1、1单元检测二 不等式(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2018宁波九校联考)已知 ab，则下列不等式成立的是( )A. b2 D ac bc答案 B解析 A 中，当 a2， b3 时， b，得 ab2不成立；D 中，当 c0 的解集是 x|x2，则实数 m 等于( )A1B2C1D2答案 C解析 当 m0 时，由 mx20 得 x ；2m当 m0 得 x2，所以 m0 且 2，解得 m1，故选 C.2m3(2019诸暨模拟)已知| x a|0
2、表示的区域在直线 x2 y60 的( )A右上方 B右下方 C左上方 D左下方答案 B解析 点(0,0)满足 x2 y60，且点(0,0)在直线 x2 y60 的右下方，所以不等式x2 y60 表示的平面区域在直线 x2 y60 的右下方，故选 B.5(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知实数 x， y 满足Error!则 2y x 的最大值是( )A2B1C1D2答案 C解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数 z2 y x 经过平面区域内的点 A(1,1)时， z2 y x 取得最大值，所以 2y x 的最大值为 211
3、1，故选 C.6已知集合 M( x， y)|x y0， x y0， y a，其中 a0，若平面点集N( x y， x y)|(x， y) M所表示的平面区域的面积为 2，则 a 的值为( )A1B2C3D4答案 A解析 设 x y X， x y Y，所以平面点集 N 可化为( X， Y)|Y0， X0， X Y2 a，它所表示的平面区域如图所示，其为一个等腰直角三角形，腰长为 2a(a0)，故其面积 S22a2a，解得 a1.127已知 a1， x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z 的最大值小于 1，则实数 a 的ayax 1取值范围为( )A(1,2) B(1,1 )23C(1
4、，) D(2，)2答案 B解析 由已知约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，而目标函数 z ayax 1的几何意义为可行域内的点与 C 连线的斜率，连接 AC，此时直线的斜率最大，yx 1a ( 1a， 0)可得 A ，由 kAC 1，则 10 时，作出不等式组所表示的平面区域，如图(3)中的阴影部分所示，过 A 作 AB 垂直于直线 x ay0，垂足为 B，此时 的最小值为 |AB|，x2 y 22根据题意，| AB| ，45由点到直线的距离公式得，| AB| ，所以 a2，|0 a 2|1 a2 45又 a0，所以 a2.故选 D.10已知实数 x0， y0， x4 y2 ，若
5、(m0)的最小值为 1，则 m 等于( )21x 1 1my 1A1B. C2D22 2答案 C解析 x4 y2 ， x4 y( x1) (my1) ，24m (1 4m)( x1) (my1)2 0，4m 2 (1 4m)由( x1) (my1)4m ( 1x 1 1my 1)1 1 24m x 1my 1 4m my 1x 1 4m 4m(当且仅当 m(x1) 24( my1) 2时取等号)，5得 .1x 1 1my 11 4m 4m22 (1 4m)根据题意，知 1 ，得 m2.1 4m 4m22 (1 4m)第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6
6、 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填在题中横线上)11不等式组Error!的解集为_答案 x|10 等价于(| x|2)(| x|1)0 等价于| x|1，根据绝对值不等式以及二次不等式，可知 14 的解集为 x|xb(1)求 a， b；(2)解不等式 0(c 为常数)x cax b解 (1)由题意知 1， b 为方程 ax23 x20 的两根，即Error! a1， b2.9(2)不等式等价于( x c)(x2)0，当 c2 时，解集为 x|xc 或 x2 或 x0.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)5 x1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为 x|x1，求 a 的值
7、解 (1)当 a3 时， f(x)5 x1 可化为|2 x3|1.由此可得 x2 或 x1.故不等式 f(x)5 x1 的解集为 x|x1 或 x2(2)由 f(x)0 得|2 x a|5 x0，此不等式化为不等式组Error!或 Error!即Error! 或Error!因为 a0，所以不等式组的解集为Error!.由题设可得 1，故 a3.a320(15 分)(2019温州调研)已知函数 f(x) x| x2|.(1)求不等式 f(x)6 的解集 M；(2)记(1)中集合 M 中元素最小值为 m，若 a， b 是正实数，且 a b m，求 的最(1a 1)(1b 1)小值解 (1) f(x
8、)6，即为 x| x2|6，Error! 或Error!解得 x2， M x|x2(2)由(1)知 m2，即 a b2，且 a， b 是正实数， (1a 1)(1b 1) (a b2a 1)(a b2b 1) (b2a 32)(a2b 32) 52 34(ba ab) 2 4，52 34 baab10当且仅当 ，即 a b1 时， 取得最小值 4.ab ba (1a 1)(1b 1)21(15 分)已知函数 f(x)(3 x1) a2 x b.(1)若 f ，且 a0， b0，求 ab 的最大值；(23) 203(2)当 x0,1时， f(x)1 恒成立，且 2a3 b3，求 z 的取值范围a
9、 b 2a 1解 (1)因为 f(x)(3 a2) x b a， f ，(23) 203所以 a b ，即 a b8.43 203因为 a0， b0，所以 a b2 ，即 4 ，所以 ab16，ab ab当且仅当 a b4 时等号成立，所以 ab 的最大值为 16.(2)因为当 x0,1时， f(x)1 恒成立，且 2a3 b3，所以Error! 且 2a3 b3，即Error!作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)由图可得经过可行域内的点( a， b)与点(1，1)的直线的斜率的取值范围是 ，25， 2所以 z 1 的取值范围是 .a b 2a 1 b 1a 1 75， 322(15 分)已知数列 xn满足 x11， xn1 2 3，求证：xn(1)00，所以 2 30，即 xk1 0，xk由 xk1 92 62( 3)0.xn xn所以 xn .xnxn3从而 xn1 2 3 xn3.xn23所以 xn1 9 (xn9)，23即 9 xn1 98 n1 (n2)(23)当 n1 时， x1198 01，(23)综上， xn98 n1 .(23)12
