1、1单元检测六 平面向量与复数(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数 z 满足 iz34i，则| z|等于( )A1B2C. D55答案 D解析 因为 z (34i)i43i，3 4ii所以| z| 5.42 322若 z1(1i) 2， z21i，则 等于( )z1z2A1iB1iC1iD1i答案 B解析 z1(1i) 22i， z21i， 1i.z1z2 2i1 i 2i1 i1 i1 i 2 2i23设平面向量 m(1,2)， n(2， b
2、)，若 m n，则| m n|等于( )A. B. C. D35 10 2 5答案 A解析 由 m n， m(1,2)， n(2， b)，得 b4，故 n(2，4)，所以 m n(1，2)，故| m n| ，故选 A.54.如图所示，向量 a， b， c，点 A， B， C 在一条直线上，且 4 ，则( )OA OB OC AC CB A c a b B c a b12 32 32 12C c a2 b D c a b13 43答案 D2解析 c ( ) b a.故选 D.OB BC OB 13AB OB 13OB OA 43OB 13OA 43 135设向量 a( x，1)， b(1， )，
3、且 a b，则向量 a b 与 b 的夹角为( )3 3A. B. C. D. 6 3 23 56答案 D解析 因为 a b，所以 x 0，解得 x ，所以 a( ，1)， a b(0,4)，则3 3 3 3cos a b， b ，所以向量 a b 与 b 的夹角为 ，3a 3bb|a 3b|b| 4342 32 3 56故选 D.6已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 a2019 ，且 A， B， C 三点共线( O 为该OB OA OC 直线外一点)，则 S2019等于( )A2019B2020C. D101020192答案 C解析 A， B， C 三点共线，且 a1 a20
4、19 ，则 a1 a20191，所以OB OA OC S2019 (a1 a2019) ，故选 C.20192 201927.如图，在 ABC 中， AB AC3，cos BAC ， 2 ，则 的值为( )13 DC BD AD BC A2B2C3D3答案 B解析 ( ) AD BC AC CD BC (AC 23CB ) BC AC 23AB AC BC ( )(23AB 13AC ) AC AB | |2 | |223AB 13AB AC 13AC 6132，故选 B.8(2018嘉兴期末)对任意两个非零向量 a， b，下列说法中正确的是( )A( a b)2( a b)2B( a b)2
5、 a2 b2C( a b)24| a|b|3D( a b)2( a b)24 ab答案 D解析 因为( a b)2( a b)24 ab，与 0 的大小关系不确定，所以 A 错误；( a b)2 a2 b22 ab，与 0 的大小关系不确定，所以 B 错误；( a b)24| a|b| a|2| b|22| a|b|cos 4| a|b|2| a|b|(cos 1)，而2|a|b|(cos 1)0，所以 C 错误；( a b)2( a b)24 ab2(| a|2| b|22 ab)2( a b)20，所以( a b)2( a b)24 ab，故选 D.9.如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知
6、 DC AB， ADC120， AB4， CD2，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 的最小值是( )BE 12 BC DF DC AE BF A4 13 B4 136 6C4 D4 6132 6 132答案 B解析 在等腰梯形 ABCD 中， AB4， CD2， ADC120，易得 AD BC2.由动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上得，Error!所以 0， me20，可知 m与 e1的夹角为锐角或同向共线，由 me22.第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填在题中
7、横线上)11已知复数 zi 2017i 2018，则 z 的共轭复数 _， _.z |z 3z 2|答案 i1 102解析 因为 zi 2017i 2018i1，所以 i1.z因为 ，z 3z 2 i 2 i 1 1 3i2所以 .|z 3z 2| 1 92 10212已知点 O 为 ABC 内一点，且满足 4 0.设 OBC 与 ABC 的面积分别为OA OB OC S1， S2，则 _.S1S2答案 16解析 设 E 为 AB 的中点，连接 OE，延长 OC 到 D，使 OD4 OC，因为点 O 为 ABC 内一点，且满足 4 0，所以 0，则点 O 是 ABD 的重心，则 E， O， C
8、， D 共线，OA OB OC OA OB OD 5OD OE21，所以 OC OE12，则 CE OE32，则 S1 S BCE S ABC，所以 .13 16 S1S2 1613在 ABC 中， AB6， AC5， A120，动点 P 在以 C 为圆心，2 为半径的圆上，则 的最小值是_PA PB 答案 16解析 设 AB 的中点为 M，则 2 2PA PB 12PA PB 12PA PB 2 2 29，PM MA PM 所以要求 的最小值，即求| |的最小值，PA PB PM 显然当点 P 为线段 MC 与圆的交点时，| |取得最小值，最小值为| |2.PM MC 在 AMC 中，由余弦
9、定理得| |23 25 2235cos12049，MC 所以| |7，所以| |的最小值为 5，MC PM 则 的最小值为 16.PA PB 14在 ABC 中， AB3 AC， CAB120，以 A 为圆心， AC 长为半径作圆弧，交 AB 于点D， M 为圆弧 CD 上任一点， x y ，则 3x y 的取值范围为_， xy 的最大值为AM AB AC _答案 1,2 13解析 如图，连接 CD 交 AM 于点 N，设 ，则 1,2AM AN x y 3 x y ，AM AB AC AD AC ，AN 3x AD y AC 由 C， N， D 三点共线，得 1，3x y3 x y 1,26
10、43 xy(3 x y)24， xy ，13当且仅当Error!即Error! 时取等号，( xy)max .1315在平面中，已知向量 a， b 的夹角为 ，| a b|6，向量 c a， c b 的夹角为 ， 3 23|c a|2 ，则 a 与 c 的夹角为_； ac 的最大值为_3答案 1812 6 3解析 设 a ， b ， c ，OA OB OC 则 a b ， c a ， c b ，BA AC BC 知 AOB ， ACB . 3 23当点 O， C 在 AB 两侧时，由题可得 O， A， C， B 四点共圆，在 ABC 中， BA6， AC2 ， ACB ，323由正弦定理得 ，
11、BAsin ACB ACsin CBA则 sin CBA ，即 CBA ，12 6则 CBA COA ，可得 a 与 c 的夹角为 . 6 6因为| c a|2 ，3所以 12 c2 a22 ac2| a|c|2 ac，又由 ac| a|c|cos 得| a|c| ac， 6 23所以 12 ac2 ac，43所以 ac 1812 .632 3 3当点 O， C 在 AB 同侧时，可得点 A， B， O 在以 C 为圆心， AC 为半径的圆上，则当点O， C， A 在同一直线上，即 OA 为圆 C 的直径时， ac 取得最大值，OA OC (ac)max| | |4 2 24.OA OC 3
12、3综上所述， ac 的最大值为 1812 ，此时 a 与 c 的夹角为 .3 616已知定点 A， B 满足| |2，动点 P 与动点 M 满足| |4， (1 )AB PB AM AB 7( R)，且| | |，则 的取值范围是_；若动点 C 也满足| |4，则AP MA MP AP AM CB 的取值范围是_AC AM 答案 2,18 6,18解析 因为 (1 ) ( R)， 1 1，AM AB AP 所以根据三点共线知，点 M 在直线 PB 上，又| | |，MA MP 记 PA 的中点为 D，连接 MD，如图，则 MD AP， ( ) 0 2，AP AM AP AD DM AP AD
13、12AP 因为| |4，所以点 P 在以 B 为圆心，4 为半径的圆上，PB 则| |2,6，则 22,18AP AP AM 12AP 由于| | | | |4，MA MB MP MB 所以点 M 在以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为 1，x24 y23点 C 在圆( x1) 2 y216 上， A(1,0)，设 M(2cos ， sin )， C(4cos 1,4sin )，3则 (4cos 2,4sin )，AC (2cos 1， sin )，AM 3 (8cos 4)cos 4 sin
14、 sin 4cos 2AC AM 3 sin( )4cos 28cos 42 43sin 2(4cos 8)sin( )4cos 2，最大值是(4cos 8)4cos 28cos 1018，最小值是(4cos 8)4cos 26，8所以 6,18AC AM 17已知平面向量 a， b， c，其中 a， b 的夹角为 ，若|a|b|sin 2， c a b( 为实数)，则 c(c a) a2的最小值是_答案 2 3解析 方法一 令 a， b， c，OA OB OC 则 BOA ，并记| | a| a，| | b| b，OA OB 线段 OA 的中点为 M，则| a|b|sin absin 2.由
15、 c a b 知， c b a，即 BC OA，c(c a) a2 ( ) a2OC OC OA a2 a2OC AC CO CA ( )2( )2 a214 CO CA CO CA 2 a2 a2| |2 a2.CM 14 CM 34又| | |sin BOA bsin ，CM OB 所以 c(c a) a2| |2 a2 b2sin2 a2CM 34 342 absin 2 .b2sin2 34a2 3 3当且仅当 b2sin2 a2时取到最小值34方法二 令 a， b， c，OA OB OC BOA ，| | a| a，| | b| b，OA OB 由| a|b|sin absin 2，
16、得 bsin .2a设 O(0,0)， A(a,0)， B ，(m，2a)则 a( a，0)， b ，(m，2a)令 c a b ，(m a，2a) (x， 2a)则 c(c a) a2 a2(x，2a) (x a， 2a)9 x2 ax a24a2 2 a2 a2(xa2) 14 4a2 2 a2 02 2 ，(xa2) 34 4a2 34a24a2 3当且仅当Error!时取到最小值三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(14 分)(2018杭州萧山区第一中学月考)已知复数 z .1 i2 25 i3 i(1)求| z|；(2)若 z(z
17、a) bi，求实数 a， b 的值解 (1) z 3i，2i 10 2i3 i 103 i 103 i10| z| .10(2)(3i)(3i a)(3i) 2(3i) a83 a( a6)i bi，Error! 得Error!19(15 分)(2019湖州调研)已知平面向量 a， b 满足| a|1，|3 a2 b| ，且 a， b 的13夹角为 60.(1)求| b|的值；(2)求 2a b 和 a2 b 夹角的余弦值解 (1)由已知得|3 a2 b|294| b|212 ab94| b|212| b|cos6013，即 2|b|23| b|20，解得| b|2.(2)|2a b| 2，4
18、 4 42cos60|a2 b| .1 16 42cos60 13又(2 a b)(a2 b)2852cos605.所以 2a b 和 a2 b 夹角的余弦值为 .2a ba 2b|2a b|a 2b| 5213 5132620(15 分)如图，在 OAB 中，点 P 为线段 AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足 AP .PB 10(1)若 ，用向量 ， 表示 ；12 OA OB OP (2)若| |4，| |3，且 AOB60，求 取值范围OA OB OP AB 解 (1) ， ( )，AP 12PB OP OA 12OB OP ，即 .32OP OA 12OB OP 23OA 13OB
19、 (2) | | |cos606， ( 0)，OA OB OA OB AP PB ( )，(1 ) ，OP OA OB OP OP OA OB .OP 11 OA 1 OB ，AB OB OA ( )OP AB ( 11 OA 1 OB ) OB OA 2 2 11 OA 1 OB ( 11 1 )OA OB 3 . 16 9 6 61 3 101 131 0，3 (10,3)131 的取值范围是(10,3)OP AB 21.(15 分)(2018温州测试)设 AD 是半径为 5 的半圆 O 的直径(如图)， B， C 是半圆上两点，已知 AB BC .10(1)求 cos AOC 的值；(2
20、)求 的值DC DB 解 (1)如图，连接 OB，11由余弦定理得 cos AOB .25 25 10255 45由 AB BC 知 AOC2 AOB，则 cos AOCcos2 AOB2cos 2 AOB1 .725(2)方法一 由题意可知 ADC AOB， ADB BDC，则| |8.DC 又在 Rt ADB 中，sin ADB ，1010可得 cos ADB ，| |3 ，310 DB 10所以 cos BDC ，310故 83 72.DC DB 10 310方法二 ( )( )DC DB OC OD OB OD ( )( )OC OA OB OA 2OC OA OC OB OB OA
21、OA | | |cos AOC| | |cos COBOC OA OC OB | | |cos AOB25OB OA 720202572.方法三 如图建立平面直角坐标系，由(1)知， B， C 的坐标分别为 B(4,3)， C ，(75， 245)又 D(5,0)，则 ， (9,3)，可得 72.DC (325， 245) DB DC DB 22.(15 分)如图，在 ABC 中， .AM 34AB 14AC 12(1)求 ABM 与 ABC 的面积之比；(2)若 N 为 AB 中点， 与 交于点 P，且 x y (x， yR)，求 x y 的值AM CN AP AB AC 解 (1)在 AB
22、C 中， ，AM 34AB 14AC 4 3 ，3( ) ，AM AB AC AM AB AC AM 即 3 ，即点 M 是线段 BC 靠近 B 点的四等分点故 ABM 与 ABC 的面积之比为 .BM MC 14(2)因为 ， ，AM 34AB 14AC AM AP x y (x， yR)，所以 x3 y, AP AB AC 因为 N 为 AB 的中点，所以 x y y ，NP AP AN AB AC 12AB (x 12)AB AC x y x ( y1) ，CP AP AC AB AC AC AB AC 因为 ，所以 (y1) xy，NP CP (x 12)即 2x y1，又 x3 y，所以 x ， y ，所以 x y .37 17 4713
