1、1第五节 二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质 y x y x2 y x3y x12y x1图象定义域 R R R x|x0 x|x0值域 R y|y0 R y|y0 y|y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(，0)减，(0，)增增 增(，0)和(0，)减公共点 (1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式： f(x) ax2 bx c(a0)；(2)顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0)；(3)零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0)3二次函数的图象和性质f(x) ax2 bx c a0 a0图象定义域 R值域 4ac b24a ， )
2、 ( ， 4ac b24a 单调性 在 上递减，在( ， b2a上递增b2a， ) 在 上递增，在( ， b2a上递减b2a， )奇偶性 b0 时为偶函数， b0 时既不是奇函数也不是偶函数2图象特点 对称轴： x ；b2a顶点： (b2a， 4ac b24a )小题体验1已知幂函数 y f(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为_答案： f(x) x12(x0)2(2019天一中学高三测试)已知点 P1(x1,2 019)和 P2(x2,2 019)在二次函数 f(x) ax2 bx9 的图象上，则 f(x1 x2)的值为_答案：93已知 f(x) ax2 bx3 a b 是偶函数，且其
3、定义域为 a1,2 a，则 y f(x)的值域为_答案： 1，31271对于函数 y ax2 bx c，要认为它是二次函数，就必须满足 a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要讨论 a0 和 a0 两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点小题纠偏1已知函数 f(x) ax2 x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是_答案： (120， )2给出下列命题：函数 y2 x 是幂函数；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点
4、；当 n0 时，幂函数 y xn是定义域上的减函数；二次函数 y ax2 bx c， x m， n的最值一定是 .4ac b24a其中正确的是_(填序号)答案：3考 点 一 幂 函 数 的 图 象 与 性 质 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1(2018苏州高三期中调研)已知幂函数 y x2m m2(mN *)在(0，)是增函数，则实数 m 的值是_解析：由题意知 2m m20，解得 0 m2，因为 mN *，所以 m1.答案：12(2019常州一中检测)已知函数 f(x)(3 m)x2m5 是幂函数，则 f _.(12)解析：函数 f(x)(3 m)x2m5 是幂函数，则
5、 3 m1，解得 m2， f(x) x1 ， f 2.(12)答案：23若( a1)12(32 a)12，则实数 a 的取值范围是_解析：易知函数 y x 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error! 解得1 a .23答案： 1，23)谨记通法幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数 y x ( R)是偶函数，则 必为偶数当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数 y x 在(0，)上单调递增，则 0，若在(0，)上单调递减，则 0.考 点 二 二 次 函 数 的 解 析 式
6、重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领已知二次函数 f(x)满足 f(2)1， f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)设 f(x) ax2 bx c(a0)由题意得Error!解得Error!4故所求二次函数为 f(x)4 x24 x7.法二：(利用顶点式)设 f(x) a(x m)2 n.因为 f(2) f(1)，所以抛物线对称轴为 x .2 12 12所以 m ，又根据题意函数有最大值 8，所以 n8，12所以 y f(x) a 28.(x12)因为 f(2)1，所以 a 281，解得 a4，(212)所以 f(x)4 284
7、 x24 x7.(x12)法三：(利用零点式)由已知 f(x)10 的两根为 x12， x21，故可设 f(x)1 a(x2)( x1)，即 f(x) ax2 ax2 a1.又函数有最大值 ymax8，即 8.4a 2a 1 a24a解得 a4 或 a0(舍去)，故所求函数解析式为 f(x)4 x24 x7.由题悟法求二次函数解析式的方法即时应用1已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为 f(x)_.解析：法一：设所求解析式为 f(x) ax2 bx c(a0)由已知得Error!解得Error!所以所求解析式为 f(x) x2 x .19
8、49 595法二：设所求解析式为 f(x) ax2 bx c(a0)由已知得Error!解得Error!所以所求解析式为 f(x) x2 x .19 49 59法三：设所求解析式为 f(x) a(x h)2 k(a0)由已知得 f(x) a(x2) 21，将点(1,0)代入，得 a ，19所以 f(x) (x2) 21，19即 f(x) x2 x .19 49 59答案： x2 x19 49 592已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2 x) f(2 x)，求 f(x)的解析式解：因为 f(2 x) f(2 x)对 xR
9、恒成立，所以 f(x)的对称轴为 x2.又因为 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，所以 f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x) a(x1)( x3)( a0)又因为 f(x)的图象过点(4,3)，所以 3a3， a1.所以所求 f(x)的解析式为 f(x)( x1)( x3)，即 f(x) x24 x3.考 点 三 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考对二次函数图象与性质的考查常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇常见的命题角度有：(1)二次函数的单调性问题；(2)二次函数的最值问题；(3)二
10、次函数中恒成立问题 题点全练角度一：二次函数的单调性问题61(2019江安中学测试)已知函数 f(x) x2( a1) x5 在区间 上为增函数，(12， 1)则 f(2)的取值范围是_解析：函数 f(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为 x ，若函数 f(x)在区间a 12上为增函数，则 ，解得 a2，所以 f(2)4( a1)257，即 f(2)7.(12， 1) a 12 12答案：7，)角度二：二次函数的最值问题2(1)(2019苏州测试)已知函数 f(x) x2 abx a2 b，若 f(0)4，则 f(1)的最大值为_(2)已知函数 f(x) x22 ax1 a 在 x0,1时，
11、有最大值 2，则 a 的值为_解析：(1)因为 f(0)4，所以 a2 b4，即 a42 b，所以 f(1) ab a2 b1 ab5(42 b)b52 b24 b52( b1) 27，所以当 b1 时，f(1)的最大值为 7.(2)函数 f(x) x22 ax1 a( x a)2 a2 a1， x0,1，对称轴方程为x a.当 a0 时， f(x)max f(0)1 a，所以 1 a2，所以 a1.当 0 a1 时， f(x)max f(a) a2 a1，所以 a2 a12，即 a2 a10，解得 a (舍去)152当 a1 时， f(x)max f(1) a，所以 a2.综上可知， a1
12、或 a2.答案：(1)7 (2)1 或 2角度三：二次函数中恒成立问题3已知函数 f(x) x22 x1， f(x) x k 在区间3，1上恒成立，则 k 的取值范围为_解析：由题意得 x2 x1 k 在区间3，1上恒成立设 g(x) x2 x1， x3，1， g(x)在3，1上单调递减， g(x)min g(1)1. k1.故 k 的取值范围为(，1)7答案：(，1)通法在握1二次函数最值问题的 3 种类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)思路：抓“三点一轴” ，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴2由不等式恒成立求参数取值范围
13、的 2 大思路及 1 个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是： a f(x)恒成立 a f(x)max， a f(x)恒成立a f(x)min.演练冲关已知函数 f(x) x22 ax2， x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)求实数 a 的取值范围，使 y f(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当 a1 时， f(x) x22 x2( x1) 21， x5,5，所以当 x1 时，f(x)取得最小值 1；当 x5 时， f(x)取得最大值 37.(
14、2)函数 f(x)( x a)22 a2的图象的对称轴为直线 x a，因为 y f(x)在区间5,5上是单调函数，所以 a5 或 a5，即 a5 或 a5.故 a 的取值范围是(，55，) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018清河中学检测)已知幂函数 f(x) kx 的图象过点 ，则(12， 22)k _.解析：由幂函数的定义知 k1.又 f ，所以 ，解得 ，从而(12) 22 (12) 22 12k .32答案：322(2019连云港调研)若函数 f(x) x22( a1) x2 在(，4)上为增函数，则 a 的取值范围是_解析： f(x) x22( a1) x2 的对称轴为 x a
15、1，8f(x) x22( a1) x2 在(，4)上为增函数，对称轴 x a14， a5.答案：5，)3(2018淮阴模拟)已知函数 f(x) x2 m是定义在区间3 m， m2 m上的奇函数，则 f(m)， f(0)的大小关系为_解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以3 m m2 m0，解得 m3 或1.当 m3 时，函数 f(x) x1 ，定义域不是6,6，不合题意；当 m1 时，函数 f(x) x3在定义域2,2上单调递增，又 m0，所以 f(m) f(0)答案： f(m) f(0)4已知函数 f(x) x2 x m，若| f(x)|在区间0,1上单调，则实数 m 的取值范围为_解析：因
16、为 f(x) x2 x m，且| f(x)|在区间0,1上单调，所以 f(x)在0,1上满足 f(0)f(1)0，即 m(11 m)0，解得 m0 或 m2.答案：(，20，)5若二次函数 f(x) x24 x t 图象的顶点在 x 轴上，则 t_.解析：由于 f(x) x24 x t( x2) 2 t4 图象的顶点在 x 轴上，所以 f(2) t40，所以 t4.答案：46(2019杭州测试)若函数 f(x) x22 x1 在区间 a， a2上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为_解析：因为函数 f(x) x22 x1( x1) 2的图象的对称轴为直线 x1， f(x)在区间a， a2上
17、的最小值为 4，所以当 a1 时， f(x)min f(a)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a21，即 a1 时， f(x)min f(a2)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a1 a2，即1 a1 时， f(x)min f(1)04.故 a 的取值集合为3,3答案：3,3 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019海安中学检测)已知幂函数 f(x) x ，其中 .则 2， 1，12， 1， 2， 3使 f(x)为奇函数，且在区间(0，)上是单调增函数的 的取值集合为_解析：若幂函数 f(x)为奇函数，则 1,1,3，又 f(x)在区间(0，)上是单调9增函数，所以
18、的取值集合为1,3答案：1,32(2019武汉调研)已知幂函数 f(x) xm24 m (mZ)的图象关于 y 轴对称，且在区间(0，)上为减函数，则 m 的值为_解析：幂函数 f(x) xm24 m (mZ)在区间(0，)上为减函数， m24 m0，解得 0 m4.又 mZ， m1 或 m2 或 m3.当 m1 时， f(x) x3 ，图象不关于 y 轴对称；当 m2 时， f(x) x4 ，图象关于 y轴对称；当 m3 时， f(x) x3 ，图象不关于 y 轴对称综上， m 的值为 2.答案：23若关于 x 的不等式 x24 x2 a0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是_
19、解析：不等式 x24 x2 a0 在区间(1,4)内有解等价于 a( x24 x2) max，令 f(x) x24 x2， x(1,4)，所以 f(x) f(4)2，所以 a2.答案：(，2)4(2018泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) x22 x1，不等式 f(x23) f(2x)的解集为_解析：根据题意， f(x)是定义在 R 上的奇函数，则有 f(0)0，当 x0 时， f(x) x22 x1( x1) 2为减函数，则当 x0 时， f(x)也为减函数，综上可得 f(x)在 R 上为减函数，若 f(x23) f(2x)，则有 x232 x，解
20、得1 x3，即不等式 f(x23) f(2x)的解集为(1,3)答案：(1,3)5若函数 f(x) x 22 3 (常数 Z)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则 的值为_解析：根据幂函数的性质，要使函数 f(x)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则 22 3 为偶数，且 22 30，解不等式可得1 3.因为 Z，所以 0,1,2.当 0 时， 22 33，不满足条件；当 1 时， 22 34，满足条件；当 2 时， 22 33，不满足条件，所以 1.答案：16若函数 y x23 x4 的定义域为0， m，值域为 ，则 m 的取值范围是254， 410_解析：二次函数图象的对称轴为
21、 x ，且 f ， f(3) f(0)32 (32) 2544，由图得 m .32， 3答案： 32， 37对于任意实数 x，函数 f(x)(5 a)x26 x a5 恒为正值，则 a 的取值范围是_解析：由题意可得Error!解得4 a4.答案：(4,4)8(2019南通一调)若函数 f(x) ax220 x14( a0)对任意实数 t，在闭区间t1， t1上总存在两实数 x1， x2，使得| f(x1) f(x2)|8 成立，则实数 a 的最小值为_解析：由题意可得，当 x t1， t1时， f(x)max f(x)minmin8，当t1， t1关于对称轴对称时， f(x)max f(x)
22、min取得最小值，即 f(t1) f(t)2 at a208， f(t1) f(t)2 at a208，两式相加，得 a8，所以实数 a的最小值为 8.答案：89已知幂函数 f(x) x 21(m)(mN *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， )，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2 a)2 f(a1)的实数 a 的取值范围解：(1)因为 m2 m m(m1)( mN *)，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，所以 m2 m 为偶数，所以函数 f(x) x 21()(mN *)的定义域为0，) ，并且该函数在0，)上为增函
23、数(2)因为函数 f(x)的图象经过点(2， )，2所以 2 21(m)，即 2 2 1(m)，2所以 m2 m2，解得 m1 或 m2.又因为 mN *，所以 m1， f(x) x12.又因为 f(2 a) f(a1)，11所以Error! 解得 1 a ，32故函数 f(x)的图象经过点(2， )时， m1.2满足条件 f(2 a) f(a1)的实数 a 的取值范围为 .1，32)10(2019启东检测)已知 aR，函数 f(x) x22 ax5.(1)若 a1，且函数 f(x)的定义域和值域均为1， a，求实数 a 的值；(2)若不等式 x|f(x) x2|1 对 x 恒成立，求实数 a
24、 的取值范围13， 12解：(1)因为 f(x) x22 ax5 的图象的对称轴为 x a(a1)，所以 f(x)在1， a上为减函数，所以 f(x)的值域为 f(a)， f(1)又已知值域为1， a，所以Error!解得 a2.(2)由 x|f(x) x2|1，得 a .(*)12x2 52x 12x2 52x令 t， t2,3，1x则(*)可化为 t2 t a t2 t.12 52 12 52记 g(t) t2 t 2 ，12 52 12(t 52) 258则 g(t)max g ，所以 a ；(52) 258 258记 h(t) t2 t 2 ，12 52 12(t 52) 258则 h
25、(t)min h(2)7，所以 a7，综上所述， a7.258所以实数 a 的取值范围是 .258， 7 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在 a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)与 g(x)在 a， b上是“关联函数” ，区间 a， b称为 f(x)与 g(x)的“关联区间” 若 f(x) x3 x2 x 与 g(x)132 x b 的“关联区间”是3,0，则 b 的取值范围是_12解析：由题意设 m(x) f(x) g(x) x3 x23 x b，13则 m( x) x
26、22 x3，由 m( x)0，得 m1 或 m3. f(x)与 g(x)在3,0上是“关联函数” ， x1 是函数 m(x)在3,0上的极大值，同时也是最大值要使 m(x) f(x) g(x)在3,0上有两个不同的零点，则Error! 即Error!解得 0 b ，53故 b 的取值范围是 .0，53)答案： 0，53)2(2019泰州中学检测)已知函数 f(x) x2( x1)| x a|.(1)若 a1，求满足 f(x)1 的 x 的取值集合；(2)若函数 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；(3)若 a1 且不等式 f(x)2 x3 对一切实数 xR 恒成立，求 a 的取
27、值范围解：(1)当 a1 时，有 f(x)Error!当 x1 时，令 2x211，解得 x1 或 x1；当 x1 时， f(x)1 恒成立， x 的取值集合为 x|x1 或 x1(2)f(x)Error!若 f(x)在 R 上单调递增，且 f(x)是连续的，则有Error! 解得 a ，13即实数 a 的取值范围是 .13， )(3)设 g(x) f(x)(2 x3)，则 g(x)Error!若不等式 g(x)0 对一切实数 xR 恒成立，则当 x a 时， a1， g(x)单调递减，其值域为( a22 a3，) a22 a3( a1) 222， g(x)0 恒成立当 x a 时， a1， a ， g(x)min g a3 0，得a 34 (a 34 ) a 3 283 a5. a1，3 a1，13综上， a 的取值范围是3,1)
