1、1课时跟踪检测（十四） 函数模型及其应用1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01A.y2 x2 B y (x21)12C ylog 2x D ylog x1解析：选 B 由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.2(2019襄阳四中月考)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售
2、400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售量 y(单位：台)与投放市场的月数 x 之间关系的是( )A y100 x B y50 x250 x100C y502 x D y100log 2x100解析：选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选 C.3(2019泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 3 次涨停(每次上涨 10%)又经历了 3 次跌停(每次下降 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A略有盈利 B无法判断盈亏情况C没有盈利也没有亏损 D略有亏
3、损解析：选 D 设买入股票时的价格为 m(m0)元，先经历了 3 次涨停(每次上涨 10%)又经历了 3 次跌停(每次下降 10%)后的价格为 m(110%) 3(110%) 30.99 3m0)若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯x4 a2x利润总不少于 5 万元，则 a 的最小值应为( )A. B55C. D22解析：选 A 设投入 x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20 x)万元，总利润y P Q .令 y5，则 5 对 0 x20 恒成x4 a2 20 x x4 a220 x立 a 10 ， a 对 0 x20 恒成立 f(x) 的最大值为20 xx2 12
4、20 x 1220 x，且 x20 时， a 10 也成立， amin .故选 A.5 20 xx2 59(2019南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，经过 x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y f(x)的图象大致为( )解析：选 D 设某地区起始年的绿化面积为 a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，所以经过 x 年后，绿化面积 g(x) a(118%) x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为 y，则 y f(x) (118%) x1.18 x，因为 y1.18 x为底数大于 1 的指数g xa函数，故可排除 A、C，当 x0 时， y1，可排除
5、B，故选 D.10(2019洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况下 0 x100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以高于 100 分)计算当月绩效工资 y(元)要求绩效工资不低于 500 元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则4下列函数最符合要求的是( )A y( x50) 2500 B y10 50025xC y (x50) 3625 D y5010lg(2 x1)11 000解析：选 C 由题意知，拟定函数应用满足：是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；
6、在 x50 左右增长速度较慢，最小值为 500.A 中，函数 y( x50) 2500 先减后增，不符合要求；B 中，函数 y10 500 是指数型函数，增长速度是越来越快，不符x25合要求；D 中，函数 y5010lg(2 x1)是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而 C 中，函数 y (x50) 3625 是由函数 y x3经过平移和伸缩变换得到的，11 000符合要求故选 C.11(2019福建三明期末)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度为 T，则 T Ta( T0 Ta) ，其中 Ta(12)th称为环境温度，
7、 h 称为半衰期现有一杯用 88 热水冲的速溶咖啡，放在 24 的房间中，如果咖啡降到 40 需要 20 分钟，那么此杯咖啡从 40 降温到 32 时，还需要_分钟解析：88 的速溶咖啡放在 24 的房间中，降到 40 需要 20 分钟，则由题意知Ta24， T088， T40， t20，可得 4024(8824) ，解得 h10，此杯咖啡从(12) 0h40 降温到 32 时，可得 3224(4024) ，解得 t10.(12) 0t答案：1012(2019湖南重点中学联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入若该公司 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入
8、的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是_年(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析：设公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 n，则 130(112%) n2 016 200，化为( n2 016)lg 1.12lg 2lg 1.3，所以 n2 016 3.8，lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05即 n2 019.8，5所以 n2 020，即开始超过 200 万元的年份为 2020 年. 答案：202013(2019河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的
9、收入 R 与广告费 A之间满足关系 R a (a 为常数且 a0)，广告效应 D a A.那么对于此商品，精明的商A A人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为_(用常数 a 表示)解析：由题意得 D a A 2 ，且 A0，当 ，即 A 时， D 最A (Aa2) a24 A a2 a24大，最大为 .a24答案：a2414(2019湖北七州联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 P P0e kt， P0为过滤前的污染物数量如果在前 5 小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为_小时解析：由题设可
10、得(10.1) P0 P0e5 k，即 0.9e 5 k，故5 kln 0.9；又(10.19)P0 P0e kt，即 0.81e kt，故 ktln 0.812ln 0.910 k，故 t10，应填 10.答案：1015(2019江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P804 ，
11、Q a120.设甲大棚的投入为 x(单位：2a14万元)，每年两个大棚的总收入为 f(x)(单位：万元)(1)求 f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入 f(x)最大？解：(1)若投入甲大棚 50 万元，则投入乙大棚 150 万元，所以 f(50)804 150120277.5.25014(2)由题知， f(x)804 (200 x)1202x14 x4 250，14 2x依题意得Error!解得 20 x180，故 f(x) x4 250(20 x180)14 2x6令 t ，则 t2 x， t2 ，6 ， y t24 t250 (t8 )2282，x 5 51
12、4 2 14 2当 t8 ，即 x128 时， y 取得最大值 282，2所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收入最大，且最大收入为 282 万元16(2019福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为： yError!且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政府将给予补贴(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当 x200,300时，该项目获利为 S，则 S200 x (x400) 2，(12x2 200x 80 000) 12当 x200,300时， S200，当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低7
