1、1第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1命题 p q， p q，綈 p 的真假判断p q p q p q 綈 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真2全称量词和存在量词量词名称 常见量词 符号表示全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 3全称命题和存在性命题名称形式 全称命题 存在性命题结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立简记 x M， p(x) x M， p(x)否定 x M，綈 p(x) x M，綈 p(x)小题体验1(2019启东中学期末检测)
2、在“綈 p”， “p q”， “p q”形式的命题中，若“p q”为真， “p q”为假， “綈 p”为真，则 p， q 的真假为 p_， q_.解析：“ p q”为真， p， q 至少有一个为真 “p q”为假， p， q 至少有一个为假，而“綈 p”为真， p 为假， q 为真答案：假 真2(2019盱眙中学检测)命题“存在实数 x，使 x1”的否定是_答案：对于任意的实数 x，使得 x13已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0； q：“ x1”是“ x2”的充分不必要条2件，则下列命题： p q；綈 p綈 q；綈 p q； p綈 q.其中为真命题的序号是_解析：由题设可知： p 是真命
3、题， q 是假命题；所以綈 p 是假命题，綈 q 是真命题； 所以 p q 是真命题，綈 p綈 q 是假命题，綈 p q 是假命题， p綈 q 是真命题，故正确答案：1注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定2注意“或” “且”的否定：“或”的否定为“且” ， “且”的否定为“或” 小题纠偏1命题“若 ab0，则 a0 或 b0” ，其否定为_答案：若 ab0，则 a0 且 b02命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等答案：存在两个全等三角形的面积不相等考 点 一 全 称 命
4、 题 与 存 在 性 命 题 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1已知命题 p： xR，log 2(3x1)0，则命题 p 的否定是“_”答案： xR， log2(3x1)02(2018淮安期末)若“ x ，使得 2x2 x 10 成立”是假命题，则实12， 2数 的取值范围为_解析：若“ x ，使得 2x2 x 10 成立”是假命题，12， 2即“ x ，使得 2 x 成立”是假命题，12， 2 1x所以“ x ，都有 2 x 成立”是真命题12， 2 1x由 x ，得函数 y2 x 2 2 ，12， 2 1x 2x1x 23当且仅当 x 时等号成立22所以 2 ，即实数
5、的取值范围为(，2 2 2答案：(，2 23已知函数 f(x) x ， g(x)2 x a，若 x1 ， x22,3，使得 f(x1)4x 12， 1 g(x2)，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知， f(x)min g(x)min(x2,3)，因为 f(x) x ，所以(x 12， 1) 4xf( x)1 ，所以 f(x)在 上单调递减，所以 f(x)min f(1)5，又因为 g(x)在4x2 12， 12,3上的最小值为 g(2)4 a，所以 54 a，即 a1.答案：(，14(2019南通中学调研)已知命题 p：“ x0,1， ae x”，命题q：“ xR， x24 x a0”
6、，若命题“ p q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：若命题 p：“ x0,1 ， ae x”为真命题，则 ae；若命题q：“ xR， x24 x a0” 为真命题，则 164 a0，即 a4，所以若命题“p q”是真命题，则实数 a 的取值范围是e,4答案：e,4谨记通法1全称命题与存在性命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2)否定结论：对原命题的结论进行否定提醒 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例2由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化
7、相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件考 点 二 含 有 逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假 判 断 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领(2019泰州模拟)已知命题 p1：函数 y2 x2 x在 R 上为增函数， p2：函数y2 x2 x在 R 上为减函数，则在命题 p1 p2； p1 p2；(綈 p1) p2； p1(綈 p2)4中，真命题的序号是_解析：因为 y2 x在 R 上为增函数，y2 x x在 R 上为减函数，(12)所以 y2 x x在 R 上为增函数，(12)所以 y2 x2 x在 R 上为增函数，故 p1是真命题y
8、2 x2 x在 R 上为减函数是错误的，故 p2是假命题，所以 p1 p2是真命题； p1 p2是假命题；(綈 p1) p2是假命题； p1(綈 p2)是真命题答案：由题悟法判断含有逻辑联结词命题真假的 2 个步骤(1)先判断简单命题 p， q 的真假(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假即时应用1(2018启东期末)命题 p：0N *，命题 q：1Q，则“ p 或 q”是_命题(填“真” “假”)解析：命题 p：0N *，为假命题；命题 q：1Q，为真命题，则命题“ p 或 q”为真命题答案：真2已知命题 p：若 x y，则 x y；命题 q：若 x y，则 x2 y2.在命题 p
9、q； p q； p(綈 q)；(綈 p) q 中，是真命题的序号是_解析：由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故 p q 为假命题； p q 为真命题；綈 q 为真命题，则 p(綈 q)为真命题；綈 p 为假命题，则(綈 p) q 为假命题答案：考 点 三 根 据 命 题 的 真 假 求 参 数 的 取 值 范 围 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领(2019无锡天一中学月考)已知命题 p： m1，1，使不等式 a25 a5 m2成立；命题 q： x2 ax20 有两个负数根，若 p q 为真， p q 为假，求实数 a 的取值范围解：因为 p q 为
10、真， p q 为假，所以 p， q 一真一假由题设知，对于命题 p，因为 m1,1，5所以 m21,3，所以不等式 a25 a51 成立，所以 a25 a40，解得 a1 或 a4.对于命题 q，因为 x2 ax20 有两个负数根，所以Error! 所以 a2 .2若 p 真 q 假，则 a1；若 p 假 q 真，则 2 a4，2所以实数 a 的取值范围为(，12 ，4)2由题悟法根据命题真假求参数范围的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围即时应用1(20
11、18江苏百校联盟联考)已知命题：“ x1,2，使 x22 x a0”为真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x1,2时， x22 x( x1) 21 是增函数，所以 3 x22 x8，由题意得 a80，所以 a8.答案：8，)2(2019海门中学检测)已知命题 p： xR， x210 ，命题 q： xR， sin 3xcos x a，且 p q 为假命题，则实数 a 的取值范围为_解析：由已知可得：命题 p 为真命题， p q 为假命题， q 为假命题若 q 为真，则 a sin xcos x 对 xR 恒成立，3 sin xcos x2sin 且正弦函数 ysin x 的值域为1,1，
12、3 (x 6) sin xcos x2sin 的最大值为 2， a2.3 (x 6) q 为假命题， a2，实数 a 的取值范围为(，2答案：(，2 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三检测)命题“ x(0，)，ln x x1”的否定是“_”答案： x(0，)，ln x x162(2018镇江模拟)已知命题 p：函数 y ax1 1( a0 且 a1)的图象恒过点(1,2)；命题 q：已知平面 平面 ，则直线 m 是直线 m 的充要条件，则有下列命题： p q；(綈 p)(綈 q)；(綈 p) q； p(綈 q)其中为真命题的序号是_解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数
13、y ax1 1 是由 y ax先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到所以函数 y ax1 1 恒过点(1,2)，故命题 p 为真命题；命题 q： m 与 的位置关系也可能是 m ，故 q 是假命题所以 p(綈 q)为真命题答案：3若“ x2,5或 x(，1)(4，)”是假命题，则 x 的取值范围是_解析：根据题意得“ x2,5且 x(，1)(4，)” 是真命题，所以Error!解得 1 x2，故 x1,2)答案：1,2)4已知函数 f(x) x2 mx1，若命题“ x0， f(x)0”为真，则 m 的取值范围是_解析：因为函数 f(x) x2 mx1 的图象过点(0,1)，若命题“
14、 x0， f(x)0”为真，则函数 f(x) x2 mx1 的图象的对称轴必在 y 轴的右侧，且与 x 轴有两个不同交点，所以Error! 解得 m2，所以 m 的取值范围是(，2)答案：(，2)5(2018南京外国语学校模拟)已知命题 p： xR，使 tan x1，命题q： x23 x20 的解集是 x|1 x2，给出下列结论：命题“ p q”是真命题；命题“ p綈 q”是假命题；命题“綈 p q”是真命题；命题“綈 p綈 q”是假命题其中正确的是_解析：命题 p： xR，使 tan x1 是真命题，命题 q： x23 x20 的解集是x|1 x2也是真命题，所以，命题“ p q”是真命题；
15、命题“ p綈 q”是假命题；命题“綈 p q”是真命题；命题“綈 p綈 q”是假命题故均正确答案：6(2019海门实验中学检测)命题 p： x1,1，使得 2x a 成立；命题q： x(0，)，不等式 ax x21 恒成立若命题 p q 为真，则实数 a 的取值范围为_解析：由 x1,1可知，当 x1 时，2 x取得最小值 ，127若命题 p： x 1,1，使得 2x a 成立为真，则 a .12若命题 q： x(0，)，不等式 ax x21 恒成立为真，即 x(0，)， a x 恒成立为真，1x当 x1 时， x 取最小值 2，1x故 a2.因为命题 p q 为真，所以 a .(12， 2)
16、答案： (12， 2) 二保高考，全练题型做到高考达标1命题“ nN *， f(n)N *且 f(n) n”的否定形式是_ 解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“ nN *， f(n)N *且 f(n) n”的否定形式是“ nN *， f(n)N*或 f(n) n”答案： nN *， f(n)N*或 f(n) n2(2019海安中学测试)若命题“ x1,2， x24 ax3 a20”是真命题，则实数a 的取值范围是_解析：令 f(x) x24 ax3 a2，根据题意可得Error!解得 a1，所以实数 a 的取值23范围是 .23， 1答案： 23， 13(2018南通大学附中月考)已知
17、命题 p：“任意 x1,2， x2 a0” ，命题q：“存在 xR，使 x22 ax2 a0” 若命题“ p q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知， p： a1， q： a2 或 a1.因为“ p q”为真命题，所以 p， q 均为真命题，所以 a2 或 a1.答案：(，214(2018沙市区校级期中)函数 f(x) x312 x3， g(x)3 x m，若对 x11,5，x20,2 ， f(x1) g(x2)，则实数 m 的最小值是_解析：由 f( x)3 x212，可得 f(x)在区间1,2上单调递减，在区间2,5上单调递增， f(x)min f(2)13， g(x)3
18、x m 是增函数， g(x)min1 m，8要满足题意，只需 f(x)min g(x)min即可，解得 m14，故实数 m 的最小值是 14.答案：145已知 p：| x a|4， q：( x2)(3 x)0，若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知 p： a4 x a4， q：2 x3，因为“綈 p”是“綈 q”的充分不必要条件，所以 q 是 p 的充分不必要条件所以Error!或Error!解得1 a6.答案：1,66(2019杨大附中月考)给出下列命题： xN， x3 x2；所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0； xR ， x2 x10；存在
19、一个四边形，它的对角线互相垂直则上述命题的否定中，真命题的序号为_解析：命题与命题的否定一真一假当 x0 或 1 时，不等式不成立，所以是假命题，的否定是真命题；可以被 5 整除的整数，末位数字是 0 或 5，所以是假命题， 的否定是真命题； x2 x1 2 0 恒成立，所以是假命题，的否定是真(x12) 34命题；是真命题，所以的否定为假命题答案：7命题 p 的否定是“对所有正数 x， x1” ，则命题 p 可写为x_解析：因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论 否定即可答案： x(0， )， x1x8若“ x ， mtan x1”为真命题，则实数 m 的最大
20、值为_ 4， 4解析：由 x ，可得1tan x1，所以 0tan x12， 4， 4因为 x ， mtan x1，所以 m0，所以实数 m 的最大值为 0. 4， 4答案：09(2018南京期末)已知 mR，设命题 p： xR， mx2 mx10；命题 q：函数9f(x) x33 x2 m1 只有一个零点，则使“ p q”为假命题的实数 m 的取值范围为_解析：若 p 为真，当 m0 时，符合题意；当 m0 时，Error!则 0 m4，命题 p 为真时，0 m4.若 q 为真，由 f(x) x33 x2 m1，得 f( x)3 x26 x，令 f( x)0，得 x0 或 x2.当 x(，0
21、)(2，)时， f( x)0；当 x(0,2)时， f( x)0， f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2) f(x)的极大值为 f(0) m1，极小值为 f(2) m5.要使函数 f(x) x33 x2 m1 只有一个零点，则 m10 或 m50，解得 m1 或 m5.“ p q”为假命题， p 为假， q 为假，即Error! 解得 4 m5，故实数 m 的取值范围为4,5答案：4,510(2018南京一中模拟)给出如下命题：“ a3”是“ x0,2，使 x2 a0 成立”的充分不必要条件；命题“ x(0，)，2 x1”的否定是“ x(0，)，2 x1” ；若“
22、 p q”为假命题，则 p， q 均为假命题其中正确的命题是_(填序号)解析：对于，由 x0,2，使 x2 a0 成立，可得 a4，因此为充分不必要条件，正确；显然正确；对于，若“ p 且 q”为假命题，则 p， q 中有一假命题即可，所以错误答案：11已知命题 p：函数 ylg( ax22 x a)的定义域为 R；命题 q：函数 f(x)2 x2 ax在(，1)上单调递减(1)若“ p綈 q”为真命题，求实数 a 的取值范围；(2)设关于 x 的不等式( x m)(x m2)0 的解集为 A，命题 p 为真命题时， a 的取值集合为 B.若 A B A，求实数 m 的取值范围解：(1)若 p
23、 为真命题，则 ax22 x a0 的解集为 R，则 a0 且 44 a20，解得 a1.若 q 为真命题，则 1，即 a4.a410因为“ p綈 q”为真命题，所以 p 为真命题且 q 为假命题，所以实数 a 的取值范围是(1,4)(2)解不等式( x m)(x m2)0，得 m2 x m，即 A( m2， m)由(1)知， B(1，)因为 A B A，则 AB，所以 m21，即 m3.故实数 m 的取值范围为3，). 12设 p：实数 x 满足 x25 ax4 a20(其中 a0)， q：实数 x 满足 2 x5.(1)若 a1，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若綈 q 是
24、綈 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， x25 x40，解得 1 x4，即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1 x4.若 p q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(2,4)(2)綈 q 是綈 p 的必要不充分条件，即 p 是 q 的必要不充分条件，设 A x|p(x)， B x|q(x)，则 B A，由 x25 ax4 a20 得( x4 a)(x a)0，因为 a0，所以 A( a,4a)，又 B(2,5，则 a2 且 4a5，解得 a2.54所以实数 a 的取值范围为 .(54， 213(2019启东检测)已知 p： x(0，)，
25、 x22eln x m； q：函数y x22 mx1 有两个零点(1)若 p q 为假命题，求实数 m 的取值范围；(2)若 p q 为真命题， p q 为假命题，求实数 m 的取值范围解：若 p 为真，令 f(x) x22eln x，问题转化为求函数 f(x)的最小值f( x)2 x ，令 f( x)0，解得 x ，2ex 2x2 2ex e函数 f(x) x22eln x 在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增，e e故 f(x)min f( )0，故 m0.e若 q 为真，则 4 m240，解得 m1 或 m1.(1)若 p q 为假命题，则 p， q 均为假命题，即 m0 且1
26、m1，所以实数 m 的取值范围为1,0)(2)若 p q 为真命题， p q 为假命题，则 p， q 一真一假11若 p 真 q 假，则实数 m 满足Error!即 0 m1；若 p 假 q 真，则实数 m 满足Error!即 m1.综上所述，实数 m 的取值范围为(，1)0,1 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019姜堰中学检测)设 p：函数 f(x) x3 mx1 在区间1,1上单调递减；q：方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆如果 p q 为真命题， p q 为假命题，x2m 1 y29 m则实数 m 的取值范围是_解析：若 p 为真，由函数 f(x) x3 mx1 在区间1,1上单
27、调递减，得 f( x)3 x2 m0 在区间1,1上恒成立，即 m3 x2，当1 x1 时，3 x23，则 m3；若 q 为真，由方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，x2m 1 y29 m得Error! 解得 1 m5.如果 p q 为真命题， p q 为假命题，则 p， q 一真一假，若 p 真 q 假，则Error!得 m5；若 p 假 q 真，则Error!得 1 m3，综上，实数 m 的取值范围是(1,3)5，)答案：(1,3)5，)2(2018宿迁中学月考)已知命题p： xR ， mx220， q： xR， x22 mx10，若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围是_解析：因
28、为 p q 为假命题，所以 p， q 都是假命题由 p： xR， mx220 为假命题，得綈 p： xR， mx220 为真命题，所以 m0.由 q： xR， x22 mx1 0 为假命题，得綈 q： xR， x22 mx10 为真命题，所以 (2 m)240，解得 m1 或 m1.综上，可得 m1.答案：1，)命题点一 集合及其运算1.(2017江苏高考)已知集合 A1,2， B a， a23若 A B1，则实数 a 的值为_12解析：因为 a233，所以由 A B1，得 a1，即实数 a 的值为 1.答案：12(2016江苏高考)已知集合 A1,2,3,6， B x|2 x3，则A B_.
29、解析：在集合 A 中满足集合 B 中条件的元素有1,2 两个，故 A B1,2答案：1,23(2015江苏高考)已知集合 A1,2,3， B2,4,5，则集合 A B 中元素的个数为_解析：因为 A1,2,3， B2,4,5，所以 A B1,2,3,4,5，所以 A B 中元素个数为 5.答案：54(2018浙江高考改编)已知全集 U1,2,3,4,5， A1,3，则 UA_.解析： U1,2,3,4,5， A1,3， UA2,4,5答案：2,4,55(2018北京高考改编)已知集合 A x|x|2， B2，0,1,2，则A B_.解析： A x|x|2 x|2 x2， B2,0,1,2， A
30、 B0,1答案：0,16(2018全国卷改编)已知集合 A0,2， B2，1,0,1,2，则A B_.解析： A B0,22，1,0,1,20,2答案：0,2命题点二 充分条件与必要条件1(2017浙江高考改编)已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“ d0”是“ S4 S62 S5”的_条件解析：因为 an为等差数列，所以S4 S64 a16 d6 a115 d10 a121 d,2S510 a120 d， S4 S62 S5 d，所以d0 S4 S6 2S5.答案：充要2(2018天津高考改编)设 xR，则“ x38”是“| x|2”的_条件解析：由 x38 x2 |x|
31、2，反之不成立，故“ x38”是“| x|2”的充分不必要条件答案：充分不必要133(2018天津高考改编)设 xR，则“ ”是“ x31”的_条件|x12| 12解析：由 ，得 0 x1，则 0 x31，即“ ”“x31” ；由|x12| 12 |x 12| 12x31，得 x1，当 x0 时， ，即“ x31” “ ”所以|x12| 12 |x 12| 12“ ”是 “x31”的充分不必要条件|x12| 12答案：充分不必要4(2016上海高考)设 aR，则“ a1”是“ a21”的_条件解析：由 a1 可得 a21，由 a21 可得 a1 或 a1.所以“ a1”是“ a21”的充分不必
32、要条件答案：充分不必要5(2016天津高考改编)设 an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“ q0”是“对任意的正整数 n， a2n1 a2n0”的_条件解析：设数列 an的首项为 a1，则 a2n1 a2n a1q2n2 a1q2n1 a1q2n2 (1 q)0，即 q1，故 q0 是 q1 的必要不充分条件答案：必要不充分命题点三 命题及其真假性1(2012全国卷)下面是关于复数 z 的四个命题：2 1 ip1：| z|2， p2： z22i，p3： z 的共轭复数为 1i， p4： z 的虚部为1.其中的真命题为_解析：因为复数 z 1i，所以| z| ， z2(1i) 2(1i)
33、22i， z2 1 i 2的共轭复数为1i， z 的虚部为1，综上可知 p2， p4是真命题答案： p2， p42(2015山东高考改编)设 mR，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是_解析：根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 答案：若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0命题点四 全称量词和存在量词1(2015全国卷改编)设命题 p： nN， n22 n，则綈 p 为_14解析：因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“nN ， n2 2n”的
34、否定是 “nN， n22 n”答案： nN， n22 n2(2016浙江高考改编)命题“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式是_解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式为“ xR ， nN *，使得 n x2”答案： xR， nN *，使得 n x23(2015山东高考)若“ x ，tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为0， 4_解析：由题意，原命题等价于 tan x m 在区间 上恒成立，即 ytan x 在0， 4上的最大值小于或等于 m，又 ytan x 在 上的最大值为 1，所以 m1，即 m0， 4 0， 4的最小值为 1.答案：115
