1、12018-2019 学年浙江省杭州市开元中学九年级（下）月考数学试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1我国研制的“曙光 3000 超级服务器”排在全世界运算速度最快的 500 台高性能计算机的第 80位，它的峰值速度达到每秒 403 200 000 000 次，用科学记数法表示它的峰值计算速度为每秒（ ）A0.40321012 次 B403.210 9次C4.03210 11次 D4.03210 8次2下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D3已知反比例函数 的图象过点 P（1，3），则该反比例函数图象位于（ ）A第一、二象 B第一、三象
2、限C第二、四象限 D第三、四象限4如图，数轴 A、 B 上两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是（ ）A a+b0 B ab0 C 0 D + 05如图，是二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c0； b2 a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1； a2 b+c0其中正确的命题是（ ）2A B C D6若 y2+4y+4+ 0，则 yx的值为（ ）A6 B8 C6 D87如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块 A 的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度 h 与铁块被提起的时
3、间 t 之间的函数关系的大致图象是（ ）A BC D8如图， AB 为半圆 O 的直径， C 是半圆上一点，且 COA60，设扇形 AOC、 COB、弓形 BmC的面积为 S1、 S2、 S3，则它们之间的关系是（ ）A S1 S2 S3 B S2 S1 S3 C S1 S3 S2 D S3 S2 S19在 Rt ABC 中 C90， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， c3 a，tan A 的值为（ ）A B C D310一列数 a1， a2， a3满足条件： a12， an （ n2，且 n 为整数），则 a2018等于（ ）3A1 B C1 D2二填空题（共 6 小题，满分
4、24 分，每小题 4 分）11在实数范围内分解因式： x32 x 12不等式 5x27 x+1 的负整数解为 13李老师想从小明、小红、小丽和小亮四个人中用抽签的方式抽取两个人做流动值周生，则小红和小丽同时被抽中的概率是 14如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，符合条件的几何体有 种15如图，已知 A 地在 B 地正南方 3 千米处，甲乙两人同时分别从 A， B 两地向正北方向匀速直行，他们与 A 地的距离 s（千米）与所行的时间 t（小时）之间的函数关系图象用如图所示的 AC 和BD 表示，当他们行走 3 小时后，他们之间的距离为 千米16若点 A（ m，2）在反
5、比例函数 的图象上，则当函数值 y2 时，自变量 x 的取值范围是 三解答题（共 8 小题，满分 66 分）17计算：2 2 + sin45+|1 |+（3.14） 018先化简，再求值：（ + ） ，其中 a +119为了测量白塔的高度 AB，在 D 处用高为 1.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A 的仰角为 42，再向白塔方向前进 12 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 61，求白塔的高度 AB（参考数据sin420.67，tan420.90，sin610.87，tan611.80，结果保留整数）420“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村医疗合作的成果村民只要每人每年交10
6、元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图根据以上信息，解答以下问题：（1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款；（2）该乡若有 10 000 村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到 9 680 人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率21如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直线DC 与 AB 的延长线相
7、交于点 P，弦 CE 平分 ACB，交 AB 于点 F，连接 BE（1）求证： AC 平分 DAB；（2）求证： PCF 是等腰三角形；（3）若 AF6， EF2 ，求 O 的半径长522已知一次函数 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点 C（4， n）， CD x 轴于 D（1）求 m、 n 的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；（2）如果点 P、 Q 分别从 A、 C 两点同时出发，以相同的速度沿线段 AD、 CA 向 D、 A 运动，设AP k k 为何值时，以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与 AOB 相似？ k 为何值时，
8、 APQ 的面积取得最大值并求出这个最大值23如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点 B（6， m），与 x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点（1）求 m 的值；（2）求过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式；（3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1，是四边形 OACD面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由24（12 分）已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且a b（1）求 b 与 a 的关系
9、式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的6取值范围72018-2019 学年浙江省杭州市开元中学九年级（下）月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1我国研制的“曙光 3000 超级服务器”排在全世界运算速度最快的 500 台高性能计算机的第 80位，它的峰
10、值速度达到每秒 403 200 000 000 次，用科学记数法表示它的峰值计算速度为每秒（ ）A0.40321012 次 B403.210 9次C4.03210 11次 D4.03210 8次【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便确定 a10n（1| a|10， n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 403 200 000 000 有 12 位，所以可以确定 n12111【解答】解：403 200 000 0004.03210 11故选： C【点评】把一个数 M 记成 a10n（1| a|10， n 为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法
11、规律：（1）当| a|1 时， n 的值为 a 的整数位数减 1；（2）当| a|1 时， n 的值是第一个不是 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 02下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断【解答】解： A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；8C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误故选： B【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断关键是根据图形自身的对称性进行判断3已知反比例
12、函数 的图象过点 P（1，3），则该反比例函数图象位于（ ）A第一、二象 B第一、三象限C第二、四象限 D第三、四象限【分析】先根据反比例函数 的图象过点 P（1，3）求出 k 的值，进而可得出结论【解答】解：反比例函数 的图象过点 P（1，3）， k1330，此函数的图象在一、三象限故选： B【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数中 k xy 的特点求出k 的值是解答此题的关键4如图，数轴 A、 B 上两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是（ ）A a+b0 B ab0 C 0 D + 0【分析】本题要先观察 a， b 在数轴上的位置，得 b10 a1，然后
13、对四个选项逐一分析【解答】解： A、 b10 a1，| b| a|， a+b0，故选项 A 错误；B、 b0 a， ab0，故选项 B 错误；C、 b0 a， 0，故选项 C 错误；D、 b10 a1， + 0，故选项 D 正确故选： D【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数5如图，是二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象的一部分，给出下列命题：9 a+b+c0； b2 a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1； a2 b+c0其中正确的命题是（ ）A B C D【分析】根据抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）对进行判断；根据对称轴方程为x 1
14、 对进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0），由此对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，得到 c0，而a+b+c0，则 a2 b+c3 b，由 b0，于是可对进行判断【解答】解： x1 时， y0， a+b+c0，所以正确； x 1， b2 a，所以错误；点（1，0）关于直线 x1 对称的点的坐标为（3，0），抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0）， ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，所以正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0，而 a+b+c0， b2 a， c3 a， a2 b+c3 b， b0，3
15、b0，所以错误故选： C【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为10（0， c）6若 y2+4y+4+ 0，则 yx的值为（ ）A6 B8 C6 D8【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出 x、 y 的值，然后将它们代入 yx中求解即可【解答】解：由题意，得： ，解得 ；因此 yx（2） 38故选： B【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为 0 时，必须满足其中
16、的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目7如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块 A 的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度 h 与铁块被提起的时间 t 之间的函数关系的大致图象是（ ）A BC D【分析】根据题意，在实验中有 3 个阶段，、铁块在液面以下，、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，、铁块完全露出时，分析液面得变化，结合选项，可得答案【解答】解：根据题意，在实验中有 3 个阶段，、铁块在液面以下，液面得高度不变；11、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不
17、变；分析可得， B 符合描述；故选： B【点评】解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而得到整体得变化情况8如图， AB 为半圆 O 的直径， C 是半圆上一点，且 COA60，设扇形 AOC、 COB、弓形 BmC的面积为 S1、 S2、 S3，则它们之间的关系是（ ）A S1 S2 S3 B S2 S1 S3 C S1 S3 S2 D S3 S2 S1【分析】设出半径，作出 COB 底边 BC 上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解【解答】解：作 OD BC 交 BC 与点 D， COA60， COB120，则 COD60
18、 S 扇形 AOC ；S 扇形 BOC 在三角形 OCD 中， OCD30， OD ， CD ， BC R， S OBC ， S 弓形 ， ， S2 S1 S3故选： B12【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系9在 Rt ABC 中 C90， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， c3 a，tan A 的值为（ ）A B C D3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：sin A ，tan A ，故选： B【
19、点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型10一列数 a1， a2， a3满足条件： a12， an （ n2，且 n 为整数），则 a2018等于（ ）A1 B C1 D2【分析】根据题意可以求得前几个数的值，从而可以发现题目中数字的变化规律，从而可以求得 a2018的值【解答】解：一列数 a1， a2， a3满足条件： a12， an （ n2，且 n 为整数）， a12，a21，a3 ，a42，每三个数为一个循环，13201836722， a20181，故选： A【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律二填
20、空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11在实数范围内分解因式： x32 x x（ x+ ）（ x ） 【分析】提取公因式 x 后运用平方差公式进行二次分解即可【解答】解： x32 x x（ x22） x（ x+ ）（ x ）【点评】本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把 2 写成（ ） 2是继续利用平方差公式进行因式分解的关键12不等式 5x27 x+1 的负整数解为 x1 【分析】移项；合并同类项；化系数为 1，依此求出不等式的解，再写出它的负整数解即可【解答】解：5 x27 x+1，5x7 x1+2，2 x3，x1.5，故不等式 5x27 x+1 的负整数解为 x1故答
21、案为： x1【点评】考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为 113李老师想从小明、小红、小丽和小亮四个人中用抽签的方式抽取两个人做流动值周生，则小红和小丽同时被抽中的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小红和小丽同时被抽中的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：14共有 12 种等可能的结果，小红和小丽同时被抽中的有 2 种情况，小红和小丽同时被抽中的概率是： 故答案为： 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为
22、：概率所求情况数与总情况数之比14如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，符合条件的几何体有 7 种【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而得出答案【解答】解：该几何体中小正方体的分布情况有如下 7 种可能结果，故答案为：7【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答15案15如图，已知 A 地在 B 地正南方 3 千米处，甲乙两人同时分别从 A， B 两地向正北方向匀速直行，他们与 A 地的
23、距离 s（千米）与所行的时间 t（小时）之间的函数关系图象用如图所示的 AC 和BD 表示，当他们行走 3 小时后，他们之间的距离为 千米【分析】根据图分别求出甲乙两人行走时的路程与时间的关系一次函数，设 s kt+b，甲走的是C 路线，乙走的是 D 路线， C、 D 线均过（2，4）点，且分别过（0，0），（0，3），很容易求得，要求他们三小时后的距离即是求当 t3 时， sC与 sD的差【解答】解：由题，图可知甲走的是 C 路线，乙走的是 D 路线，设 s kt+b，因为 C 过（0，0），（2，4）点，所以代入得： k2， b0，所以 sC2 t因为 D 过（2，4），（0，3）点，代入
24、中得： k ， b3，所以 sD t+3，当 t3 时， sC sD6 故答案为：【点评】本题考查的是一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，中档题很常见的题型16若点 A（ m，2）在反比例函数 的图象上，则当函数值 y2 时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 x0 【分析】根据题意可求点 A 的坐标；画出草图，运用观察法求解16【解答】解：点 A（ m，2）在反比例函数 的图象上，2 m4， m2 A（2，2）当函数值 y2 时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 x0故答案为： x2 或 x0【点评】此题考查了反比例函数的图象及其性质以及运用观察法
25、解不等式，难度中等注意反比例函数的图象是双曲线三解答题（共 8 小题，满分 66 分）17计算：2 2 + sin45+|1 |+（3.14） 0【分析】根据特殊角的三角函数值非 0 实数的负整数次幂，非 0 实数的 0 次幂及绝对值的性质计算【解答】解：原式 + + 1+1 + 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，sin45 ；非实数的负整数次幂是实数整数次幂的倒数；非 0 数的 0 次幂等于 1；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 018先化简，再求值：（ + ） ，其中 a +1【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为 ，代入 a
26、的值即可得出结论【解答】解：原式（ + ） ， ，17 ， 当 a +1 时，原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键19为了测量白塔的高度 AB，在 D 处用高为 1.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A 的仰角为 42，再向白塔方向前进 12 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 61，求白塔的高度 AB（参考数据sin420.67，tan420.90，sin610.87，tan611.80，结果保留整数）【分析】设 AE x，在 Rt ACE 中表示出 CE，在 Rt AFE 中表
27、示出 FE，再由 DH CF12 米，可得出关于 x 的方程，解出即可得出答案【解答】解：设 AE x，在 Rt ACE 中， CE 1.1 x，在 Rt AFE 中， FE 0.55 x，由题意得， CF CE FE1.1 x0.55 x12，解得： x ，故 AB AE+BE +1.523 米答：这个电视塔的高度 AB 为 23 米18【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般20“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村医疗合作的成果村民只要每人每年交10 元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一
28、定比例返回的返回款这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图根据以上信息，解答以下问题：（1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款；（2）该乡若有 10 000 村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到 9 680 人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率【分析】（1）根据样本容量为各组频数之和，可得共有 240+60300（人）；其中有 2.5%即 6人得到了返回款；（2）用样本估计总体即可得出答案【解答】解：（1）调查的村民数240+60300 人，参
29、加合作医疗得到了返回款的人数2402.5%6 人；（2）参加医疗合作的百分率为 80%，估计该乡参加合作医疗的村民有 1000080%8000 人，设年增长率为 x，由题意知 8000（1+ x） 29680，解得： x10.1， x22.1（舍去），即年增长率为 10%答：共调查了 300 人，得到返回款的村民有 6 人，估计有 8000 人参加了合作医疗，年增长率为10%19【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为 1，直接反映部分占总体的百分
30、比大小21如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直线DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分 ACB，交 AB 于点 F，连接 BE（1）求证： AC 平分 DAB；（2）求证： PCF 是等腰三角形；（3）若 AF6， EF2 ，求 O 的半径长【分析】（1）根据切线的性质得 OC AD，而 AD DP，则肯定判断 OC AD，根据平行线的性质得 DAC OCA，加上 OAC OCA，所以 OAC DAC；（2）根据圆周角定理由 AB 为 O 的直径得 ACB90，则 BCE45，再利用圆周角定理得 BOE2 BC
31、E90，则 OFE+ OEF90，易得 CFP+ OEF90，再根据切线的性质得到 OCF+ PCF90，而 OCF OEF，根据等角的余角相等得到 PCF CFP，于是可判断 PCF 是等腰三角形；（3）连结 OE由 AB 为 O 的直径，得到 ACB90，根据角平分线的定义得到 BCE45，设 O 的半径为 r，则 OF6 r，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】（1）证明： PD 为 O 的切线， OC DP， AD DP， OC AD， DAC OCA， OA OC， OAC OCA， OAC DAC， AC 平分 DAB；20（2）证明： AB 为 O 的直径， ACB90， CE
32、 平分 ACB， BCE45， BOE2 BCE90， OFE+ OEF90，而 OFE CFP， CFP+ OEF90， OC PD， OCP90，即 OCF+ PCF90，而 OCF OEF， PCF CFP， PCF 是等腰三角形；（3）解：连结 OE AB 为 O 的直径， ACB90， CE 平分 ACB， BCE45， BOE90，即 OE AB，设 O 的半径为 r，则 OF6 r，在 Rt EOF 中， OE2+OF2 EF2， r2+（6 r） 2（2 ） 2，解得， r14， r22，当 r14 时， OF6 r2（符合题意），当 r22 时， OF6 r4（不合题意，舍去
33、）， O 的半径 r421【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题22已知一次函数 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点 C（4， n）， CD x 轴于 D（1）求 m、 n 的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；（2）如果点 P、 Q 分别从 A、 C 两点同时出发，以相同的速度沿线段 AD、 CA 向 D、 A 运动，设AP k k 为何值时，以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与
34、 AOB 相似？ k 为何值时， APQ 的面积取得最大值并求出这个最大值【分析】（1）首先根据反比例函数的解析式求得 n 的值，再根据点 C 的坐标求得 m 的值根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象；（2）已知 AOB 是直角三角形，要使以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与 AOB 相似，则 APQ90或 AQP90根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解；首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出 AP 边上的高，再进一步表示三角形的面积，根据函数解析式分析其最值【解答】解：（1）把（4， n）代入反比例函数 ，得： n6把（4，6）代入一次函数 y x+
35、m，得： m322 y x+3令 x0，则 y3；令 y0，则 x4（如图）（2）根据题意，得 AP CQ k，根据勾股定理，得 AC10，则 AQ10 k当 APQ90时，则有 ，即 ， k ；当 AQP90时，则有 ，即 ， k 作 QM x 轴于 M，则 AQM ACD，则有 ，即 ， QM 则 S APQ k k2+3k所以当 k5 时，则该三角形的面积的最大值是 7.5【点评】能够根据函数的解析式求得点的坐标，能够根据点的坐标求得函数的解析式；熟练运用相似三角形的判定和性质23如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点
36、 B（6， m），与 x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点（1）求 m 的值；（2）求过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式；（3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1，是四边形 OACD面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由23【分析】（1）由于反比例函数的图象都经过点 A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点 B（6， m），把 B 的坐标代入反比例函数的解析式即可确定 m 的值；（2）由于直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点 B（6， m），与 x 轴
37、、 y 轴分别交于C、 D 两点，由此首先确定直线 BD 的解析式，接着可以确定 C， D 的坐标，最后利用待定系数法即可确定过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式；（3）如图，利用（1）（2）知道四边形 OACD 是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设 E 的横坐标为 x，那么利用 x 可以表示其纵坐标，也可以表示 OEC 的面积，而 OCD 的面积可以求出，所以根据四边形 OECD 的面积 S1，是四边形 OACD 面积 S 的 即可列出关于 x 的方程，利用方程即可解决问题【解答】解：（1）反比例函数的图象都经过点 A（3，3），经过点 A 的反比例函数解析式为： y ，而直线 OA
38、向下平移后，与反比例函数的图象交于点 B（6， m）， m ；（2）直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点 B（6， ），与 x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点，而这些 OA 的解析式为 y x，设直线 CD 的解析式为 y x+b，代入 B 的坐标得： 6+ b， b4.5，24直线 OC 的解析式为 y x4.5， C、 D 的坐标分别为（4.5，0），（0，4.5），设过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式为 y ax2+bx+c，分别把 A、 B、 D 的坐标代入其中得：，解之得： a0.5， b4， c4.5 y0.5 x2+4x4.5；（3）如图，设 E 的横坐标
39、为 x，其纵坐标为0.5 x2+4x4.5， S1 （0.5 x2+4x4.5+ OD） OC， （0.5 x2+4x4.5+4.5）4.5， （0.5 x2+4x）4.5，而 S （3+ OD） OC （3+4.5）4.5 ， （0.5 x2+4x）4.5 ，解之得 x4 ，这样的 E 点存在，坐标为（4 ，0.5），（4+ ，0.5）【点评】本题考查点的坐标的求法及利用待定系数法确定二次函数解析式此题也为数学建模题，借助一元二次方程解决探究问题24（12 分）已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且a b25（1）求 b 与 a 的关
40、系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可得到关于 x 的一元二次
41、方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a b，判断 a0，确定 D、 M、 N的位置，画图 1，根据面积和可得 DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一个公共点时， t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时， t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 y ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0）， a+a+b0，即 b2 a， y ax2+ax+b ax2+ax2 a a（ x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ ， ）；（2）直线 y2 x+m 经过
42、点 M（1，0），021+ m，解得 m2， y2 x2，则 ，26得 ax2+（ a2） x2 a+20，（ x1）（ ax+2a2）0，解得 x1 或 x 2， N 点坐标为（ 2， 6）， a b，即 a2 a， a0，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x ， E（ ，3）， M（1，0）， N（ 2， 6），设 DMN 的面积为 S， S S DEN+S DEM |（ 2）1| （3）| ，（3）当 a1 时，抛物线的解析式为： y x2 x+2（ x+ ） 2+ ，有 ， x2 x+22 x，解得： x12， x21， G（1，2），点 G、 H 关于原点对称，
43、 H（1，2），设直线 GH 平移后的解析式为： y2 x+t， x2 x+22 x+t，x2 x2+ t0，14（ t2）0，t ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），27把（1，0）代入 y2 x+t，t2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点， t 的取值范围是 2 t 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大28
