的度数是（ ）A90+ B90 C180 D18011在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为 m，最多个数为 n，下列正确的是（ ）3A m5， n13 B m8， n10 C m10， n13 D m5， n1012已知 O1和 O2外切于 M， AB 是 O1和 O2的外公切线， A， B 为切点，若MA4 cm， MB3 cm，则 M 到 AB 的距离是（ ）A cm B cm C cm D cm13二次函数的部分图象如图所示，对称轴是 x1，则这个二次函数的表达式为（ ）A y x2+2x+3
5、B y x2+2x+3 C y x2+2x3 D y x22 x+314如图，在 ABC 中，已知 ADE B，则下列等式成立的是（ ）A B C D15如图，两个反比例函数 y 和 y 在第一象限内的图象分别是 C1和 C2，设点 P 在 C1上，PA x 轴于点 A，交 C2于点 B，则 POB 的面积为（ ）A1 B2 C4 D无法计算16如图，抛物线 y ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标（1， n）与 y 轴的交点在4（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：3 a+b0；1 a ；对于任意实数 m， a+b am2+bm 总成立；关于 x 的方程
6、ax2+bx+c n1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分）17如图，一人乘雪橇沿坡比 1： 的斜坡笔直滑下 72 米，那么他下降的高度为 米18如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为 r 的圆形和一个半径为 R 的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则 R 与 r 之间的关系是 19请你根据已有的学习经验和策略，试着研究函数 y ，并提出这个函数的两条性质 20如图，正三角形和正方形内接于同一个圆；如图，正方形和正五边形内接于同一个圆；如图，正五边形和正六边形内接于同一个圆；则对于图来说，
7、BD 可以看作是正 边形的边长；若正 n 边形和正（ n+1）边形内接于同一个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形的顶点可以看做是 边形的边长5三解答题（共 7 小题，满分 66 分）21（1）解方程 x22 x8（2）已知 a： b： c3：2：5求 的值22如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4）， B（1，1）， C（4，3）（1）请画出 ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的 A1B1C1；并写出 A1、 B1、 C1三点的坐标（2）求出（1）中 C 点旋转到 C1点所经过的路径长（结果保留 ）23已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5
8、 个红球（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y12 x 的图象与反比例函数 y2 的图象交于 A（1， n）， B 两点（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足 y2 的取值范围；6（3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若 POB 的面积为 1，请直接
9、写出点 P 的横坐标25如图， AC 是 O 的直径，点 D 是 O 上一点， O 的切线 CB 与 AD 的延长线交于点 B，点 F 是直径 AC 上一点，连接 DF 并延长交 O 于点 E，连接 AE（1）求证： ABC AED；（2）连接 BF，若 AD ， AF6，tan AED ，求 BF 的长26在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 32m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB， BC 两边），设 AB xm（1）若花园的面积为 252m2，求 x 的值；（2）若在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离分别是 17m 和 6m，
10、要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值27如图 1，在 Rt ACB 中， ACB90， ABC30， AC2， CD AB 于点 D，将 BCD 绕点 B顺时针旋转 得到 BFE（1）如图 2，当 60时，求点 C、 E 之间的距离；7（2）在旋转过程中，当点 A、 E、 F 三点共线时，求 AF 的长；（3）连结 AF，记 AF 的中点为 P，请直接写出线段 CP 长度的最小值82018-2019 学年河北省沧州市东光县于桥乡中学九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 16 小题，满分 42 分）1【分析】根据中心对称图形的概念求解【
11、解答】解： A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选： B【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合2【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中， A 选项错误、 B 选项正确；科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大、不命中的可能性较小， C、 D 选项说法正确；故选： A【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示
12、发生的机会的大小，机会大也不一定发生3【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，根据今年 8 月份与 10 月份完成投递的快递总件数，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得：6（1+ x） 28.5故选： C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键4【分析】根据根与系数的关系得到1+3 m，然后解关于 m 的方程即可，【解答】解：根据题意得1+3 m，所以 m2故选： C9【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1， x2是一元二次方程 ax2+
13、bx+c0（ a0）的两根时，x1+x2 ， x1x2 5【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解： A、 k20，它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B、 k20，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，故本选项正确；C、 2，点（1，2）在它的图象上，故本选项正确；D、点 A（ x1， y1）、 B（ x2、 y2）都在反比例函数 y 的图象上，若 x1 x20，则 y1 y2，故本选项错误故选： D【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 y （ k0），（1） k0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小；
14、（2） k0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大6【分析】根据题意，可得 Rt ABC，同时可知 AC 与 ACB根据三角函数的定义解答【解答】解：根据题意，在 Rt ABC，有 AC75， ACB55，且 tan ，则 AB ACtan5575tan55，故选： C【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义7【分析】作 PC AB 于点 C，由垂径定理即可求得 AC 的长，根据勾股定理即可求得 PA 的长，再分点 P 向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可【解答】解：连接 PA，作 PC AB 于点 C，由垂径定理得：AC AB 2
15、 ，在直角 PAC 中，由勾股定理得： PA2 PC2+AC2，即 PA21 2+（ ） 24， PA2， P 的半径是 2将 P 向上平移，当 P 与 x 轴相切时，平移的距离1+23；将 P 向下平移，当 P 与 x 轴相切时，平移的距离211故选： D10【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键8【分析】由 ABC 绕点 B 顺时针旋转，旋转角是 ABC，根据旋转的性质得到BD BA， BE BC， DBE ABC，即可对选项进行判断【解答】解： ABC 绕点 B 顺时针旋转，旋转角是 ABC， BA 的对应边为 BD， BC
16、的对应边为 BE， BD BA， BE BC， DBE ABC，所以 A， B， D 选项正确， C 选项不正确故选： C【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等9【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目【解答】解：和相似，由勾股定理求出的三角形的各边长分别为 2、 、 ；由勾股定理求出的各边长分别为 2 、2、2 ， ， ，即 ，两三角形的三边对应边成比例，相似故选： C【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用10【分析】由三角形内切定义可知：
17、 OB、 OC 是 ABC、 ACB 的角平分线，利用三角形内角和定11理和角平分线定义可知关系式 OBC+ OCB （ ABC+ ACB），把对应数值代入即可求得 BOC 的度数【解答】解： O 为 ABC 的内心， OB、 OC 是 ABC、 ACB 的角平分线， OBC+ OCB （ ABC+ ACB） （180 A）， A， BOC180（ OBC+ OCB）90+ ，故选： A【点评】本题通过三角形内切圆，考查了三角形内心的性质以及三角形的内角和定理11【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最少及最多有几个正方体组成即可【解答】解：底层正方体最少的个数应是 3 个，第二层正
18、方体最少的个数应该是 2 个，因此这个几何体最少有 5 个小正方体组成；易得第一层最多有 9 个正方体，第二层最多有 4 个正方体，所以此几何体最多共有 13 个正方体即 m5、 n13，故选： A【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需正方体的个数12【分析】先画图，由 AB 是 O1和 O2的外公切线，则 O1AB O2BA90，再由O1A O1M， O2B O2M，得 O1AM O1MA， O2BM O2MB，则 BAM+ AMO190， ABM+ BMO290，则 AMB BMO2+ AMO190，再由勾股定理求出 AB 边
19、上的高【解答】解：如图， AB 是 O1和 O2的外公切线， O1AB O2BA90， O1A O1M， O2B O2M， O1AM O1MA， O2BM O2MB， BAM+ AMO190， ABM+ BMO290，12 AMB BMO2+ AMO190， AM BM， MA4 cm， MB3 cm，由勾股定理得， AB5 cm，由三角形的面积公式， M 到 AB 的距离是 cm，故选： B【点评】本题考查了本题考查的是切线长定理、勾股定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长13【分析】由抛物线的对称轴为直线 x1 设解析式为 y a（ x+1
20、） 2+k，将（3，0）、（0，3）代入求出 a、 k 的值即可得【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线 x1，过点（3，0）、（0，3），设抛物线解析式为 y a（ x+1） 2+k，将（3，0）、（0，3）代入，得： ，解得： ，则抛物线解析式为 y（ x+1） 2+4 x22 x+3，故选： D【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式14【分析】首先证明 AED ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案【解答】解： A A， ADE B， AED ACB， 故选： A【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断
21、三角形相似的方法和相似13三角形的性质15【分析】根据反比例函数 y （ k0）系数 k 的几何意义得到 S POA 42， SBOA 21，然后利用 S POB S POA S BOA进行计算即可【解答】解： PA x 轴于点 A，交 C2于点 B， S POA 42， S BOA 21， S POB211故选： A【点评】本题考查了反比例函数 y （ k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数y （ k0）图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为| k|16【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，再由抛物线的对称轴方程得到 b2 a，则3a+b a，于是可对进行
22、判断；利用 2 c3 和 c3 a 可对进行判断；利用二次函数的性质可对进行判断；根据抛物线 y ax2+bx+c 与直线 y n1 有两个交点可对进行判断【解答】解：抛物线开口向下， a0，而抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2 a，3 a+b3 a2 a a0，所以正确；2 c3，而 c3 a，23 a3，1 a ，所以正确；抛物线的顶点坐标（1， n）， x1 时，二次函数值有最大值 n， a+b+c am2+bm+c，即 a+b am2+bm，所以正确；抛物线的顶点坐标（1， n），抛物线 y ax2+bx+c 与直线 y n1 有两个交点，关于 x 的方程 ax2+bx+c n1
23、有两个不相等的实数根，所以正确14故选： D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0， c）抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定： b24 ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； b24 ac0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点； b24 ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点二填空题（
24、共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分）17【分析】因为其坡比为 1： ，则坡角为 30 度，然后运用正弦函数解答【解答】解：因为坡度比为 1： ，即 tan ，30则其下降的高度72sin3036（米）【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用18【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算【解答】解：扇形的弧长是： ，圆的半径为 r，则底面圆的周长是 2 r，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： 2 r， 2 r，即： R4 r，r 与 R 之间的关系是 R4 r故答案为： R4 r【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问
25、题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键19【分析】根据反比例函数的性质以及函数值为正的特点得出即可15【解答】解：函数 y 的两条性质有：函数图象在一二象限，在第一象限 y 随 x 的增大而减小，在第二象限 y 随 x 的增大而增大；函数的图象关于 y 轴对称，故答案为：函数图象在一二象限，在第一象限 y 随 x 的增大而减小，在第二象限 y 随 x 的增大而增大；函数的图象关于 y 轴对称，【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键20【分析
26、】如图，连接 OA、 OB、 OD，先计算出 AOD120， AOB90，则 BOD30，然后计算 可判断 BD 是正 十二边形的边长；对于正 n 边形和正（ n+1）边形内接于同一个圆，同样计算出 BOD AOD AOB ，利用 n（ n+1）可判断 BD 可以看作是正 n（ n+1）边形的边长【解答】解：如图，连接 OA、 OB、 OD，正三角形 ADC 和正方形 ABCD 接于同一个 O， AOD 120， AOB 90， BOD AOD AOB30， 12， BD 可以看作是正 十二边形的边长；若正 n 边形和正（ n+1）边形内接于同一个圆，同理可得 AOD ， AOB ， BOD
27、AOD AOB ， n（ n+1）， BD 可以看作是正 n（ n+1）边形的边长故答案为十二；正 n（ n+1）16【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成 n（ n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角三解答题（共 7 小题，满分 66 分）21【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据比例设 a3 k， b2 k， c5 k（ k0），然后代入比例式进行计算即可得解【解答】解：（1）配方得， x22 x+18+1，（ x1） 29，由此得， x13，x13 或 x1
28、3，解得 x14， x22；（2） a： b： c3：2：5，设 a3 k， b2 k， c5 k（ k0）， 【点评】本题考查了比例的性质，解二元一次方程，利用“设 k 法”求解更简便22【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、 B、 C 的对应点 A1、 B1、 C1，然后写出它们的坐标；（2）先计算出 OC 的长，然后根据弧长公式计算 C 点旋转到 C1点所经过的路径长【解答】解：（1）如图， A1B1C1为所作， A1、 B1、 C1三点的坐标分别为（4，2），（1，1），（3，4）；17（2） OC 5，所以 C 点旋转到 C1点所经过的路径长 【点评】本题考查了作图：旋转
29、变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形23【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有 x 个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为 列出关于 x 的方程，解之可得【解答】解：（1）袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；（2）列表如下：白 白 红 红 红 红 红白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）
30、（白，红）白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）18红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20
31、 种结果，两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；（3）设有 x 个红球被换成了黄球根据题意，得： ，解得： x3，即袋中有 3 个红球被换成了黄球【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比24【分析】（1）把 A（1， n）代入 y2 x，可得 A（1，2），把 A（1，2）代入 y ，可得反比例函数的表达式为 y ，再根据点 B 与点 A 关于原点对称，即可得到 B 的坐标；（2）观察函数图象即可求解；（3）设 P（ m， ），根据 S 梯形 MBPN S POB1，可得方程 （2+ ）（ m1）1 或（2+ ）（1 m）1，求得 m 的值，即可得到点 P 的
32、横坐标【解答】解：（1）把 A（1， n）代入 y2 x，可得 n2， A（1，2），把 A（1，2）代入 y ，可得 k2，反比例函数的表达式为 y ，点 B 与点 A 关于原点对称， B（1，2）（2） A（1，2）， y2 的取值范围是 x1 或 x0；（3）作 BM x 轴于 M， PN x 轴于 N， S 梯形 MBPN S POB1，设 P（ m， ），则 （2+ ）（ m1）1 或 （2+ ）（1 m）119整理得， m2 m10 或 m2+m+10，解得 m 或 m ， P 点的横坐标为 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图
33、象的交点坐标满足两函数的解析式25【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出 ACD ABC，进而得出答案；（2）首先得出 DC 的长，即可得出 FC 的长，再利用已知得出 BC 的长，结合勾股定理求出答案【解答】（1）证明：连接 DC， AC 是 O 的直径， BDC90， ABC+ BCD90， O 的切线 CB 与 AD 的延长线交于点 B， BCA90， ACD+ BCD90， ACD ABC， ABC AED；（2）解：连接 BF，在 Rt ADC 中， AD ，tan AED ，tan ACD ， DC AD ，20 AC 8， AF6， CF AC AF862， AB
34、C AED，tan ABC ， ，解得： BD ，故 BC6，则 BF 2 【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出 ACD ABC 是解题关键26【分析】（1）根据 AB x 米可知 BC（32 x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据 P 处有一棵树与墙 CD、 AD 的距离分别是 18 米和 8 米求出 x 的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论【解答】解：（1）设 AB x 米，可知 BC（32 x）米，根据题意得： x（32 x）252解这个方程得： x118， x214，答： x 的长度 18m 或 14m（2）设周围的矩形面积为
35、S，则 S x（32 x）（ x16） 2+256在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离是 17m 和 6 米，6 x1521当 x15 时， S 最大 （1516） 2+256255（平方米）答：花园面积的最大值是 255 平方米【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解答此题的关键27【分析】（1）只要证明 CBE90，求出 BE， BC 利用勾股定理即可解决问题（2）分两种情形好像图形分别求解即可（3）如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 OP， CO利用三角形的中位线定理可得 OP ，推出点P 的运动轨迹是以 O 为圆心 为半径的圆，由此即可
36、解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，在 Rt ABC 中， ACB90， ABC30， AC2， AB2 AC4， BC 2 ， CD AB， ABCD ACBC， CD ， BD BE 3， ABE60， CBE30+6090， CE （2）如图 21 中，22 A， F， E 三点共线， AEB90， AE ， AF AE EF 如图 22 中，当 Q， E， F 共线时， AEB90， AE ， AF AE+EF + 综上所述， AF 的长为 + 或 （3）如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 OP， CO AO OB， AP PF， OP BF BC ，点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心 为半径的圆，23 OC AB2， CP 的最小值 OC OP2 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，勾股定理直角三角形 30度角的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
