1、1第四节 函数的图象1描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点，连线2图象变换(1)平移变换 y f(x)的图象 y f(x a)的图象； a 0， 右 移 a个 单 位 a 0， 左 移 |a|个 单 位 y f(x)的图象 y f(x) b 的图象 b 0， 上 移 b个 单 位 b 0， 下 移 |b|个 单 位(2)对称变换 y f(x)的图象 y f(x)的图象； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)
2、的图象； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 原 点 对 称 y ax(a0 且 a1)的图象 关 于 直 线 y x对 称 ylog ax(a0 且 a1)的图象(3)伸缩变换 y f(x)的图象 y f(x)的图象y af(x)的图象 a 1， 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 a倍 ， 横 坐 标 不 变 0 a 1， 纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的 a倍 ， 横 坐 标 不 变(4)翻转变换 y f(x)的图象 y| f(x)|的图象； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变 y f(x)的图象 y f(|
3、x|)的图象 y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ， 右 侧 不 变2小题体验1 f(x)的图象如图所示，则 f(x)_.答案： f(x)Error!2函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 ye x关于 y 轴对称，则f(x)_.解析：与曲线 ye x关于 y 轴对称的图象对应的解析式为 ye x，将函数 ye x的图象向左平移 1 个单位长度即得 y f(x)的图象，所以 f(x)e ( x1) e x1 .答案：e x13(2018扬州期末)若函数 y f(x)的图象经过点(1,2)，则函数 y f( x)1 的图象必经过的点
4、的坐标是_解析：把函数 y f(x)的图象关于 y 轴对称，再向上平移 1 个单位，可得函数y f( x)1 的图象把函数 y f(x)的图象上的点(1,2)关于 y 轴对称，再向上平移 1 个单位，可得点(1,3)，故函数 y f( x)1 的图象必定经过的点的坐标是(1,3)答案：(1,3)1函数图象的每次变换都针对自变量“ x”而言，如从 f(2 x)的图象到 f(2 x1)的图象是向右平移 个单位，其中是把 x 变成 x .12 122明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系如函数 y f(|x|
5、)的图象属于自身对称，而 y f(x)与 y f( x)的图象关于 y 轴对称是两个函数小题纠偏1函数 y5 x与函数 y 的图象关于_对称15x答案：原点2把函数 y f(2x)的图象向右平移_个单位得到函数 y f(2x3)的图象答案：323考 点 一 作 函 数 的 图 象 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2 x2 ；(3)y x22| x|1.解：(1) yError!图象如图 1.(2)将 y2 x的图象向左平移 2 个单位图象如图 2.(3)yError! 图象如图 3.谨记通法作函数图象的 3 种常用方法考
6、 点 二 识 图 与 辨 图 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1若函数 f(x)Error!的图象如图所示，则 f(3)_.解析：由图象可得 a b3，ln(1 a)0，得 a2， b5，所以 f(x)Error!故 f(3)2(3)51.答案：12(2019启东检测)若函数 f(x)| ax b|(a0， a1， bR)的4图象如图所示，则 a b 的取值范围是_解析：由图可得，函数 f(x)的零点为 ，12即 b0.a由图可得，当 x 时，函数 f(x)为增函数，故 a1，12所以 a b a 2 (0，)a ( a12) 14答案：(0，)由题悟法识图 3 种常用的方
7、法即时应用1已知 y f(x)的图象如图所示，则 f(x)的值域为_解析：由图象易知 f(x)的值域为(，1(1,3)答案：(，1(1,3)2如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O， A， B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f _.(1f 3 )解析：由图象知 f(3)1，所以 1，所以1f 3f f(1)2.(1f 3 )答案：2考 点 三 函 数 图 象 的 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；5
8、(2)求参数的值或范围；(3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数(详见本章第八节考点二)题点全练角度一：研究函数的性质1已知函数 f(x)| x24 x3|.(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M m|使方程 f(x) m 有四个不相等的实根解： f(x)Error!作出函数 f(x)的图象如图所示(1)由图知函数 f(x)的单调递增区间为1,2和3，)，单调递减区间为(，1和2,3(2)由图象可知，若 y f(x)与 y m 图象有四个不同的交点，则 0 m1，所以集合 M m|0 m1角度二：求参数的值或范围2(2019苏州实验中学测试)定义 mina，
9、 bError!已知函数 f(x)min x， x24 x44，若动直线 y m 与函数 y f(x)的图象有3 个交点，则实数 m 的取值范围为_解析：设 g(x)min x， x24 x4，则 f(x) g(x)4，故把g(x)的图象向上平移 4 个单位长度，可得 f(x)的图象，函数 f(x)min x， x24 x44 的图象如图所示，由直线 y m 与函数y f(x)的图象有 3 个交点，可得 m 的取值范围为(4,5)答案：(4,5)角度三：研究不等式3(2018启东中学测试)如图所示，函数 y f(x)的图象是圆 x2 y22 上的两段弧，则不等式 f(x) f( x)2 x 的
10、解集是_6解析：由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x) x，在同一平面直角坐标系中分别作出 y f(x)与 y x的图象，由图象可知不等式的解集为(1,0)(1， 2答案：(1,0)(1， 24若不等式( x1) 2log ax(a0，且 a1)在 x(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析：要使当 x(1,2)时，不等式( x1) 2log ax 恒成立，只需函数 y( x1) 2在(1,2)上的图象在 ylog ax 的图象的下方即可当 0 a1 时，显然不成立；当 a1 时，如图，要使 x(1,2)时， y( x1) 2的图象在 ylog ax 的
11、图象的下方，只需(21) 2log a2，即 loga21，解得 1 a2，故实数 a 的取值范围是(1,2答案：(1,2通法在握函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与 x 轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式
12、问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解演练冲关1已知函数 f(x)Error!若 f(3 a2) f(2a)，则实数 a 的取值范围是_解析：如图，画出 f(x)的图象，由图象易得 f(x)在 R 上单调递减，因为 f(3 a2) f(2a)，所以 3 a22 a，解得3 a1.答案：(3,1)2(2019扬州中学高三调研)已知函数 f(x)Error!的图象上关于 y 轴对称的点恰有79 对，则实数 a 的取值范围是_解析：若 x0，则 x0， x0 时， f(x)sin 1，( 2x) f( x)sin 1sin 1，( 2x) ( 2x)则若 f(x)sin 1， x
13、0 关于 y 轴对称，( 2x)则 f( x)sin 1 f(x)，( 2x)设 g(x)sin 1， x0，( 2x)作出函数 g(x)的大致图象如图所示要满足题意，则须使 g(x)sin 1， x0 与 f(x)log ax， x0 的图象恰有 9( 2x)个交点，则 0 a1，且满足 f(17) g(17)2， f(21) g(21)2，即2log a17，log a212，解得 a .2121 1717答案： (2121， 1717) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知函数 f(x) x21，若 0 x1 x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为_解析：作出函数图象(图略)，知
14、 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x1) f(x2)答案： f(x2) f(x1)2(2018常州一中期末)将函数 ye x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移 2 个单位，所得函数的解析式为_解析：将函数 ye x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得 ye 2x，再向右平移 2 个单位，可得 ye 2(x2) e 2x4 .答案： ye 2x483(2018前黄中学月考)设函数 y f(x1)是定义在(，0)(0，)的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式( x1) f(x)0 的解集为_解析： y f(x1)向右平移 1 个单位得到 y f
15、(x)的图象，由已知可得 f(x)的图象的对称轴为 x1，过定点(2,0)，且函数在(，1)上递减，在(1，)上递增，则 f(x)的大致图象如图所示不等式( x1) f(x)0 可化为Error!或Error!由图可知符合条件的解集为(，0(1,2答案：(，0(1,24使 log2( x) x1 成立的 x 的取值范围是_解析：在同一坐标系内作出 ylog 2( x)， y x1 的图象，知满足条件的x(1,0)答案：(1,0)5若关于 x 的方程| x| a x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意 a| x| x令 y| x| xError!图象如图所示，故要使 a| x|
16、x 只有一解，则 a0.答案：(0，)6设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是_解析：函数 f(x)的图象如图所示，令 t f(a)，则 f(t)2，由图象知 t2，所以f(a)2，当 a0 时，由 a2 a2，即 a2 a20 恒成立，当 a0 时，由 a22，得 0 a ，故 a .2 29答案：(， 2 二保高考，全练题型做到高考达标1已知 f(x) x，若 f(x)的图象关于直线 x1 对称的图象对应的函数为 g(x)，则(13)g(x)的表达式为_解析：设 g(x)上的任意一点 A(x， y)，则该点关于直线 x1 的对称点为 B(2 x， y)，而
17、该点在 f(x)的图象上所以 y 2 x3 x2 ，即 g(x)3 x2 .(13)答案： g(x)3 x22如图，定义在1，)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则 f(x)的解析式为_解析：当1 x0 时，设解析式为 f(x) kx b(k0)，则Error! 解得Error!当1 x0 时， f(x) x1.当 x0 时，设解析式为 f(x) a(x2) 21( a0)，图象过点(4,0)，0 a(42) 21， a ，14当 x0 时， f(x) (x2) 21 x2 x.14 14故函数 f(x)的解析式为 f(x)Error!答案： f(x)Error!3(20
18、19江阴中学检测)方程 x2| x| a1 有四个不同的实数解，则 a 的取值范围是_解析：方程解的个数可转化为函数 y x2| x|的图象与直线y1 a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知 1 a0，14所以 1 a .54答案： (1，54)4(2019启东中学期中)设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时， f(x)的图象如图，则不等式 0 的解集为_f xx 110解析：不等式 0，等价于Error!或Error!f xx 1由图象可知：当 1 x5 时，由 f(x)0，解得 2 x5.当 0 x1 时，由 f(x)0，解得 0 x1，因为 f(x)为奇函数，当2 x0
19、时，由 f(x)0，此时无解，当5 x2 时，由 f(x)0，解得5 x2，故不等式的解集为5，20,1)2,5答案：5，20,1)2,55已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)Error!若方程 f(x) x a 有两个不同实根，则 a 的取值范围为_解析： x0 时， f(x)2 x1，0 x1 时，1 x10，f(x) f(x1)2 ( x1) 1.故 x0 时， f(x)是周期函数，如图所示若方程 f(x) x a 有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 y x a 有两个不同交点，故 a1，即 a 的取值范围是(，1)答案：(，1)6(2019镇江中学测试)已知函数
20、 f(x)Error!若 a， b， c 互不相等，且 f(a) f(b) f(c)，则 a b c 的取值范围是_解析：作出函数 f(x)的图象如图所示，不妨设 a b c，则 b c21224， a(1,10)，则 a b c24 a(25,34)答案：(25,34)7(2019徐州调研)设函数 f(x)Error!其中 x表示不超过 x 的最大整数，如1.22，1.21，若直线 y kx k(k0)与函数 y f(x)的图象有三个不同的交点，则 k 的取值范围是_解析：函数 f(x)Error!作出函数 f(x)的图象如图所示11 y kx k k(x1)，故该直线的图象一定过点(1,0
21、)，若 y kx k 与 y f(x)的图象有三个不同的交点，则 f(x) kx k 有三个不同的根， k0，当 y kx k 过点(2,1)时， k ，当 y kx k 过点(3,1)时， k ，13 14要使 f(x) kx k 有三个不同的根，则实数 k 的取值范围是 .14， 13)答案： 14， 13)8(2019金陵中学月考)已知 y f(x)是偶函数， y g(x)是奇函数，它们的定义域均为，且它们在 x0，上的图象如图所示，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是_解析： f(x)g(x)0 f(x)与 g(x)在同一区间内符号相反，由图可知，当 x0，时，两者异号的区间为 .(
22、 3， )又 f(x)为偶函数， g(x)为奇函数，当 x，0)时，两者异号的区间为 ，( 3， 0) f(x)g(x)0 的解集是 .( 3， 0) ( 3， )答案： ( 3， 0) ( 3， )9(2018盐城一中测试)已知函数 f(x) x|m x|(xR)，且 f(4)0.(1)求实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式 f(x)0 的解集；(5)求集合 M m|使方程 f(x) m 有三个不相等的实根解：(1)因为 f(4)0，所以 4|m4|0，即 m4.(2)因为 f(x) x|4 x|
23、Error!12即 f(x)Error!所以函数 f(x)的图象如图所示由图象知函数 f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知： f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知：不等式 f(x)0 的解集为 x|0 x4 或 x4(5)由图象可知若 y f(x)与 y m 的图象有三个不同的交点，则 0 m4，所以集合 M m|0 m410已知函数 f(x)2 x， xR.(1)当 m 取何值时方程| f(x)2| m 有一个解？两个解？(2)若不等式 f2(x) f(x) m0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围解：(1)令 F(x)| f(x)2|2 x2|，G(x) m，画出 F
24、(x)的图象如图所示由图象可知，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当 0 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解(2)令 f(x) t(t0)， H(t) t2 t，因为 H(t) 2 在区间(0，)上是增函数，(t12) 14所以 H(t) H(0)0.因此要使 t2 t m 在区间(0，)上恒成立，应有 m0，即所求 m 的取值范围为(，0 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1对于函数 f(x)lg(| x2|1)，给出如下三个命题： f(x2)是偶函数； f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函
25、数； f(x)没有最小值其中正确命题的个数为_解析：因为函数 f(x)lg(| x2|1)，所以函数 f(x2)lg(| x|1)是偶函数；由 ylg x 图 象 向 左 平 移 1个 单 位 长 度 ylg( x1) 去 掉 y轴 左 侧 的 图 象 ， 以 y轴 为 对 称 轴 ， 作 y轴 右 侧 的 对 称 图 象 ylg(| x|1) ylg(| x2|1)，如图，可知 f(x)在 图 象 向 右 平 移 2个 单 位 长 度 (，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为 0.所以正确13答案：22已知函数 f(x)的图象与函数 h(x) x 2 的图象关于点
26、 A(0,1)对称1x(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x) f(x) ，且 g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数 a 的取值范围ax解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x， y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P( x,2 y)在 h(x)的图象上，即 2 y x 2，所以 y f(x) x (x0)1x 1x(2)g(x) f(x) x ，ax a 1xg( x)1 .a 1x2因为 g(x)在(0,2上为减函数，所以 1 0 在(0,2上恒成立，a 1x2即 a1 x2在(0,2上恒成立，所以 a14，即 a3，故实数 a 的取值范围是3，)命题点一 函数的概念及其
27、表示1(2018江苏高考)函数 f(x) 的定义域为_log2x 1解析：由 log2x10，即 log2xlog 22，解得 x2，所以函数 f(x) 的定log2x 1义域为 x|x2答案： x|x22(2016江苏高考)函数 y 的定义域是_3 2x x2解析：要使函数有意义，需 32 x x20，即 x22 x30，得( x1)( x3)0，即3 x1，故所求函数的定义域为3,1答案：3,13(2016浙江高考)设函数 f(x) x33 x21，已知 a0，且 f(x) f(a)( x b)(x a)2，xR，则实数 a_， b_.解析：因为 f(x) x33 x21，14所以 f(a
28、) a33 a21，所以 f(x) f(a)( x b)(x a)2( x b)(x22 ax a2) x3(2 a b)x2( a22 ab)x a2b x33 x2 a33 a2.由此可得Error!因为 a0，所以由得 a2 b，代入式得 b1， a2.答案：2 14(2018全国卷改编)设函数 f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是_解析：法一：当Error!即 x1 时，f(x1) f(2x)，即为 2( x1) 2 2 x，即( x1)2 x，解得 x1.因此不等式的解集为(，1当Error! 时，不等式组无解当Error! 即1 x0 时，f(x1
29、) f(2x)，即为 12 2 x，解得 x0.因此不等式的解集为(1,0)当Error! 即 x0 时， f(x1)1， f(2x)1，不合题意综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，0)法二： f(x)Error!函数 f(x)的图象如图所示结合图象知，要使 f(x1) f(2x)，则需Error! 或Error! x0.答案：(，0)命题点二 函数的基本性质1.(2016江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上， f(x)Error! 其中 aR.若 f f ，则 f(5a)的值是_(52) (92)解析：因为函数 f(x)的周期为 2，结合在
30、1,1)上 f(x)的解析式，得f f f a，(52) ( 2 12) ( 12) 12f f f .(92) (4 12) (12) |25 12| 11015由 f f ，得 a ，解得 a .(52) (92) 12 110 35所以 f(5a) f(3) f(41) f(1)1 .35 25答案：252(2013江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时， f(x) x24 x，则不等式 f(x) x 的解集用区间表示为_解析：由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x0 时， f(0)0；当 x0 时， x0，所以 f( x) x24 x f(x)，即 f(x)
31、 x24 x，所以 f(x)Error!由 f(x) x，可得Error!或Error!解得 x5 或5 x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)3(2018全国卷改编)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1 x) f(1 x)若 f(1)2，则 f(1) f(2) f(3) f(50)_.解析：法一： f(x)是奇函数， f( x) f(x)， f(1 x) f(x1)由 f(1 x) f(1 x)，得 f(x1) f(x1)， f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期函数由 f(x)为奇函数得 f
32、(0)0.又 f(1 x) f(1 x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(2) f(0)0， f(2)0.又 f(1)2， f(1)2， f(1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2) f(1) f(0)20200， f(1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50)012 f(49) f(50) f(1) f(2)202.法二：由题意可设 f(x)2sin ，作出 f(x)的部分图象如图所( 2x)示由图可知， f(x)的一个周期为 4， f(1) f(2) f(3) f(50)1612 f(1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50)120
33、 f(1) f(2)2.答案：24(2017全国卷改编)函数 f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是_解析：由 x22 x80，得 x4 或 x2.因此，函数 f(x)ln( x22 x8)的定义域是 ( ，2)(4， )注意到函数 y x22 x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知， f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是(4，)答案：(4，)5(2017全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时， f(x)2 x3 x2，则 f(2)_.解析：由已知得， f(2)2(2) 3(2) 212，又函数 f(x)是奇函数，所以 f(2) f(2
34、)12.答案：126(2017山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4) f(x2)若当x 3,0时， f(x)6 x，则 f(919)_.解析：因为 f(x4) f(x2)，所以 f(x6) f(x)，所以 f(x)的周期为 6，因为 91915361，所以 f(919) f(1)又 f(x)为偶函数，所以 f(919) f(1) f(1)6.答案：6命题点三 函数的图象1.(2016全国卷改编)已知函数 f(x)(xR)满足 f( x)2 f(x)，若函数 y与 y f(x)图象的交点为( x1， y1)，( x2， y2)，( xm， ym)，则 (xi yi)x
35、1x mi 1_.解析：因为 f( x)2 f(x)，所以 f( x) f(x)2.因为 0， x x21，所以函数 y f(x)的图象关于点(0,1)对称函数 y 1 ，f x f x2 x 1x 1x故其图象也关于点(0,1)对称所以函数 y 与 y f(x)图象的交点( x1， y1)，( x2， y2)，x 1x，( xm， ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以 i0， i2 m，mi 1xmi 1y m2所以 (xi yi) m.mi 117答案： m2(2015全国卷)已知函数 f(x) ax32 x 的图象过点(1,4)，则 a_.解析：因为 f(x) ax32 x 的图象过点(1,4)，所以 4 a(1) 32(1)，解得 a2.答案：218
