1、1第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义2.理解全称量词与存在量词的意义3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.突破点一 简单的逻辑联结词基 本 知 识 命题 p q、 p q、綈 p 的真假判定p q p q p q 綈 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真简记为“ p q 两真才真，一假则假； p q 一真则真，两假才假；綈 p 与 p 真假相反”基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若命题 p q 为假命题，则命题 p， q 都是假命
2、题( )(2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题( )(3)若命题 p， q 至少有一个是真命题，则 p q 是真命题( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知全集 UR， AU， BU，如果命题 p： ( A B)，则命题“綈 p”是3_答案： ( UA)( UB)32 “p q”为真是“ p q”为真的_条件(填“充要” “充分不必要” “必要不充分”或“既不充分也不必要”)答案：必要不充分23已知 p： x2 x6， q： xZ.若“ p q”“綈 q”都是假命题，则 x 的值组成的集合为_解析：因为“ p q”为假， “綈 q”为假，所以 q 为真， p 为假故Error!即
3、Error!因此， x 的值可以是1,0,1,2.答案：1,0,1,2全 析 考 法 考法一 含逻辑联结词复合命题的真假判断 例 1 (2019唐山五校联考)已知命题 p：“ ab”是“2 a2b”的充要条件；命题q： xR ，| x 1| x，则( )A(綈 p) q 为真命题 B p(綈 q)为假命题C p q 为真命题 D p q 为真命题解析 由题意可知命题 p 是真命题因为| x1| x 的解集为空集，所以命题 q 是假命题，所以 p q 为真命题，故选 D.答案 D方法技巧判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤(1)定结构：确定复合命题的构成形式(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性(
4、3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假 考法二 根据复合命题的真假求参数 例 2 (2019山西五校联考)已知 p：关于 x 的不等式 ax1(a0 且 a1)的解集是x|x0， q：函数 ylg( ax2 x a)的定义域为 R，如果 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数 a 的取值范围为_解析 若关于 x 的不等式 ax1(a0 且 a1)的解集为 x|x0，则 a1；若函数ylg( ax2 x a)的定义域为 R，则Error!解得 a .若 p q 为真命题， p q 为假命题，则12p， q 一真一假，则Error!或Error!即 0； q：“ x1”是“ x2”的充分不
5、考 法 一 必要条件，则下列命题为真命题的是( )A p q B(綈 p)(綈 q)C(綈 p) q D p(綈 q)解析：选 D 由指数函数的性质知命题 p 为真命题易知 x1 是 x2 的必要不充分条件，所以命题 q 是假命题由复合命题真值表可知 p(綈 q)是真命题，故选 D.2. 已知命题 p：函数 f(x)2 ax2 x1 在(0,1)内恰有一个零点；命题 q：函考 法 二 数 y x2 a在(0，)上是减函数若 p(綈 q)为真命题，则实数 a 的取值范围是( )A(1，) B(，2C(1,2 D(，1(2，)解析：选 C 对于命题 p，令 f(0)f(1)1；对于命题q，令 2
6、a2，故綈 q 对应的 a 的取值范围是(，2因为 p(綈 q)为真命题，所以实数 a 的取值范围是(1,2故选 C.3. 已知 p：若数列 an的前 n 项和 Sn n2 m，则数列 an是等差数列，当綈考 法 二 p 是假命题时，则实数 m 的值为_解析：由于綈 p 是假命题，所以 p 是真命题由 Sn n2 m，得 anError!所以 1 m211，解得 m0.答案：0突破点二 全称量词与存在量词基 本 知 识 1全称量词和存在量词量词名称 常见量词 符号表示全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 2.全称命题和特称
7、命题名称形式 全称命题 特称命题4结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立简记 x M， p(x) x0 M， p(x0)否定 x0 M，綈 p(x0) x M，綈 p(x)基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是 180”是全称命题( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1(2019东北育才检测)已知命题 p： xR，e x x10 ，则綈 p 是_答案： x0R， ex0 x0102命题 p： x0
8、R， x 2 x050， 0”的否定是( )xx 1A x00 ， 0 x0x0 15B x00,0 x01C x0， 0 xx 1D x0，使得 ln x0”的否定为( )A x0，均有 ln x0 B x0，均有 ln x0C x0，均有 ln x0，均有 ln x0解析 (1) 0， x1，xx 1 0 的否定是 0 x1，xx 1命题的否定是“ x00,0 x01” 故选 B.(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“ x0，使得 ln x0”的否定为：x0，均有 ln x0.故选 A.答案 (1)B (2)A方法技巧全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词
9、，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可提醒 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定 考法二 全(特)称命题的真假判断 例 2 (2019西安质检)下列命题中，真命题是( )A x0R ，sin 2 cos 2 (x03) (x03) 13B x(0，)，sin xcos xC x0R ， x x0220D x(0，)，e xx1解析 xR，均有 sin2 cos 2 1，故 A 是假命题；(x3) (x3)当 x 时，sin xcos x，故 B 是假命题；(0， 4方程 x2 x20 对应的判别式 1
10、80 恒成立，则 f(x)为增函数，故 f(x)f(0)0，即 x(0，)，e xx1. 故选 D.答案 D方法技巧 全(特)称命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值x x0，使 p(x0)不成立即可特称命题要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个x x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题考法三 根据全(特)称命题的真假求参数 例 3 (2019长沙模拟)已知命题“ xR， ax24 x 10”是假命题，
11、则实数 a 的取值范围是( )A(4，) B(0,4C(，4 D0,4)解析 当原命题为真命题时， a0 且 4，故当原命题为假命题时，a4.故选 C.答案 C方法技巧根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围 集 训 冲 关 1. 命题“ xR， nN *，使得 nx2”的否定形式是( )考 法 一 A xR ， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C xR ， nN *
12、，使得 n x2D xR， nN *，使得 n x2解析：选 C 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“ xR， nN *，使得 nx2”7的否定是“ xR ， nN *，使得 n x2”故选 C.2. 下列命题中的假命题是( )考 法 二 A x0R ，lg x00 B x0R，tan x00C xR,3 x0 D xR， x20解析：选 D 当 x01 时，lg x00，当 x00 时，tan x00，因此 x01，lg x00； x00 ，tan x00； xR,3 x0； xR， x20 ，所以 D 为假命题故选 D.3. 已知命题 p： x0R，log 2(3x01)0，则( )考
13、法 一 、 二 A p 是假命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0B p 是假命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0C p 是真命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0D p 是真命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0解析：选 B 3 x0，3 x11，则 log2(3x1)0， p 是假命题，綈p： xR，log 2(3x1)0.故应选 B.4. 已知命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，则实数 a 的取值范围考 法 三 14为( )A(，0) B0,4C4，) D(0,4)解析：选 D 因为命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，所以
14、其否定为14“xR,4 x2( a2) x 0”是真命题，则 ( a2) 244 a24 a8 x，则命题 p 的否定为( )A綈 p： x(1，)， x2168 xB綈 p： x(1，)， x216 .则201a1b下列为真命题的是( )A p q B p(綈 q)C(綈 p) q D(綈 p)(綈 q)解析：选 B 因为 x2 x1 2 0，所以 p 为真命题，则綈 p 为假命题；当(x12) 348a2， b1 时， x3”的否定是“ x0(0,2)，3 x0 x ”；30“若 ，则 cos ”的否命题是“若 ，则 cos ”； 3 12 3 12 p q 是真命题，则命题 p， q 一
15、真一假；“函数 y2 x m1 有零点”是“函数 ylog mx 在(0，)上为减函数”的充要条件其中正确说法的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 B 对于，根据全称命题的否定，可知正确；对于，原命题的否命题为“若 ，则 cos ”，所以正确；对于，若 p q 是真命题，则命题 p， q 至 3 12少有一个是真命题，故错误；对于，由函数 y2 x m1 有零点，得 1 m2 x0，解得 m0,2x a0.若“綈 p”和“ p q”都是假命题，则实数 a 的取值范围是( )A(，2)(1，) B(2,1C(1,2) D(1，)解析：选 C 方程 x2 ax10 无实根等价于 a240,2
16、x a0等价于 ax1” ，则命题 p 可写为x_解析：因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可答案： x0(0 ，)， x01x01012已知命题 p： x24 x30， q： xZ，且“ p q”与“綈 q”同时为假命题，则x_.解析：若 p 为真，则 x1 或 x3，因为“綈 q”为假，则 q 为真，即 xZ，又因为“ p q”为假，所以 p 为假，故30 成立；命题q：关于 x 的方程 x2 x a0 有实数根，若 p q 为真，则 a 的取值范围是_解析：当 p 为真命题时，对任意实数 x 都有 ax2 ax10 成立 a0 或Error!0 a1，綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，求实数 a 的(23)取值范围解：由11，得 x a0，解得 x a，所以綈 q： x a，设集合x|x12或 x 4 (23)B x|x a又綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，所以 B A，所以 a4，解得a4，所以实数 a 的取值范围是(，411
