1、1第三节 二次函数与幂函数突破点一 幂函数基 本 知 识 1幂函数的定义形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x是自变量， 为常数对于幂函数，只讨论 1,2,3，1 时的情形122五种幂函数的图象3五种幂函数的性质函数性质y x y x2 y x3 y x 12y x1定义域 R R R 0，)(，0)(0，)值域 R 0，) R 0，)(，0)(0，)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x0，)时，增；x(，0时，减增 增x(0，)时，减；x(，0)时，减基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 f(x) x2与函数 f(x)2 x2都是幂函数( )(2
2、)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( )(3)当 n0时，幂函数 y xn在(0，)上是增函数( )答案：(1) (2) (3)2二、填空题1(2019贵阳监测)已知幂函数 y f(x)的图象经过点 ，则 f _.(13， 3) (12)解析：设幂函数的解析式为 f(x) x ，将 代入解析式得 3 ，解得(13， 3) 3 ， f(x) x ， f .12 12(12) 2答案： 22设 ，则使 f(x) x 为奇函数且在(0，)上单调递减的 1，12， 1， 3的值是_解析：因为 f(x) x 为奇函数，所以 1,1,3.又因为 f(x)在(0，)上为减函数，所以 1.答案：
3、13若 y ax 是幂函数，则该函数的值域是_12a解析：由 y ax 是幂函数，得 a1，所以 y x ，所以 y0，故该函数的值域为120，)答案：0，)典 例 感 悟 1与函数 y x 1 的图象关于 x轴对称的图象大致是( )2解析：选 B y x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数12y x 1 的图象可看作由 y x 的图象向下平移一个单位得到的(如选项 A中的图象所示)，212将 y x 1 的图象关于 x轴对称后即为选项 B.2已知 a3 ， b4 ， c12 ，则 a， b， c的大小关系为( )52515A bbc，故选 C.3(2019河北保定调考)
4、幂函数 f(x)( m24 m4) x 在(0，)上为增函2-6+8m数，则 m的值为( )A1 或 3 B1C3 D2解析：选 B 由题知Error!解得 m1，故选 B.方 法 技 巧 幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键针 对 训 练 1若 a ， b ， c ，则 a， b， c的大小关系是 ( )(12)3(15)23(12)3A a0)是增函数， a b . y x是减函数23 (12)3(15)23(12)， a (m
5、2 m1) ，则实数 m的取值范围是( )12A. B.( ， 5 12 5 12 ， )C(1,2) D.5 12 ， 2)解析：选 D 因为函数 y x 的定义域为0，)，12且在定义域内为增函数，所以不等式等价于Error!解得Error!即 m0 a4ac；2 a b1； a b c0；5 a0，即b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线 x1，即 1,2 a b0，错b2a误；结合图象知，当 x1 时， y0，即 a b c0，错误；由对称轴为直线 x1 知，b2 a，又函数的图象开口向下， a0)对任意实数 x都有f(2 x) f(2 x)，则( )A f(2)0知 f(x)
6、min f(2)，由 210)在区间 m， n上的最大或最小值如下：(1)当 m， n，即对称轴在所给区间内时：b2af(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是 f ；若 ， f(x)(b2a) 4ac b24a b2a m n2的最大值为 f(n)；若 ， f(x)的最大值为 f(m)b2a m n2(2)当 m， n，即给定的区间在对称轴的一侧时：b2af(x)在 m， n上是单调函数若 0，二次函数 f(x) ax2 bx c的图象可能是( )考 法 二 考 向 一 解析：选 D 当 a0时， b， c同号，排除 C项；D 项中，由图象知 a0， c0，故 bf(x2)C f(x1)f(x2) D与 x的值无关解析：选 C 由题知二次函数 f(x)的图象开口向下，图象的对称轴方程为 x ，14因为 x1 x20，所以直线 x x1， x x2关于直线 x0 对称，由 x1x2，结合二次函数的图象可知 f(x1)f(x2)104. 函数 y x22 ax(0 x1)的最大值是 a2，则实数 a的取值范考 法 二 考 向 三 围是( )A0,1 B0,2C2,0 D1,0解析：选 D y x22 ax( x a)2 a2.函数在0,1上的最大值是 a2，0 a1，即1 a0.11
