1、1单元检测三 函数概念与基本初等函数(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设函数 f(x) ，则函数的定义域为 ( )1 3x1log2x 1A. B.(12， 0) ( 12， )C. (0，) D.(12， 0) ( 12， 2)答案 A解析 由Error!得 log2e1.1log25 1log2e所以 01，故 a0，可排除选项 B.故选 A.( 2)5已知函数 f(x) x24 x，当 x m,5时， f(x)的值域是5,4，则实数 m 的
2、取值范围是( )A(，1) B(1,2C1,2 D2,5答案 C解析 f(x)( x2) 24，所以当 x2 时， f(2)4.由 f(x)5，解得 x5 或 x1.所以要使函数 f(x)在区间 m,5上的值域是5,4，则1 m2.6已知函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(，0上单调递减，则满足 f(3x1)0，则 AB 的中点 C .(1 x2 ， 12|log2x|)由于点 C 在函数 g(x) x的图象上，(12)故有 |log2x| ，12 即|log 2x| x，2 (22)故函数 f(x)关于函数 g(x)的“关联点”的个数即为函数 y|log 2x|和 y x的
3、图象2 (22)的交点的个数在同一个坐标系中画出函数 y|log 2x|和 y x的图象，由图象知交点个数为 2，则2 (22)函数 f(x)关于函数 g(x)的“关联点”的个数是 2，故选 B.10已知函数 f(x) (aR)在区间1,4上的最大值为 g(a)，则 g(a)的最小值|x216x a|为( )A4B5C6D7答案 A解析 方法一 令 H(x) x2 a，16x则 H( x)2 x (x2)( x22 x4)，16x2 2x2故 H(x)在1,2上单调递减，在(2,4上单调递增，所以 g(a)minminmax| H(1)|，| H(2)|，| H(4)|，即 g(a)minmi
4、nmax|17 a|，|12 a|，|20 a|，如图可知， g(a)min4.5方法二 令 t x2 ，16x则 t2 x (x2)( x22 x4)，16x2 2x2所以 t x2 在1,2上单调递减，16x在(2,4上单调递增，所以 t12,20，故 y| t a|在 t12,20上的最大值为g(a)Error! 所以 g(a)min4.第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填在题中横线上)11已知 f(x1) x21，则 f(x)_， y 的单调递增区间为_1fx答案 x22 x (1,2)解析 当 x
5、1 t 时， x t1，所以 f(t)( t1) 21 t22 t，即 f(x) x22 x； y ，1fx 1 x2 2x定义域为(0,2)，且 f(x)对称轴为 x1，所以函数 在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，fx根据复合函数“同增异减” ，函数 y 的单调增区间为(1,2)1 x2 2x12(2018舟山二模)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)Error!则 g(8)_.答案 2解析 当 x0，则 f( x)log 3(1 x)，又 f( x) f(x)， f(x)log 3(1 x)，即 g(x)log 3(1 x)， xb1.若 logablog b
6、a ， ab ba，则 a_， b_.526答案 4 2解析 设 logba t，则 t1，因为 t ，解得 t2，1t 52所以 a b2，因此 ab bab2b bb2，解得 b2， a4.14(2018台州高级中学期中)已知函数 f(x)Error!则 f(f(2)_；若 f(a)9，则实数 a_.答案 4 9 或 3解析 由题意得 f(f(2) f(4)4，若 f(a)9，当 a0 时，有 a29，即 a3；当 a0)的最大值为 f(2)1，若 a11，则 a0.当 a0 时， f(x) x22 ax2( x0)的最大值为 f(0)2，所以 a11，所以 a0.16已知函数 f(x)是
7、奇函数，且在 R 上是减函数，若实数 a， b 满足Error!则( a1)2( b1) 21 所表示的图形的面积是_答案 1 2解析 由Error!得Error! f(x)是奇函数，且在 R 上是减函数，Error! 作出不等式组表示的平面区域(图略)，( a1) 2( b1) 21 所表示的图形为以(1,1)为圆心，1 为半径的半圆和一个三角形，其表示的图形的面积是 1. 217已知函数 f(x) x22 ax a21， g(x)2 x a，对于任意的 x11,1，存在x21,1，使 f(x2) g(x1)，则实数 a 的取值范围是_答案 2，1解析 f(x) x22 ax a21( x
8、a)21，7当 x1,1时，若 a1，则 f(x) a22 a， a22 a；若11，则 f(x) a22 a， a22 a而 g(x)2 a，2 a，从而由条件得：若 a1，则Error!解得2 a1；若11，则Error!不等式组无解综上所述，实数 a 的取值范围是2，1三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(14 分)若定义在2,2上的奇函数 f(x)满足当 x(0,2时， f(x) .3x9x 1(1)求 f(x)在2,2上的解析式；(2)判断 f(x)在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当 为何值时，关于 x 的方程 f(x)
9、在 x2,2上有实数解解 (1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)0.当 x2,0)时， x(0,2因为 f(x)为奇函数，所以 f(x) f( x) ，3 x9 x 1所以 f(x)Error!(2)f(x)在(0,2)上是减函数，证明如下，任取 00， ，230 1(9)10 8所以 f(x1) f(x2)0.因此， f(x)在(0,2)上单调递减(3)方程 f(x) 在 x2,2上有实数解，即 取函数 f(x)的值域内的任意值由(2)可知， f(x)在 x(0,2上是减函数，此时 f(x) .982， 12)又因为 f(x)是 x2,2上的奇函数，所以当 x0 时， f(x)0.当
10、x2,0)时， f(x) .(12， 982因此，函数 f(x)的值域为 0 ，(12， 982 982， 12)因此， 0 .(12， 982 982， 12)19(15 分)(2018宁波九校联考)已知函数 f(x) x|x a| bx.(1)当 a2，且 f(x)是 R 上的增函数时，求实数 b 的取值范围；(2)当 b2，且对任意 a(2,4)，关于 x 的方程 f(x) tf(a)总有三个不相等的实数根时，求实数 t 的取值范围解 (1) f(x) x|x2| bxError!因为 f(x)连续，且 f(x)在 R 上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以Error! 得 b2.(
11、2)f(x) x|x a|2 xError!tf(a)2 ta.当 2 a1 时， m， n22 k，0；当 k1 时， m， n不存在21(15 分)(2018杭州质检)设函数 f(x) x2 bx c(b， cR)若 f(1 x) f(1 x)，10f(x)的最小值为1.(1)求 f(x)的解析式；(2)若函数 y| f(x)|与 y t 相交于 4 个不同交点，从左到右依次为 A， B， C， D.是否存在实数 t，使得线段| AB|，| BC|，| CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出 t 的值；如果不存在，请说明理由解 (1)因为 f(1 x) f(1 x)，所以函数的对称轴为直线
12、 x1，即 1，所以 b2，b2又因为 f(x)的最小值为1，所以 1，解得 c0，4c b24所以 f(x) x22 x.(2)若函数 y| f(x)|与 y t 相交于 4 个不同交点，则 01 时， f( x)0， f(x)在(0,1)上单调递增，故 f(x)max f(1) a1.当 f(x)max0，即 a1 时，因最大值点唯一，故符合题意；当 f(x)max0，即 a1 时，一方面，存在 ea1， f(ea) 2.依题意有 a ln x1 ln x2，1x1 1x2于是 ln .x2 x1x1x2 x2x1记 t， t1，则 lnt ，故 x1 ，x2x1 t 1tx1 t 1tl
13、nt于是， x1 x2 x1(t1) ，t2 1tlntx1 x22 .2(t2 12t lnt)lnt记函数 g(x) ln x， x1.x2 12x因 g( x) 0，故 g(x)在(1，)上单调递增x 122x2于是当 t1 时， g(t)g(1)0，又 lnt0，所以 x1 x22.再证 x1 x2p 时， t(x)t(p)0；当 00，21即 x (3e a1 1) x1e a1 0.21同理得 x (3e a1 1) x2e a1 0.2故 x (3e a1 1) x2e a1 x (3e a1 1) x1e a1 ，2 21(x2 x1)(x2 x1)(3ea1 1)( x2 x1)，于是 x1 x23ea1 1.综上，2 x1 x23ea1 1.13
