1、1第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1命题 p q， p q，綈 p 的真假判断 p q p q p q 綈 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真2全称量词与存在量词量词名称 常见量词 表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 3全称命题与特称命题命题名称 命题结构 命题简记全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 x M， p(x)特称命题 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 x0 M， p(x0)4含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定 x M， p(x
2、) x0 M，綈 p(x0)x0 M， p(x0) x M，綈 p(x)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀： p q见真即真， p q见假即假， p 与綈p真假相反“p q”“p 且 q”， “且”的数学含义是几个条件同时满足， “且”在集合中解释为“交集” “p q”“p 或 q”， “或”的数学含义有三层意思：要么只是 p，要么只是 q，要么是 p 和 q，即两者中至少要有一个 “或”在集合中的解释为“并集” “綈 p”“非 p”， “非”的含义有四条：“非 p”只否定 p 的结论； p 与“非 p”的真假必须相反；“非 p”必须包含 p 的所有对立面；“非 p”必须使用否定词语 “非”在集
3、合中的解释为“补集”.2区别一般命题的否定与全(特)称命题的否定，关键在于其否定的对象是不同的全(特)称命题否定的对象也有量词小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)“全等三角形的面积相等”是特称命题( )(2)若命题 p q 为假命题，则命题 p， q 都是假命题( )(3)“p q”的否定是“(綈 p)(綈 q)”；“ p q”的否定是“(綈 p)(綈 q)”( )(4)若命题 p， q 至少有一个是真命题，则 p q 是真命题( )答案：(1) (2) (3) (4)二、选填题1若命题 p：对任意的 xR，都有 x3 x210，则綈 p 为( )A不存在 x0R，使得 x
4、 x 1030 20B存在 x0R，使得 x x 1030 20C对任意的 xR，都有 x3 x210D存在 x0R，使得 x x 1030 20解析：选 D 命题 p：对任意的 xR，都有 x3 x210 的否定綈 p：存在 x0R，使得 x x 10.故选 D.30 202下列命题中的假命题是( )A x0R ，log 2x00 B xR， x20C x0R ，cos x01 D xR,2 x0解析：选 B 对于 A，令 x1，成立；对于 B， x0 时，不成立；对于 C，令 x0，成立；对于 D，根据指数函数的性质知成立故选 B.3已知命题 p：若 xy，则 x y；命题 q：若 ，则
5、x y.在命题1x1y p q； p q； p(綈 q)；(綈 p) q 中，真命题是( )A BC D解析：选 C 由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故 p q 为假命题； p q 为真命题；綈 q 为真命题，则 p(綈 q)为真命题；綈 p 为假命题，则(綈 p) q 为假命题故是真命题4命题“正方形都是矩形”的否定是_答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形5已知命题 p：“ x0,1 ， ae x”；命题 q：“ x0R，使得 x 4 x0 a0” 若20命题“ p q”是真命题，则实数 a 的取值范围为_3解析：若命题“ p q”是真命题，那么命题 p， q
6、 都是真命题由 x0,1， ae x，得 ae ；由 x0R ，使 x 4 x0 a0，知 164 a0， a4，因此 e a4.20则实数 a 的取值范围为e,4答案：e,4考点一师生共研过关 含有逻辑联结词的命题真假判断典例精析(1)设 a， b， c 是非零向量已知命题 p：若 ab0， bc0，则 ac0；命题q：若 a b， b c，则 a c.则下列命题中真命题是( )A p q B p qC(綈 p)(綈 q) D p(綈 q)(2)已知命题 p1：函数 y2 x2 x在 R 上为增函数，p2：函数 y2 x2 x在 R 上为减函数，则在命题 q1： p1 p2， q2： p1
7、p2， q3：(綈 p1) p2和 q4： p1(綈 p2)中，真命题是( )A q1， q3 B q2， q3C q1， q4 D q2， q4解析 (1)由题意知命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，所以 p q 为真命题故选A.(2) y2 x在 R 上是增函数， y2 x在 R 上是减函数， y2 x2 x在 R 上是增函数， p1：函数 y2 x2 x在 R 上为增函数是真命题p2：函数 y2 x2 x在 R 上为减函数是假命题，故 q1： p1 p2是真命题， q2： p1 p2是假命题， q3：(綈 p1) p2是假命题，q4： p1(綈 p2)是真命题故真命题是 q1， q4
8、，故选 C.答案 (1)A (2)C解题技法判断含有逻辑联结词命题真假的 3 个步骤4过关训练(2019荆州调研)已知命题 p：方程 x22 ax10 有两个实数根；命题 q：函数f(x) x 的最小值为 4.给出下列命题： p q； p q； p(綈 q)；(綈 p)(綈 q)，4x则其中真命题的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 在方程 x22 ax10 中，由于 4 a240，所以方程 x22 ax10有两个实数根，即命题 p 是真命题；当 x0 时， f(x) x 的值为负值，故命题 q 为假命4x题所以 p q， p(綈 q)，(綈 p)(綈 q)是真命题，故选 C.考点二
9、师生共研过关 全(特)称命题的否定及真假判断典例精析(1)命题“ nN *， f(n)N *且 f(n) n”的否定形式是( )A nN *， f(n)N*且 f(n)nB nN *， f(n)N*或 f(n)nC n0N *， f(n0)N*且 f(n0)n0D n0N *， f(n0)N*或 f(n0)n0(2)下列四个命题：p1： x0(0， )， x0 x0；(12) (13)p2： x0(0,1) ，log x0log x0；12 13p3： x(0，)， xlog x；(12) 12p4： x ， xlog x.(0，13) (12) 13其中的真命题是( )A p1， p3 B
10、p1， p4C p2， p3 D p2， p4解析 (1)“ f(n)N *且 f(n) n”的否定为“ f(n)N*或 f(n)n”，全称命题的否定为特称命题，故选 D.(2)对于 p1，由幂函数的单调性知当 x(0，)时，总有 x x成立，故 p1是假(12) (13)命题；对于 p2，当 x0 时，有 1log log log 成立，故 p2是真命题；对于 p3，12 1212 1313 13125结合指数函数 y x与对数函数 ylog x 在(0，)上的图象，可以判断 p3是假命题；(12) 12对于 p4，结合指数函数 y x与对数函数 ylog x 在 上的图象可以判断 p4是真
11、命(12) 13 (0， 13)题答案 (1)D (2)D解题技法1全称命题与特称命题真假判断的方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二真 所有对象使命题真 否定为假全称命题假 存在一个对象使命题假 否定为真真 存在一个对象使命题真 否定为假特称命题假 所有对象使命题假 否定为真2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2)否定结论：对原命题的结论进行否定过关训练1已知命题 p： x0 ，使得 cos x0 x0，则綈 p 为( )(0， 2)A x0 ，使得 cos x0x0(0， 2)B x0 ，使得 cos
12、 x0 x0(0， 2)C x ，总有 cos xx(0， 2)D x ，总有 cos x x(0， 2)解析：选 C 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x x”的否定是“cos xx”故选 C.2(2019芜湖、马鞍山联考)已知命题 p： x0R， x02lg x0，命题q： xR，e xx，则( )A命题 p q 是假命题 B命题 p q 是真命题C命题 p(綈 q)是真命题 D命题 p(綈 q)是假命题解析：选 B 显然，当 x10 时， x2lg x 成立，所以命题 p 为真命题设 f(x)e x x，则 f( x)e x1，当 x0 时， f( x)0，当 x0
13、 时， f( x)0，所以 f(x)6 f(0)10，所以 xR，e xx，所以命题 q 为真命题故命题 p q 是真命题，故选 B.考点三师生共研过关 根据命题的真假求参数的取值范围典例精析已知 p：存在 x0R， mx 10， q：任意 xR， x2 mx10，若 p 或 q 为假命题，20求实数 m 的取值范围解 依题意知 p， q 均为假命题，当 p 为假命题时， mx210 恒成立，则有 m0；当 q 为真命题时，则有 m240，解得2 m2.因此由 p， q 均为假命题得Error!即 m2.所以实数 m 的取值范围为2，)变 式 发 散 1(变条件)若本例条件中的“ p 或 q
14、为假命题”变为“ p 且 q 为真命题” ，其他条件不变，则实数 m 的取值范围为_解析：依题意，当 p 为真命题时，有 m0；当 q 为真命题时，有2 m2，由Error!可得2 m0.所以实数 m 的取值范围为(2,0)答案：(2,0)2(变条件)若本例中的条件 q 变为：存在 x0R， x mx010，其他条件不变，则20实数 m 的取值范围为_解析：依题意，当 q 是真命题时， m240，所以 m2 或 m2.由Error!得 0 m2，所以 m 的取值范围是0,2答案：0,2解题技法根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或
15、有解问题解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围过关训练1(2019福建三校联考)若命题“ x0R，使得 3x 2 ax010”是假命题，则实20数 a 的取值范围是( )A( ， )3 37B(， ，)3 3C ， 3 3D(， )( ，)3 3解析：选 C 命题“ x0R，使得 3x 2 ax010”是假命题，即20“xR,3 x22 ax10”是真命题，故 4 a2120 ，解得 a .故选 C.3 32已知命题 p：关于 x 的不等式 ax1(a0， a1)的解集是 x|x0，命题 q：函数yl
16、g( ax2 x a)的定义域为 R，如果 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数 a 的取值范围为_解析：由关于 x 的不等式 ax1(a0， a1)的解集是 x|x0，知 0 a1；由函数 ylg( ax2 x a)的定义域为 R，知不等式 ax2 x a0 的解集为 R，则Error!解得 a .12因为 p q 为真命题， p q 为假命题，所以 p 和 q 一真一假，即“ p 假 q 真”或“ p 真 q 假” ，故Error!或Error!解得 a1 或 0 a ，12故实数 a 的取值范围是 1，)(0，12答案： 1，)(0，12课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1(
17、2019河南质量监测)已知命题 p： x(1，)， x2168 x，则命题 p 的否定为( )A綈 p： x(1，)， x2168 xB綈 p： x(1，)， x2168 xC綈 p： x0(1 ，)， x 168 x020D綈 p： x0(1 ，)， x 168 x020解析：选 C 全称命题的否定为特称命题，故命题 p 的否定綈 p： x0(1，)，x 168 x0.故选 C.202已知命题 p： x0R，log 2(3x01)0，则( )A p 是假命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0B p 是假命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)08C p 是真命题；綈 p： xR
18、，log 2(3x1)0D p 是真命题；綈 p： xR ，log 2(3x1)0解析：选 B 3 x0，3 x11，则 log2(3x1)0， p 是假命题，綈p： xR，log 2(3x1)0.故选 B.3下列命题中为假命题的是( )A xR，e x0 B xN， x20C x0R ，ln x01 D x0N *，sin 1 x02解析：选 B 对于选项 A，由函数 ye x的图象可知， xR ，e x0，故选项 A 为真命题；对于选项 B，当 x0 时， x20，故选项 B 为假命题；对于选项 C，当 x0 时，1eln 11，故选项 C 为真命题；对于选项 D，当 x01 时，sin
19、1，故选项 D 为真命1e 2题综上知选 B.4命题 p：若 sin xsin y，则 xy；命题 q： x2 y22 xy.下列命题为假命题的是( )A p 或 q B p 且 qC q D綈 p解析：选 B 当 x ， y 时，满足 sin xsin y，但 x y，命题 p 是假命题， 2显然命题 q 是真命题 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题， q 是真命题，綈 p 是真命题故选 B.5已知命题 p： x0N，使得 x x ；命题 q： a， bR，若| a1| b2|，则30 20a b1.下列命题为真命题的是( )A p B綈 qC p q D p q解析：选 B 由
20、x3 x2，得 x2(x1)0，解得 x0 或 0 x1，在这个范围内没有自然数，所以命题 p 为假命题；若| a1| b2|，则 a1 b2 或 a1 b2，即a b1 或 a b3，故命题 q 为假命题故綈 q 为真命题， p q 与 p q 为假命题故选 B.6已知命题 p：对任意 xR，总有 2x3 x； q：“ x1”是“ x2”的充分不必要条件下列命题为真命题的是( )A p q B(綈 p)(綈 q)C(綈 p) q D p(綈 q)解析：选 B 由 203 0知， p 为假命题；命题 q：“ x1”不能推出“ x2”，但是9“x2”能推出“ x1”，所以“ x1”是“ x2”的
21、必要不充分条件，故 q 为假命题所以(綈 p)(綈 q)为真命题故选 B.7(2019佛山一模)已知命题 p： x0R，使 sin x0 ；命题 q： xR，都有52x2 x10，给出下列结论：命题 p q 是真命题；命题 p(綈 q)是假命题；命题(綈 p) q 是真命题；命题(綈 p)(綈 q)是假命题其中正确的结论是( )A BC D解析：选 A 1，命题 p 是假命题 x2 x1 2 0，命题 q52 (x 12) 34 34是真命题由真值表可以判断 p q 为假， p(綈 q)为假，(綈 p) q 为真，(綈 p)(綈 q)为真，所以只有正确，故选 A.8(2019南昌模拟)设命题
22、p： x0(0，)， x0 3，命题 q： x(2，)，1x0x22x，则下列命题为真命题的是( )A p(綈 q) B(綈 p) qC p q D(綈 p) q解析：选 A 命题 p： x0(0，)， x0 3，当 x03 时，3 3，命题为1x0 13真命题 q： x(2，) ， x22x，当 x4 时，两式相等，命题为假则 p(綈 q)为真，故选 A.9(2019太原四校联考)给出下列三个命题：p1：函数 y ax x(a0，且 a1)在 R 上为增函数；p2： a0， b0R ， a a0b0 b 0；20 20p3：cos cos 成立的一个充分不必要条件是 2 k (kZ)则下列命
23、题中的真命题为( )A p1 p2 B p2 p3C p1(綈 p3) D(綈 p2) p3解析：选 D 对于 p1，令 f(x) ax x(a0，且 a1)，当 a 时， f(0)12 001， f(1) 111，所以 p1为假命题；对于 p2，因为 a2 ab b2(12) (12)102 b20，所以 p2为假命题；对于 p3，因为 cos cos 2 k (kZ)，(a12b) 34所以 p3是真命题所以(綈 p2) p3为真命题，故选 D.10若命题“对 xR， kx2 kx10”是真命题，则 k 的取值范围是_解析：“对 xR， kx2 kx 10”是真命题，当 k0 时，则有10
24、；当 k0 时，则有 k0 且 ( k)24 k(1) k24 k0，解得4 k0，综上所述，实数 k的取值范围是(4,0答案：(4,0二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知命题 p：所有的指数函数都是单调函数，则綈 p 为( )A所有的指数函数都不是单调函数B所有的单调函数都不是指数函数C存在一个指数函数，它不是单调函数D存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选 C 命题 p：所有的指数函数都是单调函数，则綈 p：存在一个指数函数，它不是单调函数2若 x0 ，使得 2x x 010 成立是假命题，则实数 的取值范围是( )12， 2 20A(，2 B(2 ，32 2C. D322，92
25、解析：选 A 因为 x0 ，使得 2x x 010 成立是假命题，所以12， 2 20x ，使得 2x2 x 10 恒成立是真命题，即 x ， 2 x 恒成立是真12， 2 12， 2 1x命题，令 f(x)2 x ，则 f( x)2 ，当 x 时， f( x)0，当 x1x 1x2 12， 22)时， f( x)0，所以 f(x) f 2 ，则 2 .(22， 2 (22) 2 23已知命题 p： xR，不等式 ax22 x10 的解集为空集；命题 q： f(x)2(2 a5) x在 R 上满足 f( x)0，若命题 p(綈 q)是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 xR，不等式
26、ax22 x10 的解集为空集，所以当 a0 时，不满足2题意；当 a0 时，必须满足Error!解得 a2.由 f(x)(2 a5) x在 R 上满足 f( x)0，可11得函数 f(x)在 R 上单调递减，则 02 a51，解得 a3.若命题 p(綈 q)是真命题，52则 p 为真命题， q 为假命题，所以Error!解得 2 a 或 a3，则实数 a 的取值范围是523，)2，52答案： 3，)2，52(二)素养专练学会更学通4逻辑推理“ p q 为真”是“綈 p 为假”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 綈 p 为假， p 为真，“
27、 p q 为真” ，反之不成立，可能 q 为真， p为假，綈 p 为真“ p q 为真”是“綈 p 为假”的必要不充分条件故选 B.5数学抽象在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第二次射击击中目标” ，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A(綈 p)(綈 q)为真命题 B p(綈 q)为真命题C(綈 p)(綈 q)为真命题 D p q 为真命题解析：选 A 命题 p 是“第一次射击击中目标” ，命题 q 是“第二次射击击中目标” ，则命题綈 p 是“第一次射击没击中目标” ，命题綈 q 是“第二次射击没击中目标”
28、，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(綈 p)(綈 q)为真命题，故选 A.6数学运算给定命题 p：对任意实数 x 都有 ax2 ax10 成立；命题 q：关于 x 的方程 x2 x a0 有实数根如果 p q 为真命题， p q 为假命题，求实数 a 的取值范围解：当 p 为真命题时， “对任意实数 x 都有 ax2 ax10 成立” a0 或Error!0 a 4.当 q 为真命题时， “关于 x 的方程 x2 x a0 有实数根” 14 a0， a .14 p q 为真命题， p q 为假命题， p， q 一真一假若 p 真 q 假，则 0 a4，且 a ， a4；14 14若 p 假 q 真，则Error!即 a0.故实数 a 的取值范围为(，0) .(14， 4)12
