1、1第二节函数的单调性与最值一、基础知识批注理解深一点1增函数、减函数定义：设函数 f(x)的定义域为 I：(1)增函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数增(减)函数定义中的 x1， x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2单调性、单调区间若函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y f(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不
2、能用不等式表示(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接3函数的最值设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 x I，都有 f(x) M 或 f(x) M.(2)存在 x0 I，使得 f(x0) M.那么，我们称 M 是函数 y f(x)的最大值或最小值函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值二、常用结论汇总规律多一点2在公共定义域内：(1)函数 f(x)单调递增， g(x)单调递增，则 f
3、(x) g(x)是增函数；(2)函数 f(x)单调递减， g(x)单调递减，则 f(x) g(x)是减函数；(3)函数 f(x)单调递增， g(x)单调递减，则 f(x) g(x)是增函数；(4)函数 f(x)单调递减， g(x)单调递增，则 f(x) g(x)是减函数；(5)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0)在公共定义域内与 y f(x)， y 的单调性相反；1f x(7)复合函数 y fg(x)的单调性与 y f(u)和 u g(x)的单调性有关简记：“同增异减” 三、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)函数 y 的单
4、调递减区间是(，0)(0，)( )1x(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性( )(3)若定义在 R 上的函数 f(x)有 f(1) B m D m0， x110 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增解题技法 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元 作差 变形 判断符号 得出结论(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正
5、负确定函数的单调性及区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定题组训练1下列函数中，满足“ x1， x2(0，)且 x1 x2，( x1 x2)f(x1) f(x2)0)在(0，)上的单调性ax解：设 x1， x2是任意两个正数，且 x10，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0， 上是减函数；a当 x1a， x1 x20)在(0， 上是减函数，在 ，)上是增函ax a a数考 点 二 求 函 数 的 值 域 最 值 典例 (1)(2019深圳调研)函数 y| x1| x2|的值域为
6、_(2)若函数 f(x) b(a0)在 上的值域为 ，则ax 12， 2 12， 2a_， b_.(3)函数 f(x)Error!的最大值为_解析 (1)图象法函数 yError!作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数 y| x1| x2|的值域为3，)(2)单调性法 f(x) b(a0)在 上是增函数，ax 12， 2 f(x)min f ， f(x)max f(2)2.(12) 126即Error!解得 a1， b .52(3)当 x0 时， f(x) x24 x( x2) 24，而2(，0，此时 f(x)在x2 处取得最大值，且 f(2)4；当 x0 时， f(x)sin x，此时 f
7、(x)在区间(0，)上的最大值为 1.综上所述，函数 f(x)的最大值为 4.答案 (1)3，) (2)1 (3)452解题技法 求函数最值的 5 种常用方法单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值口诀归纳单调性，左边看，上坡递增下坡减；函数值，若有界，上界下界值域外提醒 (1)求函数的最值时，应先
8、确定函数的定义域(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值题组训练1函数 f(x) 的值域为_x2 4x解析：当 x0 时， f(x) x 4，4x当且仅当 x2 时取等号；当 x0x2 2x ax恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：对任意 x1，)， f(x)0 恒成立等价于 x22 x a0 在 x1，)上恒成立，即 a x22 x 在 x1，)上恒成立又函数 y x22 x 在1，)上单调递减，( x22 x)max3，故 a3，又 a1，3 f(3) f(2) B f() f(2) f(3)C f() f(3)
9、f(2)，即 f() f(3) f(2)答案 A解题技法 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解考法(二) 解函数不等式典例 设函数 f(x)Error!若 f(a1) f(2a1)，则实数 a 的取值范围是( )A(，1 B(，2C2,6 D2，)解析 易知函数 f(x)在定义域(，)上是增函数， f(a1) f(2a1)， a12 a1，解得 a2.故实数 a 的取值范围是(，2答案 B解题技法 求解含“ f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不
10、等式转化为 f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“ f”，得到一般的不等式 g(x)h(x)(或 g(x)1.函数 f(x)在(1，)上是增函数， f(x1) f(x2) x1 ax1 a2 (x2 ax2 a2)( x1 x2) 0，即 a x1x2.ax1x211， x1x2x11 时， f(x2) f(x1)(x2 x1)ab B cbaC acb D bac解析：选 D 由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函数 y f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 a f f .当 x2x11 时， f(x2)(12) (52) f(x
11、1)(x2 x1)ac.2已知函数 f(x)Error!是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A. B.14， 12) 14， 12C. D.(0，12 12， 1)解析：选 B 由对数函数的定义可得 a0，且 a1.又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 y ax2 x 的图象开口向上，14所以函数 f(x)在 R 上单调递减，故有Error!即Error!所以 a .14， 12课 时 跟 踪 检 测 A 级保大分专练1下列四个函数中，在 x(0，)上为增函数的是( )A f(x)3 x B f(x) x23 xC f(x) D f(x)| x|1x 1解析：选 C 当
12、x0 时， f(x)3 x 为减函数；当 x 时， f(x) x23 x 为减函(0，32)10数，当 x 时， f(x) x23 x 为增函数；当 x(0，)时， f(x) 为增(32， ) 1x 1函数；当 x(0，)时， f(x)| x|为减函数2若函数 f(x) ax1 在 R 上单调递减，则函数 g(x) a(x24 x3)的单调递增区间是( )A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)解析：选 B 因为 f(x) ax1 在 R 上单调递减，所以 a0，解得 m0.综上可得， m 的取值范围是(0,12已知函数 f(x)ln x x，若 f(a2 a)f(a3)，则正数 a 的取
13、值范围是_解析：因为 f(x)ln x x 在(0，)上是增函数，所以Error!解得33.又 a0，所以 a3.答案：(3，)3已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x y) f(x) f(y)1，当 x0 时， f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数;(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22 x) f(1 x)4.解：(1)令 x y0，得 f(0)1.在 R 上任取 x1x2，则 x1 x20， f(x1 x2)1.又 f(x1) f(x1 x2) x2 f(x1 x2) f(x2)1 f(x2)， 所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3， f(3)5.由 f(x22 x) f(1 x)4 得 f(x2 x1) f(3)，又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2 x13，解得 x1，故原不等式的解集为 x|x114
