1、1课时跟踪检测（七） 基本不等式 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知 f(x) ，则 f(x)在 上的最小值为( )x2 2x 1x 12， 3A. B. C1 D012 43解析：选 D 因为 x ，所以 f(x) x 2220，当且仅当12， 3 x2 2x 1x 1xx ，即 x1 时取等号1x所以 f(x)在 上的最小值为 0.12， 32当 x0 时， f(x) 的最大值为( )2xx2 1A B112C2 D4解析：选 B x0， f(x) 1，2xx2 1 2x 1x 22当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x3(2018哈尔滨二模)若 2x2 y1，则 x y 的取值范围是(
2、 )A0,2 B2,0C2，) D(，2解析：选 D 由 12 x2 y2 ，变形为 2x y ，即 x y2，当且仅当2x2y14x y 时取等号，故 x y 的取值范围是(，24(2018宁波模拟)已知实数 x， y 均大于零，且 x2 y4，则 log2xlog 2y 的最大值为_解析：因为 log2xlog 2ylog 22xy1log 2 21211，(x 2y2 )当且仅当 x2 y2，即 x2， y1 时等号成立，所以 log2xlog 2y 的最大值为 1.答案：15若正数 x， y 满足 4x29 y23 xy30，则 xy 的最大值为_2解析：因为 x0， y0，所以 30
3、4 x29 y23 xy2 3 xy15 xy，36x2y2所以 xy2，当且仅当 4x29 y2，即 x ， y 时等号成立3233故 xy 的最大值为 2.答案：2 二保高考，全练题型做到高考达标1若 a， bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )A a2 b22 ab B a b2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab解析：选 D ab0， a， b 是同号， 2 2，当且仅当 a b 时等号ba ab baab成立故选 D.2已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m b ， n a ，则 m n 的最小值1a 1b是( )A3 B4C5 D6解析：
4、选 B 由题意知 ab1， m b 2 b， n a 2 a， m n1a 1b2(a b)4 4，当且仅当 a b1 时取等号ab3(2018义乌六校统测) a， bR，且 2a3 b2，则 4a8 b的最小值是( )A2 B46 2C2 D42解析：选 D 4 a8 b2 2a2 3b2 4，当且仅当 a ， b 时取等号，最22a 3b12 13小值为 4.4把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A. cm2 B4 cm 2323C3 cm2 D2 cm22 3解析：选 D 设两段长分别为 x cm，(12 x)cm，则 S
5、 2 234(x3) 34(12 x3 ) 3363 2 ，当且仅当 x12 x，即 x6 时取等号故x2 12 x 2336 x 12 x 22 3两个正三角形面积之和的最小值为 2 cm2.35若实数 a， b 满足 ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B22C2 D42解析：选 C 因为 ，所以 a0， b0，1a 2b ab由 2 2 ，ab1a 2b 1a2b 2ab得 ab2 (当且仅当 b2 a 时取等号)，2所以 ab 的最小值为 2 .26已知 a0， b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为( )3a 1b ma 3bA9 B12C18 D24解析：选 B
6、由 ，3a 1b ma 3b得 m( a3 b) 6.(3a 1b) 9ba ab又 62 612，9ba ab 9当且仅当 ，即 a3 b 时等号成立，9ba ab m12， m 的最大值为 12.7(2018金华十校联考)已知实数 x， y， z 满足Error!则 xyz 的最小值为_解析：由 xy2 z1，得 z ，1 xy2所以 5 x2 y2 22| xy| ，(1 xy2 ) 1 xy 24即Error! 或Error!解得 0 xy32 或 52 xy0，7 11所以 xyz xy 2 .1 xy2 12(xy 12) 18综上，知当 xy52 时， xyz 取得最小值 9 3
7、2.11 11答案：9 32118已知函数 f(x)log a(x4)1( a0 且 a1)的图象恒过定点 A，若直线4 2( m0， n0)也经过点 A，则 3m n 的最小值为_xm yn解析：由题意，函数 f(x)log a(x4)1( a0 且 a1)，令 x41，可得 x3，代入可得 y1，图象恒过定点 A(3，1)直线 2( m0， n0)也经过点 A，xm yn 2，即 1.3m 1n 32m 12n3 m n(3 m n) 2 58，当且仅当 m n2 时，(32m 12n) 92 12 3n2m 3m2n 3n2m3m2n取等号，3 m n 的最小值为 8.答案：89(1)当
8、 x 时，求函数 y x 的最大值；32 82x 3(2)已知 a b0，求 a2 的最小值16b a b解：(1) y (2x3) 12 82x 3 32 .(3 2x2 83 2x) 32当 x 时，有 32 x0，32 2 4，3 2x2 83 2x 3 2x2 83 2x当且仅当 ，3 2x2 83 2x即 x 时取等号12于是 y 4 ，故函数的最大值为 .32 52 52(2) b(a b) 2 ，(b a b2 ) a24 a2 a2 16.16b a b 64a2当且仅当Error!即Error! 时取等号故 a2 的最小值为 16.16b a b510已知 x0， y0，且
9、2x8 y xy0，求：(1)xy 的最小值；(2)x y 的最小值解：(1)由 2x8 y xy0，得 1，8x 2y又 x0， y0，则 1 2 ，得 xy64，8x 2y 8x2y 8xy当且仅当 x16， y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8 y xy0，得 1，8x 2y则 x y (x y)10 (8x 2y) 2xy 8yx102 18.2xy8yx当且仅当 x12 且 y6 时等号成立，所以 x y 的最小值为 18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2017浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数 x， y 满足2x24 xy2 y2 x2y29，则
10、 2 (x y) xy 的最大值为_2解析：由题意，得 2(x y)2( xy)29，记 x y m， xy n， mn0，则 2m2 n29，令Error!( x y)2 x2 y22 xy4 xy， m24 n，即 212cos ，(32sin )sin 2 cos ，831cos 2 cos ，解得 0cos ，83 13 sin 1.223故 2 (x y) xy2 m n6sin 3cos 3 sin( ) ，2 2 5 (其 中 tan 12)当 sin ，cos 时，2 (x y) xy 取得最大值，最大值为 4 1.223 13 2 26答案：4 122(2018台州三区适应性
11、测试)设 a b c0，若不等式 log ab2 018log bc2 018dlog ac2 018 对所有满足题设的 a， b， c 均成立，则实数 d 的最大值是_解析：不等式 log ab2 018log bc2 018 dlog ac2 018 lg 2 018lg a lg b lg 2 018lg b lg c d ，lg 2 018lg a lg c即 ，1lg a lg b 1lg b lg c dlg a lg c又 a b c0，故 lg alg blg c，即 d (lg alg c)(1lg a lg b 1lg b lg c) (lg alg blg blg c)(1lg a lg b 1lg b lg c)2 .lg b lg clg a lg b lg a lg blg b lg c又 2 2，lg b lg clg a lg b lg a lg blg b lg c lg b lg clg a lg blg a lg blg b lg c当且仅当 ，即 ac b2时取等号，lg b lg clg a lg b lg a lg blg b lg c故 d4，即 dmax4.答案：47
