1、1第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函
2、数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期并不是所有周期函数都有最小正周期，如 f(x)5.熟记常用结论1奇偶性的 5 个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f( x) f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)0， x D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值
3、时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数2周期性的 4 个常用结论设函数 y f(x)， xR， a0.(1)若 f(x a) f(x a)，则函数的周期为 2a；(2)若 f(x a) f(x)，则函数的周期为 2a；2(3)若 f(x a) ，则函数的周期为 2a；1f x(4)若 f(x a) ，则函数的周期为 2a.1f x3对称性的 3 个常用结论(1)若函数 y f(x a)是偶函数，即 f(a x) f(a x)，则函数 y f(x)的图象关于直线 x a 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x) f(x)
4、或 f( x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x a 对称；(3)若函数 y f(x b)是奇函数，即 f( x b) f(x b)0，则函数 y f(x)关于点(b,0)中心对称小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 y x2， x(0，)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数 f(x)， g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x) f(x) g(x)是偶函数( )(4)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称( )(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ， n0
5、)也是函数的周期( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)二、选填题1下列函数中为偶函数的是( )A y x2sin x B y x2cos xC y|ln x| D y2 x解析：选 B A 中函数为奇函数，B 中函数为偶函数，C 与 D 中函数均为非奇非偶函数，故选 B.2下列函数为奇函数的是( )A y B ye xxC y| x| D ye xe x解析：选 D A、B 选项中的函数为非奇非偶函数；C 选项中的函数为偶函数；D 选项中的函数为奇函数，故选 D.3若 y f(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在 y f(x)图象上的是( )A( a， f(a) B( a
6、， f(a)C( a， f( a) D( a， f( a)解析：选 B 因为( a， f(a)是函数 y f(x)图象上的点，且 y f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点( a， f( a)，即( a， f(a)一定在 y f(x)的图象上34已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，那么 a b 的值是_解析： f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数， a12 a0， a .13又 f( x) f(x)， b0， a b .13答案：135设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时， f(x)Error!则f _.(32
7、)解析： f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数， f f f 4 22121.(32) (2 12) ( 12) ( 12)答案：1考点一基础自学过关 函数奇偶性的判定题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)( x1) ；1 x1 x(2)f(x)Error!(3)f(x) ；4 x2x2(4)f(x)log a(x )(a0 且 a1)x2 1解：(1)因为 f(x)有意义，则满足 0，1 x1 x所以1 x1，所以 f(x)的定义域不关于原点对称，所以 f(x)为非奇非偶函数(2)法一：定义法当 x0 时， f(x) x22 x1， x0， f( x)( x)22( x)1 x
8、22 x1 f(x)；当 x0 时， f(x) x22 x1， x0， f( x)( x)22( x)1 x22 x1 f(x)所以 f(x)为奇函数4法二：图象法作出函数 f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数(3)因为Error!所以2 x2 且 x0，所以定义域关于原点对称又 f( x) ，4 x 2 x 2 4 x2x2所以 f( x) f(x)故函数 f(x)为偶函数(4)函数的定义域为 R，因为 f( x) f(x)log a x log a(x ) x 2 1 x2 1log a( x)log a( x)x2 1 x2 1log a( x)( x
9、)x2 1 x2 1log a(x21 x2)log a10.即 f( x) f(x)，所以 f(x)为奇函数名师微点判断函数奇偶性的 3 种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证 f( x) f(x)或其等价形式 f( x)f(x)0 是否成立(2)图象法：(3)性质法：设 f(x)， g(x)的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇提醒 分段函数奇偶性的判断，要分别从 x0 或 x0 来寻找等式 f( x) f(x)或f( x) f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相
10、同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性考点二 师生共研过关 5函数奇偶性的应用典例精析(1)(2019广州调研)已知函数 f(x) a 为奇函数，则实数 a_.2x2x 1(2)函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x) x1，则当 x0 时， f(x)_.(3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x) f(x1)，则 f(2 017) f(2 019)的值为_解析 (1)易知 f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为 f(x)为奇函数，所以f( x) f(x)，即 a a，所以 2a 2 x2 x 1 2x2x 1 2x2x 1
11、2 x2 x 1 2x2x 11，所以 a .11 2x 12(2) f(x)为奇函数， x0 时， f(x) x1，当 x0 时， x0，f(x) f( x)( x1) x1，即 x0 时， f(x) x1.(3)由题意得， g( x) f( x1)， f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数， g( x) g(x)， f( x) f(x)， f(x1) f(x1)，即 f(x1) f(x1)0. f(2 017) f(2 019) f(2 0181) f(2 0181)0.答案 (1) (2) x1 (3)012解题技法与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函
12、数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 f(x)为奇函数f( x) f(x)， f(x)为偶函数 f(x) f( x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在 x0 处有定义的奇函数 f(x)，可考虑列等式 f(0)0 求解过关训练1设 f(x) x2 g(x)， xR，若函数 f(x)为偶函数，则 g(x)的解析式可以为( )6A g(x) x3 B g(x)cos x
13、C g(x)1 x D g(x) xex解析：选 B 因为 f(x) x2 g(x)，且函数 f(x)为偶函数，所以有( x)2 g( x) x2 g(x)，即 g( x) g(x)，所以 g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项 B 中的函数为偶函数，故选 B.2设函数 f(x)Error!若 f(x)是奇函数，则 g(3)的值是( )A1 B3C3 D1解析：选 C 函数 f(x)Error! f(x)是奇函数， f(3) f(3)，log 2(13)( g(3)1)，则 g(3)3.故选 C.3若关于 x 的函数 f(x) (t0)的最大值为 a，最小值为2tx2 2tsin(x 4) x
14、2x2 cos xb，且 a b2，则 t_.解析： f(x) t ，2tx2 2tsin(x 4) x2x2 cos x tsin x x2x2 cos x设 g(x) ，则 g(x)为奇函数， g(x)max a t， g(x)min b t. g(x)tsin x x2x2 cos xmax g(x)min0， a b2 t0，即 22 t0，解得 t1.答案：1考点三师生共研过关 函数的周期性典例精析(1)已知函数 f(x)Error!如果对任意的 nN *，定义 fn(x) ，那么f2 019(2)的值为( )A0 B1C2 D3(2)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)
15、 f(x)，且当 x0,2)时， f(x)2 x x2，则 f(0) f(1) f(2) f(2 019)_.解析 (1) f1(2) f(2)1， f2(2) f(1)0， f3(2) f(0)2， fn(2)的值具有周期性，且周期为 3， f2 019(2) f3673(2) f3(2)2，故选 C.(2) f(x2) f(x)，函数 f(x)的周期 T2，7当 x0,2)时， f(x)2 x x2， f(0)0， f(1)1， f(0) f(2) f(4) f(2 018)0，f(1) f(3) f(5) f(2 019)1.故 f(0) f(1) f(2) f(2 019)1 010.
16、答案 (1)C (2)1 010解题技法函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于 x 轴的直线上，对称轴平行于 y 轴)，那么这个函数一定具有周期性口 诀 记 忆 函 数 周 期 三 类 型 ：一 类 直 接 定 义 求 ；二 类 图 象 题 中 有 ，图 象 重 复 是 破 口 ；三 类 图 见 两 对 称 ，隐 藏 周 期 别 疏 忽 .过关训练1口诀第 2 句已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x0 时， f(x) x31；当1 x
17、1 时， f( x) f(x)；当 x 时， f f ，则 f(6)等于( )12 (x 12) (x 12)A2 B1C0 D2解析：选 D 当 x 时， f f ，即周期为 1，则 f(6) f(1) f(1)12 (x 12) (x 12)(1) 312.2口诀第 3、4 句已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x) x3 x，则函数 y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为( )A6 B7C8 D9解析：选 B 当 0 x2 时，令 f(x) x3 x x(x21)0，所以 y f(x)的图象与 x轴交点的横坐标分别为 x10，
18、x21.当 2 x4 时，0 x22，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x2) f(x)，所以 f(x)( x2)( x1)( x3)，所以当 2 x4 时， y f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x32， x43.同理可得，当 4 x6 时， y f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x54， x65.8当 x76 时，也符合要求综上可知，共有 7 个交点3口诀第 5、6 句已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且当x0,1时， f(x)log 2(x1)，则下列不等式正确的是( )A f(log27) f(5) f(6)B f(log27)
19、 f(6) f(5)C f(5) f(log27) f(6)D f(5) f(6) f(log27)解析：选 C 因为奇函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 f(1 x) f(1 x)，f( x) f(x)，所以 f(2 x) f( x) f(x)， f(x4) f(x2) f(x)，所以函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(5) f(1) f(1)1， f(6) f(2) f(0)0.于是，结合题意可画出函数 f(x)在2,4上的大致图象，如图所示又2log 273，所以结合图象可知1 f(log27)0，故 f(5) f(log27) f(6)，故选 C.考点四全析
20、考法过关 函数性质的综合应用考法全析考法(一) 单调性与奇偶性综合例 1 (2018石家庄质检)已知 f(x)为奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递增， f(1)0，若 f(x1)0，则 x 的取值范围为( )A x|0 x1 或 x2 B x|x0 或 x2C x|x0 或 x3 D x|x1 或 x1解析 因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(1) f(1)0，又函数 f(x)在(0，)上单调递增，所以可作出函数 f(x)的示意图，如图，则不等式f(x1)0 可转化为1 x10 或 x11，解得 0 x1 或 x2，故选 A.答案 A考法(二) 奇偶性与周期性综合例 2 (2019赣州
21、月考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x3) f(x)若 f(2)1， f(7) a，则实数 a 的取值范围为( )A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)9解析 f(x3) f(x)， f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的函数， f(7) f(79) f(2)又函数 f(x)是偶函数， f(2) f(2)， f(7) f(2)1， a1，即 a(1，)故选 D.答案 D考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合例 3 (2019达州模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，且在1,0上单调递减，设 a f(2.8)， b f(1.6)， c f(0.5
22、)，则 a， b， c 的大小关系是( )A abc B cabC bca D acb解析 偶函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，函数的周期为 2. a f(2.8) f(0.8)， b f(1.6) f(0.4) f(0.4)， c f(0.5) f(0.5)0.80.50.4，且函数 f(x)在1,0上单调递减， acb，故选 D.答案 D规律探求看个性考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；考法(二)是已知 f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函
23、数定义域内求解；考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解找共性对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题过关训练1(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1 x) f(1 x)若 f(1)2，则 f(1) f(2) f(3) f(50)( )A50 B010C2 D50
24、解析：选 C f(x)是奇函数， f( x) f(x)， f(1 x) f(x1)由 f(1 x) f(1 x)，得 f(x1) f(x1)， f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期函数由 f(x)为奇函数得 f(0)0.又 f(1 x) f(1 x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(2) f(0)0， f(2)0.又 f(1)2， f(1)2， f(1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2) f(1) f(0)20200， f(1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50)012 f(49) f(50)
25、 f(1) f(2)202.2已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x1) f(x)，若 f(x)在1,0上单调递减，则 f(x)在1,3上是( )A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数解析：选 D 根据题意， f(x1) f(x)， f(x2) f(x1) f(x)，函数f(x)的周期是 2.又 f(x)在定义域 R 上是偶函数，在1,0上是减函数，函数 f(x)在0,1上是增函数，函数 f(x)在1,2上是减函数，在2,3上是增函数， f(x)在1,3上是先减后增的函数，故选 D.3已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足f
26、(2|a1| ) f( )，则 a 的取值范围是_2解析： f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上单调递增， f(x)在(0，)上单调递减， f( ) f( )，2 2 f(2|a1| ) f( )，2 |a1| 2 ，2 21| a1| ，即 a1 ，即 a .12 12 12 12 32答案： (12， 32)11课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1(2018天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )A y x1 B y x2C y D y x|x|1x解析：选 D 对于 A， y x1 为非奇非偶函数，不满足条件对于 B， y x2是偶函数，不满足条件对于 C，
27、 y 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件对于1xD，设 f(x) x|x|，则 f( x) x|x| f(x)，则函数为奇函数，当 x0 时，y x|x| x2，此时为增函数，当 x0 时， y x|x| x2，此时为增函数，综上，y x|x|在 R 上为增函数故选 D.2设函数 f(x)为偶函数，当 x(0，)时， f(x)log 2x，则 f( )( )2A B.12 12C2 D2解析：选 B 由已知得 f( ) f( )log 2 .故选 B.2 2 2123函数 f(x)满足 f(x1) f(x)，且当 0 x1 时， f(x)2 x(1 x)，则 f 的(52)值为( )
28、A. B.12 14C D14 12解析：选 A f(x1) f(x)， f(x2) f(x1) f(x)，即函数 f(x)的周期为 2. f f f 2 .(52) (12 2) (12) 12 (1 12) 124(2018佛山一模)已知 f(x)2 x 为奇函数， g(x) bxlog 2(4x1)为偶函数，a2x则 f(ab)( )A. B.174 52C D154 32解析：选 D 根据题意， f(x)2 x 为奇函数，则 f( x) f(x)0，即a2x12 0，解得 a1.(2 xa2 x) (2x a2x)g(x) bxlog 2(4x1)为偶函数，则 g(x) g( x)，即
29、 bxlog 2(4x1) b( x)log 2(4 x1)，解得 b1，则 ab1，所以 f(ab) f(1)2 1 .12 1 325定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：对任意的 x1， x20，)( x1 x2)，有0，则( )f x2 f x1x2 x1A f(3) f(2) f(1) B f(1) f(2) f(3)C f(2) f(1) f(3) D f(3) f(1) f(2)解析：选 A f(x)是偶函数， f(2) f(2)又任意的 x1， x20，)(x1 x2)，有 0， f(x)在0，)上是减函数又f x2 f x1x2 x1123， f(1)f(2) f(2) f(
30、3)，故选 A.6已知函数 f(x) asin x bln t，若 f f 6，则实数 t( )1 x1 x (12) ( 12)A2 B1C1 D3解析：选 D 令 g(x) asin x bln ，易知 g(x)为奇函数，所以1 x1 xg g 0，则由 f(x) g(x) t，得 f f g g 2 t2 t6，解得(12) ( 12) (12) ( 12) (12) ( 12)t3.故选 D.7(2019荆州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 x(0,1)时，f(x)3 x1，则 f ( )(2 0192 )A. 1 B. 13 3C 1 D 13 3解析：
31、选 D 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f(x2) f(x) f( x)，所以 f f f f f .又当 x(0,1)时， f(x)3 x1，所以(2 0192 ) (1 008 32) (32) ( 32) (12)f 1， f 1.(12) 3 (2 0192 ) 38已知 f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，而且 f(x)是减函数，如果 f(m2) f(2m3)0，那么实数 m 的取值范围是( )13A. B.(1，53) ( ， 53)C(1,3) D.(53， )解析：选 A f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，1 x1， f( x) f(x)， f(m2) f(2
32、m3)0 可转化为 f(m2) f(2m3)，即 f(m2) f(2 m3) f(x)是减函数，Error!1 m .539(2019洛阳第一次统考)若函数 f(x)ln(e x1) ax 为偶函数，则实数a_.解析：法一：(定义法)函数 f(x)ln(e x1) ax 为偶函数， f( x) f(x)，即ln(e x1) axln(e x1) ax，2 axln(e x1)ln(e x1)ln ln x，2 a1，解得 a .e x 1ex 1 1ex 12法二：(取特殊值)由题意知函数 f(x)的定义域为 R，由 f(x)为偶函数得 f(1) f(1)，ln(e 1 1) aln(e 11
33、) a，2 aln(e 1 1)ln(e 11)ln ln 1， a .e 1 1e 1 1e 12答案：1210设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件： f(x) f( x)0； f(x) f(x2)；当 0 x1 时， f(x)2 x1，则 f f(1) f f(2) f _.(12) (32) (52)解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，则 f(1) f(1)0， f(1) f(1)，即 f(1)0. f f(1) f f(2) f(12) (32) (52) f 0 f f(0) f(12) ( 12) (12) f f f(0) f(12) (12) (12
34、) f f(0)(12)2 12 0112 1.2答案： 12二、专项培优练14(一)技法专练活用快得分1巧用性质已知函数 f(x) 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m2|x| 1 x3 22|x| 1等于( )A0 B2C4 D8解析：选 C f(x) 2 ，2 2|x| 1 x32|x| 1 x32|x| 1设 g(x) ，则 g( x) g(x)(xR)，x32|x| 1 g(x)为奇函数， g(x)max g(x)min0. M f(x)max2 g(x)max， m f(x)min2 g(x)min， M m2 g(x)max2 g(x)min4.2巧用性质设函数 f(x)ln
35、(1| x|) ，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的11 x2取值范围为_解析：由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x) f(|x|)，由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|)当 x0 时， f(x)ln(1 x) ，因为 yln(1 x)与 y 在(0，)上11 x2 11 x2都单调递增，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增由 f(|x|)f(|2x1|)，可得| x|2x1|，两边平方可得 x2(2x1) 2，整理得 3x24 x10，解得 x1.13所以 x 的取值范围为 .(13， 1)答案： (13， 1)3数形结合已知函数 f(x)Error!
36、是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.15(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，作出 f(x)的图象如图所示，结合 f(x)的图象知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,3(二)素养专练学会更学通4逻辑推理奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f(8) f(9)( )A2 B
37、1C0 D1解析：选 D 由函数 f(x2)为偶函数可得， f(2 x) f(2 x)又 f( x) f(x)，故 f(2 x) f(x2)，所以 f(2 x) f(x2)，即 f(x4) f(x)所以 f(x8) f(x4) f(x)，故该函数是周期为 8 的周期函数又函数 f(x)为奇函数，故 f(0)0.所以 f(8) f(9) f(0) f(1)011.5逻辑推理已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(25) f(11) f(80) B f(80) f(11) f(25)C f(11) f(80) f(25) D f(2
38、5) f(80) f(11)解析：选 D f(x)满足 f(x4) f(x)， f(x8) f(x)，函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(25) f(1)， f(80) f(0)， f(11) f(3)由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x4) f(x)，得 f(11) f(3) f(1) f(1) f(x)在区间0,2上是增函数， f(x)在 R 上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数， f(1) f(0) f(1)，即 f(25) f(80) f(11)6数学运算定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x5) f(x)，当 x(3,0时， f(x) x1
39、，当 x(0,2时， f(x)log 2x，则 f(1) f(2) f(3) f(2 019)的值等于( )A403 B405C806 D80916解析：选 B 定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x5) f(x)，即函数 f(x)的周期为 5.当 x(0,2时， f(x)log 2x，所以 f(1)log 210， f(2)log 221.当 x(3,0时，f(x) x1，所以 f(3) f(2)1， f(4) f(1)0， f(5) f(0)1.所以 f(1) f(2) f(2 019)403 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(2 016) f(2 017) f(
40、2 018) f(2 019)4031 f(1) f(2) f(3) f(4)4030110405.7数学运算设函数 f(x)是(，)上的奇函数， f(x2) f(x)，当0 x1 时， f(x) x.(1)求 f()的值；(2)当4 x4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积解：(1)由 f(x2) f(x)得，f(x4) f(x2)2 f(x2) f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f() f(14) f(4) f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2) f(x)，得 f(x1)2 f(x1) f( x1)，即 f(1 x) f(1 x)故知函数 y f(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时， f(x) x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示当4 x4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4 S OAB44.(1221)17
