1、1第一节 函数及其表示1函数的概念(1)定义：设 A， B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，记为 y f(x)， x A.(2)函数的定义域、值域：在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相
2、等，这是判断两函数相等的依据(5)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法2分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数小题体验1(2019无锡一中期中测试)函数 f(x)ln( x2 x)的定义域为_解析：由题意知， x2 x0，即 x0 或 x1.则函数的定义域为(，0)(1，)答案：(，0)(1，)2已知 f( ) x1，则 f(2)_.x解析：令 2，则 x4，所以 f(2)3.x答案：33(2019海头高级中学高三期中)若函数 f(x)Error!则 f( ) f( )3 2_.答案：54已知函数 f(x)Er
3、ror!若 f(x)2，则 x_.解析：依题意得当 x1 时，3 x2，所以 xlog 32；2当 x1 时， x2， x2(舍去)故 xlog 32.答案：log 321求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域2分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成” 求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论小题纠偏1(2019常州一中检测)若函数 f(x)Error!则 f _.(f(52)解析：因为 1，所以 f log 2 ，52 (52) 3又因为 log2 1，所以 f 23log2 .3 (f(52) 12答案：122(2
4、018苏州中学测试)已知 f(x)的定义域为 x|x0，满足 3f(x)5 f 1 ，则函数 f(x)的解析式为_(1x) 3x解析：用 代替 3f(x)5 f 1 中的 x，1x (1x) 3x得 3f 5 f(x)3 x1，(1x)所以Error!53 得 f(x) x (x0)1516 916x 18答案： f(x) x (x0)1516 916x 18考 点 一 函 数 的 定 义 域 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1(2018常州期末)函数 y lg( x2)的定义域为_1 x解析：由题意可得Error!解得2 x1，故所求函数的定义域为(2,1答案：(2,13
5、2(2018南通中学高三测试)函数 y 的定义域为_1 x22x2 3x 2解析：由函数 y 得Error!1 x22x2 3x 2解得Error! 即1 x1 且 x ，12所以所求函数的定义域为 . 1， 12) ( 12， 1答案： 1， 12) ( 12， 13若函数 y f(x)的定义域是1,2 019，则函数 g(x) 的定义域是f x 1x 1_解析：令 t x1，由已知函数的定义域为1,2 019，可知 1 t2 019.要使函数f(x1)有意义，则有 1 x12 019，解得 0 x2 018，故函数 f(x1)的定义域为0，2 018所以使函数 g(x)有意义的条件是Err
6、or!解得 0 x1 或 1 x2 018.故函数g(x)的定义域为0,1)(1，2 018答案：0,1)(1,2 0184(2018南京师范大学附中模拟)函数 f(x) 的定义域是_log 2x 3解析：由题意得 log 12 (2x3)0 02 x31 x2，即函数 f(x)的定义域是32.(32， 2答案： (32， 2谨记通法函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)抽象函数：若已知函数 f(x)的定义域为 a， b，其复合函数 f(g(x)的定义域由不等式 a g(x) b 求出
7、；若已知函数 f(g(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x a， b时的值域考 点 二 求 函 数 的 解 析 式 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领4(1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0， f(x1) f(x) x1，求 f(x)；(2)已知 f x2 ，求 f(x)的解析式；(x1x) 1x2(3)已知 f lg x，求 f(x)的解析式；(2x 1)(4)已知函数 f(x)满足 f( x)2 f(x)2 x，求 f(x)的解析式；(5)已知 f(0)1，对任意的实数 x， y 都有 f(x y) f(x) y(2x y1)，求 f(
8、x)的解析式解：(1)(待定系数法)设 f(x) ax2 bx c(a0)，由 f(0)0，知 c0， f(x) ax2 bx，又由 f(x1) f(x) x1，得 a(x1) 2 b(x1) ax2 bx x1，即 ax2(2 a b)x a b ax2( b1) x1，所以Error! 解得 a b .12所以 f(x) x2 x， xR.12 12(2)(配凑法)由于 f x2 22，(x1x) 1x2 (x 1x)所以 f(x) x22， x2 或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x) x22， x2 或 x2.(3)(换元法)令 1 t 得 x ，代入得 f(t)lg ，2x 2t
9、 1 2t 1又 x0，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x)lg ， x1.2x 1(4)(解方程组法)由 f( x)2 f(x)2 x，得 f(x)2 f( x)2 x，2，得，3 f(x)2 x1 2 x.即 f(x) .2x 1 2 x3所以 f(x)的解析式是 f(x) .2x 1 2 x3(5)(赋值法)令 x0，得 f( y) f(0) y( y1)1 y2 y，所以 f(y) y2 y1，即 f(x) x2 x1.由题悟法求函数解析式的 5 种方法5配凑法由已知条件 f(g(x) F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(
10、x)的解析式换元法对于形如 y f(g(x)的函数解析式，令 t g(x)，从中求出 x (t)，然后代入表达式求出 f(t)，再将 t 换成 x，得到 f(x)的解析式，要注意新元的取值范围待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数解方程组法已知关于 f(x)与 f 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等(1x)式组成方程组，通过解方程求出 f(x)赋值法 给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式即时应用1(2019如皋测试)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x) x2，则 f(x)_.解析：
11、设 f(x) kx b，由 f(f(x) x2，可得 k(kx b) b x2，即 k2x kb b x2，所以 k21， kb b2，解得 k1， b1，即 f(x) x1.答案： x12已知 f( 1) x2 ，求 f(x)的解析式x x解：法一：(换元法)设 t 1，则 x( t1) 2， t1，代入原式有xf(t)( t1) 22( t1) t22 t12 t2 t21.故 f(x) x21， x1.法二：(配凑法)因为 x2 ( )22 11( 1) 21，x x x x所以 f( 1)( 1) 21， 11，x x x即 f(x) x21， x1.考 点 三 分 段 函 数 题 点
12、 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：(1)分段函数的求值问题；(2)求参数或自变量的值与范围；(3)分段函数与不等式问题 题点全练角度一：分段函数的求值问题61设函数 f(x)Error!则 f _.(f(33 1)解析：因为1 10，所以 f ，33 (33 1) |log333| 12则 f f tan 1.(f(33 1) (12) 4答案：1角度二：求参数或自变量的值与范围2已知 f(x)Error!若 f(a) ，则 a_.12解析：若 a0，由
13、 f(a) 得， a1 ，12 12解得 a ；14若 a0，则|sin a| ， a ，12 ( 2， 0)解得 a .综上可知， a 或 . 6 14 6答案： 或14 6角度三：分段函数与不等式问题3(2018如东期末)设函数 f(x)Error!则使得 f(2x1) f(x1)成立的 x 的取值范围是_解析：当 x0 时， f( x) x2ex f(x)，且为增函数，同理当 x0 时， f( x) f(x)，且为减函数，所以 f(x)关于 y 轴对称，且左减右增要使 f(2x1) f(x1)，x2ex则需|2 x1| x1|，两边平方化简得 x22 x0，解得 x2 或 x0，故所求
14、x 的取值范围是(， 2)(0，)答案：(，2)(0，)通法在握1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数与不等式问题的求解思路7依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来演练冲关1(2019姜堰中学测试)已知函数 f(x)的定义域为实数集 R， xR， f(x90)Error! 则 f(10) f(100)的值为_解析：因为 f(10) f(10090)lg
15、1002， f(100) f(1090)(10)10，所以 f(10) f(100)2108.答案：82(2018无锡高三第一学期期末)已知函数 f(x)Error! g(x) x22 x2.若存在aR，使得 f(a) g(b)0，则实数 b 的取值范围是_解析：当 x 时， f(x)1 1，12 2x 1x2此时 f(x)1 1 在 上单调递减，易求得 f(x)7,1)；2x 1x2 2x 1x2 ( ， 12当 x 时， f(x)log 12，12 1 x2此时 f(x)在 上单调递减，易求得 f(x)(，2)，(12， ) f(x)的值域为(，2)故存在 aR，使得 f(a) g(b)0
16、 g(b) f(a)(，2)b22 b2 2b(2,0) 答案：(2,0)3(2018南通期末)已知函数 f(x)Error!则不等式 f(x22) f(x)0 的解集为_解析：函数 f(x)Error!的图象如图所示，所以 f(x)是定义域为 R 的奇函数也是增函数，所以不等式 f(x22) f(x)0 f(x22) f( x)x22 x，解得2 x1，所以原不等式的解集为(2,1)答案：(2,1) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019淮安调研)函数 f(x) 的定义域是_lg 5 x2解析：由 lg(5 x2)0，得 5 x21，8即 x24，解得2 x2.函数 f(x) 的定义域是
17、2,2lg 5 x2答案：2,22(2018苏州高三期中调研)函数 y 的定义域为_1ln x 1解析：由Error!解得 x1，且 x2，所以函数的定义域为(1,2)(2，)答案：(1,2)(2，)3已知 f 2 x5，且 f(a)6，则 a_.(12x 1)解析：令 t x1，则 x2 t2， f(t)2(2 t2)54 t1，则 4a16，解得12a .74答案：744已知 f(x)是一次函数，满足 3f(x1)6 x4，则 f(x)_.解析：设 f(x) ax b(a0)，则 f(x1) a(x1) b ax a b，依题设，3 ax3 a3 b6 x4，Error! Error!则
18、f(x)2 x .23答案：2 x235(2019盐城模考)已知函数 f(x)Error!若 f(0)3，则 f(a)_.解析：因为 f(0)3，所以 a23，即 a5，所以 f(a) f(5)9.答案：96设函数 f(x)Error!则 f(f(2)_，函数 f(x)的值域是_解析：因为 f(2) ，所以 f(f(2) f .12 (12) 52当 x1 时， f(x)(0,1)，当 x1 时， f(x)3，)，所以 f(x)3，)答案： 3，)52 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019如东高级中学高三学情调研)设函数 f(x)Error!则 f(2) f(log212)_.9解析：因
19、为 f(2)1log 243， f(log212)2log 21216，所以 f(2) f(log212)9.答案：92(2018苏州期末)函数 f(x)Error!的值域为_解析：画出 f(x)的图象如图所示，可看出函数的值域为(，1答案：(，13(2018南京名校联考) f(x)Error!则 f _.(f(19)解析：因为 f log 3 2，(19) 19所以 f f(2) 2 9.(f(19) (13)答案：94(2019南通调研)函数 f(x) lg( x1)的定义域是_11 x解析：由题意得Error! x1 且 x1，所以函数 f(x)的定义域是(1,1)(1，)答案：(1,1
20、)(1，)5(2018启东中学检测)已知函数 y f(x21)的定义域为 ， ，则函数3 3y f(x)的定义域为_解析：因为 y f(x21)的定义域为 ， ，所以 x ， ，3 3 3 3x211,2，所以 y f(x)的定义域为1，2答案：1,26已知具有性质： f f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函(1x)数： y x ； y x ； yError!1x 1x其中满足“倒负”变换的函数的序号是_解析：对于， f(x) x ， f x f(x)，满足；对于， f x f(x)，1x (1x) 1x (1x) 1x不满足；对于， f Error!即 f Error!故
21、f f(x)，满足(1x) (1x) (1x)综上可知，满足“倒负”变换的函数是.10答案：7(2019扬州一模)若函数 f(x)Error!为奇函数，则 f(g(2)_.解析：因为函数 f(x)Error!为奇函数，所以当 x0 时， x0，则 f( x)2 x2 f(x)，所以 f(x)2 x2，即 g(x)2 x2.所以 g(2)2 222， f(g(2) f(2)2 222.答案：28已知函数 f(x)Error!若 f(1) ，则 f(3)_.12解析：由 f(1) ，可得 a ，12 12所以 f(3) 2 .(12) 14答案：149(2019泰州一调)设函数 f(x)Error
22、!若 f(x)2，则 x 的取值范围是_解析：不等式 f(x)2 可化为Error!或Error!解得 x 或 x1.52答案：(，1) (52， )10(2019无锡一中月考) 已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log f(x)的定义域是 _2解析：要使函数 g(x)有意义，需 f(x)0，由 f(x)的图象可知，当x(2,8时， f(x)0.答案：(2,811(2019南京金陵中学月考)二次函数 f(x)满足 f(x1) f(x)2 x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，函数 y f(x)的图象恒在直线 y2 x m 的上方，试确定实数m
23、的取值范围解：(1)由 f(0)1，可设 f(x) ax2 bx1( a0)，故 f(x1) f(x) a(x1)2 b(x1)1( ax2 bx1)2 ax a b，由题意得Error!解得Error!故 f(x) x2 x1.(2)由题意，得 x2 x12 x m，即 x23 x1 m，对 x1,1恒成立令 g(x) x23 x1，则问题可转化为 g(x)min m，又因为 g(x)在1,1上递减，所以 g(x)min g(1)1，故 m1，即实数 m 的取值范围为(，1)12(2018南京期末)已知二次函数 f(x)满足 f(1)1， f(1)5，且图象过原点11(1)求二次函数 f(x
24、)的解析式；(2)已知集合 U1,4， BError!，求 UB.解：(1)设 f(x) ax2 bx c(a0)，因为 f(1)1， f(1)5，且图象过原点，所以Error! 解得 a3， b2，所以 f(x)3 x22 x.(2)y 3 ，f xx2 2x当 x1,4时，函数 y3 是增函数，2x当 x1 时， y 取得最小值 1；当 x4 时， y 取得最大值 ，所以 B ，又集合52 1， 52U1,4，故 UB .(52， 4 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知实数 a0，函数 f(x)Error!若 f(1 a) f(1 a)，则 a_.解析：当 a0 时，1 a1,1 a1.
25、由 f(1 a) f(1 a)得 22 a a1 a2 a，解得 a ，不合题意；32当 a0 时，1 a1,1 a1，由 f(1 a) f(1 a)得1 a2 a22 a a，解得 a ，所以 a 的值为 .34 34答案：342定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)2 f(x)，若当 0 x2 时， f(x) x(2 x)，则当 4 x2 时， f(x)_.解析：由题意知 f(x4)2 f(x2)4 f(x)，当4 x2 时，0 x42，所以f(x) f(x4) (x4)2( x4) (x4)( x2)，所以当4 x2 时， f(x)14 14 14 (x4)( x2)14答案：
26、(x4)( x2)143行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关系：12y mx n(m， n 是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的车x2200速 x(千米/时)的关系图(1)求出 y 关于 x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过 25.2 米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得Error!解得 m ， n0，1100所以 y (x0)x2200 x100(2)令 25.2，x2200 x100得72 x70.因为 x0，所以 0 x70.故行驶的最大速度是 70 千米/时13
