1、1第五节二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线 x1 右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点三点注意：(1)当 0 时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于 y x1 的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当 0 1 时，函数图象倾向 x 轴，类似于 y x 的图象；12(3)当 1 时，函数图象倾向 y 轴，类似于 y x3的图象，且在
2、第一象限内，逆时针方向指数在增大.(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减对于形如 f(x) x (其中 mN *， nZ， m 与 n 互质)的幂函数：nm(1)当 n 为偶数时， f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称；(2)当 m， n 都为奇数时， f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当 m 为偶数时， x0(或 x0)， f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)2二次函数(1)二次函数解析式的 3 种形式一般式
3、： f(x) ax2 bx c(a0)顶点式： f(x) a(x m)2 n(a0)，顶点坐标为( m， n)零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0)， x1， x2为 f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质2函数 y ax2 bx c(a0) y ax2 bx c(a0)图象(抛物线)定义域 R值域 4ac b24a ， ) ( ， 4ac b24a 对称轴 x b2a顶点坐标 ( b2a， 4ac b24a )奇偶性 当 b0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数单调性 在 上是减函数；( ， b2a在 上是增函数b2a， ) 在 上是增函数；( ， b2a在 上是减函数
4、b2a， )熟记常用结论关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数 f(x) a(x h)2 k(a0)， x p， q的最值问题若 h p， q，则 x h 时有最小值 k，最大值是 f(p)与 f(q)中较大者；若 hp， q，则 f(p)， f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值(2)根的分布问题设函数 y ax2 bx c(a0)，若对区间 a， b有 f(a)0， f(b)0，则曲线必与 x轴相交(至少有一个交点，且交点必在 a， b上)设 x1， x2是实系数一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的两根，根的分布对照y ax2 bx c(a0)的图象，知其等价不等式组的关系是：
5、若 x1 x2 m，则Error!若 m x1 x2，则Error!若 x1 m x2，则Error!若 x1， x2( m1， m2)，则Error!若 x1， x2有且仅有一个在( m1， m2)内，则Error!小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)3(1)函数 y2 x 是幂函数( )13(2)当 n0 时，幂函数 y xn在(0，)上是增函数( )(3)二次函数 y ax2 bx c(xR)不可能是偶函数( )(4)二次函数 y ax2 bx c(x a， b)的最值一定是 .( )4ac b24a(5)在 y ax2 bx c(a0)中， a 决定了图象的开口方向和在同
6、一直角坐标系中的开口大小( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)二、选填题1已知幂函数 y f(x)的图象经过点 ，则 f(2)( )(4，12)A. B414C. D.22 2解析：选 C 设 f(x) x ，图象过点 ， f(4)4 ，解得 ，(4，12) 12 12 f(2)2 .故选 C.1222若四个幂函数 y xa， y xb， y xc， y xd在同一坐标系中的图象如图，则a， b， c， d 的大小关系是( )A dcba B abcdC dcab D abdc解析：选 B 根据幂函数的性质及图象知选 B.3已知函数 f(x) ax2 x5 的图象在 x 轴上方，则
7、 a 的取值范围是( )A. B.(0，120) ( ， 120)C. D.(120， ) ( 120， 0)解析：选 C 函数 f(x) ax2 x5 的图象在 x 轴上方，4Error!解得 a .1204函数 f(x)( m2 m1) xm是幂函数，且在 x(0，)上为增函数，则实数 m 的值为_解析： f(x)( m2 m1) xm是幂函数， m2 m11，解得 m1 或 m2.又 f(x)在(0，)上为增函数， m2.答案：25已知 f(x)4 x2 mx5 在2，)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_解析：因为函数 f(x)4 x2 mx5 的单调递增区间为 ，所以 2，即 m1
8、6.m8， ) m8答案：(，16考点一基础自学过关 幂函数的图象与性质题组练透1已知幂函数 f(x)的图象经过点(9,3)，则 f(2) f(1)( )A3 B1 2C. 1 D12解析：选 C 设幂函数 f(x) x ，则 f(9)9 3，即 ，所以 f(x) x ，12 12x所以 f(2) f(1) 1，故选 C.22当 x(0，)时，幂函数 y( m2 m1) x5 m3 为减函数，则实数 m 的值为( )A2 B1C1 或2 D m 152解析：选 B 因为函数 y( m2 m1) x5 m3 既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以Error!解得 m1.3.幂函数 y x (mZ
9、)的图象如图所示，则 m 的值为( )2-35A1 B0C1 D2解析：选 C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22 m30，即1 m3；又从图象看，函数是偶函数，故 m22 m3 为负偶数，将m0,1,2 分别代入，可知当 m1 时， m22 m34，满足要求4已知 a3 ， b4 ， c12 ，则 a， b， c 的大小关系为( )45 25 15A b a c B a b cC c b a D c a b解析：选 C 因为 a81 ， b16 ， c12 ，由幂函数 y x 在(0，)上为增函数，15 15 15 15知 abc，故选 C.5若( a1) (32 a)
10、 ，则实数 a 的取值范围是_12 12解析：易知函数 y x 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解得121 a .23答案： 1，23)名师微点(1)幂函数 y x 的形式特点是“幂指数坐在 x 的肩膀上” ，图象都过点(1,1)它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当 0 时，第一象限图象是上坡递增；当 0 时，第一象限图象是下坡递减然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即可(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂
11、函数的图象和性质是解题的关键 口 诀 记 忆 幂 函 数 ， 啥 模 样 ， 幂 指 坐 在 肩 膀 上 ；图 象 恒 过 点 1， 1 ， 单 调 牢 记 一 象 限 ；正 幂 递 增 负 幂 减 ， 奇 偶 性 质 定 左 边 .考点二师生共研过关 求二次函数的解析式典例精析已知二次函数 f(x)满足 f(2)1， f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，求二次函数f(x)的解析式解 法一：(利用二次函数的一般式)6设 f(x) ax2 bx c(a0)由题意得Error!解得Error!故所求二次函数为 f(x)4 x24 x7.法二：(利用二次函数的顶点式)设 f(x) a(x m)2
12、 n(a0) f(2) f(1)，抛物线对称轴为 x .2 12 12 m ，又根据题意函数有最大值 8， n8，12 y f(x) a 28.(x12) f(2)1， a 281，解得 a4，(212) f(x)4 284 x24 x7.(x12)法三：(利用二次函数的零点式)由已知 f(x)10 的两根为 x12， x21，故可设 f(x)1 a(x2)( x1)，即 f(x) ax2 ax2 a1.又函数有最大值 ymax8，即 8.4a 2a 1 a24a解得 a4 或 a0(舍去)，故所求函数解析式为 f(x)4 x24 x7.解题技法求二次函数解析式的策略过关训练1已知二次函数 f
13、(x)是偶函数，且 f(4)4 f(2)16，则函数 f(x)的解析式为_解析：由题意可设函数 f(x) ax2 c(a0)，则 f(4)16 a c16,4 f(2)4(4 a c)716 a4 c16，所以 a1， c0，故 f(x) x2.答案： f(x) x22已知二次函数 f(x) ax2 bx1( a， bR)， xR，若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，则 f(x)_.解析：设函数 f(x)的解析式为 f(x) a(x1) 2 ax22 ax a，又 f(x) ax2 bx1，所以 a1，故 f(x) x22 x1.答案： x22 x13已知二次函数 f(x)的图象经过点(4
14、,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2 x) f(2 x)，求 f(x)的解析式解： f(2 x) f(2 x)对 xR 恒成立， f(x)的对称轴为 x2.又 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解析式为 f(x) a(x1)( x3)( a0)又 f(x)的图象过点(4,3)，3 a3， a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)( x1)( x3)，即 f(x) x24 x3.考点三全析考法过关 二次函数的性质及应用考法全析考法(一) 二次函数的单调性问题例 1 (1)已知函数 f(x) ax2(
15、a3) x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是( )A3,0) B(，3C2,0 D3,0(2)函数 f(x) x2 bx c 满足 f(x1) f(1 x)，且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( )A f(bx) f(cx) B f(bx) f(cx)C f(bx)f(cx) D与 x 有关，不确定解析 (1)当 a0 时， f(x)3 x1 在1，)上递减，满足题意当 a0 时， f(x)的对称轴为 x ，3 a2a由 f(x)在1，)上递减知Error!解得3 a0.综上， a 的取值范围为3,08(2)由题意知，函数 f(x)的图象关于直线 x1
16、对称， b2，又 f(0)3， c3，则 bx2 x， cx3 x.易知 f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若x0，则 3x2 x1， f(3x) f(2x)；若 x0，则 3x2 x1， f(3x)f(2x) f(3x) f(2x)，即 f(bx) f(cx)故选 A.答案 (1)D (2)A考法(二) 二次函数的最值问题例 2 若函数 f(x) ax22 ax1 在1,2上有最大值 4，则 a 的值为_解析 f(x) a(x1) 21 a.当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上的值为常数 1，不符合题意，舍去；当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为
17、f(2)8 a14，解得a ；38当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为 f(1)3 a14，解得a1，不符合题意，舍去综上可知， a 的值为 .38答案 38考法(三) 二次函数中的恒成立问题例 3 已知函数 f(x) x2 x1，在区间1,1上，不等式 f(x)2x m 恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析 f(x)2x m 等价于 x2 x12 x m，即 x23 x1 m0，令 g(x) x23 x1 m，要使 g(x) x23 x1 m0 在1,1上恒成立，只需使函数 g(x) x23 x1 m 在1,1上的最小值大于 0 即可 g(x) x23 x1 m 在
18、1,1上单调递减， g(x)min g(1) m1.由 m10，得 m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)答案 (，1)规律探求看个性 考法(一)是研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行9分类讨论考法(二)是研究二次函数的最值问题对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物” ，然后利用十字法求解即可求 二 次 函 数 最 值 的 口 诀弃 y轴 ， 十 字 图 ， 对 应 横 轴 对 称 轴 ；函 数 草 图 随 意 作
19、， 开 口 方 向 莫 疏 忽 ；区 间 与 轴 描 分 布 ， 高 低 位 置 最 值 处 ；二 次 函 数 含 参 数 ， 逻 辑 分 类 谁 做 主 ；动 兮 定 兮 对 称 轴 ， 看 作 静 止 参 照 物 .考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆运用，最终转化为最值问题求解找共性解决二次函数性质问题应注意的两个关键(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题过关训练1口诀第 1、2、3 句若二次函数 y kx24 x2 在区间1,2上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为( )A2，) B(
20、2，)C(，0) D(，2)解析：选 A 二次函数 y kx24 x2 的对称轴为 x ，当 k0 时，要使函数2ky kx24 x2 在区间1,2上是增函数，只需 1，解得 k2.2k当 k0 时， 0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，该函数 y kx24 x22k在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数 k 的取值范围是2，)2口诀第 1、2 句已知 y f(x)是偶函数，当 x0 时， f(x)( x1) 2，若当 x时， n f(x) m 恒成立，则 m n 的最小值为( ) 2， 12A. B.13 12C. D134解析：选 D 设 x0，则 x0.有 f( x)( x
21、1) 2( x1) 2，又 f( x) f(x)，当 x0 时， f(x)( x1) 2，10该函数在 上的最大值为 1，最小值为 0， 2， 12依题意， n f(x) m 恒成立，则 n0， m1，即 m n1，故 m n 的最小值为 1.3口诀第 4、5 句设函数 f(x) x22 x2， x t， t1， tR，求函数 f(x)的最小值解： f(x) x22 x2( x1) 21， x t， t1， tR，函数图象的对称轴为 x1.当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间 t， t1上为减函数，所以最小值为 f(t1) t21；当 t1 t1，即 0 t1
22、 时，函数图象如图(2)所示，在对称轴 x1 处取得最小值，最小值为 f(1)1；当 t1 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间 t， t1上为增函数，所以最小值为 f(t) t22 t2.综上可知， f(x)minError!课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1幂函数 y f(x)经过点(3， )，则 f(x)是( )3A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数解析：选 D 设幂函数的解析式为 y x ，将(3， )代入解析式得 3 ，解得3 3 ，所以 y x .故选 D.12 12
23、2已知函数 f(x) ax2 bx c，若 abc 且 a b c0，则它的图象可能是( )11解析：选 D 由 abc 且 a b c0，得 a0， c0，所以函数图象开口向上，排除A、C.又 f(0) c0，所以排除 B，故选 D.3.二次函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x1)0 的解集为( )A(2,1)B(0,3)C(1,2D(，0)(3，)解析：选 B 根据 f(x)的图象可得 f(x)0 的解集为 x|1 x2，而 f(x1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位得到的，故 f(x1)0 的解集为(0,3)故选 B.4若 a ， b ， c ，则 a， b， c 的大小关
24、系是 ( )(12)3(15)23(12)3A a b c B c a bC b c a D b a c解析：选 D y x (x0)是增函数， a b . y x是减函数，23 (12)3(15)23(12) a c ， b a c.(12)3(12)5已知函数 f(x) ax2 bx c(a0)，且 2 是 f(x)的一个零点，1 是 f(x)的一个极小值点，那么不等式 f(x)0 的解集是( )A(4,2) B(2,4)C(，4)(2，) D(，2)(4，)解析：选 C 依题意， f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x1，方程ax2 bx c0 的一个根是 2，另一个根是4.因此
25、f(x) a(x4)( x2)( a0)，于是 f(x)0，解得 x2 或 x4.126已知点( m,8)在幂函数 f(x)( m1) xn的图象上，设 a f ， b f(ln )，(13)c f ，则 a， b， c 的大小关系为( )(12)A c a b B a b cC b c a D b a c解析：选 A 根据题意， m11， m2，2 n8， n3， f(x) x3. f(x) x3是定义在 R 上的增函数，又 0 01ln ，12 (13)2(13) c a b.7已知二次函数 f(x)满足 f(2 x) f(2 x)，且 f(x)在0,2上是增函数，若 f(a) f(0)，
26、则实数 a 的取值范围是_解析：由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x2(如图)，若 f(a) f(0)，从图象观察可知 0 a4.答案：0,48若函数 f(x) x22 x1 在区间 a， a2上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为_解析：函数 f(x) x22 x1( x1) 2的图象的对称轴为直线 x1，且 f(x)在区间 a， a2上的最小值为 4，当 a1 时， f(a)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a21，即 a1 时， f(a2)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a1 a2，即1 a1 时， f(1)04.故 a 的取值集合为3,3答
27、案：3,39已知值域为1，)的二次函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，且方程 f(x)0 的两个实根 x1， x2满足| x1 x2|2.(1)求 f(x)的表达式；(2)函数 g(x) f(x) kx 在区间1,2上的最大值为 f(2)，最小值为 f(1)，求实13数 k 的取值范围解：(1)由 f(1 x) f(1 x)，可得 f(x)的图象关于直线 x1 对称，设 f(x) a(x1) 2 h ax22 ax a h(a0)，由函数 f(x)的值域为1，)，可得 h1， a0，根据根与系数的关系可得 x1 x22， x1x21 ，ha| x1 x2| 2， x1 x2 2 4
28、x1x2 4ha解得 a1， f(x) x22 x.(2)由题意得函数 g(x)在区间1,2上单调递增，又 g(x) f(x) kx x2( k2) x. g(x)图象的对称轴方程为 x ，k 22则 1，即 k0，故 k 的取值范围为(，0k 2210已知函数 f(x) ax2 bx c(a0， bR， cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)Error!求 F(2) F(2)的值；(2)若 a1， c0，且| f(x)|1 在区间(0,1上恒成立，试求 b 的取值范围解：(1)由已知 c1， a b c0，且 1，b2a解得 a1， b2， f(x)( x1
29、) 2， F(x)Error! F(2) F(2)(21) 2(21) 28.(2)由题可知， f(x) x2 bx，原命题等价于1 x2 bx1 在(0,1上恒成立，即 b x 且 b x 在(0,1上恒成立1x 1x又 x 的最小值为 0， x 的最大值为2，1x 1x2 b0，故 b 的取值范围是2,0二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知函数 f(x) x2 x c，若 f(0)0， f(p)0，则必有( )A f(p1)0 B f(p1)0C f(p1)0 D f(p1)的符号不能确定解析：选 A 由题意知， f(0) c0，函数图象的对称轴为直线 x ，则 f(1)1214
30、f(0)0，设 f(x)0 的两根分别为 x1， x2(x1 x2)，则1 x1 x20，根据图象知，x1 p x2，故 p10，则 f(p1)0.2已知幂函数 f(x)( n22 n2) x (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在2-3(0，)上是减函数，则 n 的值为( )A3 B1C2 D1 或 2解析：选 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n22 n21，解得 n1 或 n3，当 n1时，函数 f(x) x2 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(0，)上是减函数，所以 n1 满足题意；当 n3 时，函数 f(x) x18为偶函数，其图象关于 y 轴对称，而f(x)在(0，)
31、上是增函数，所以 n3 不满足题意，舍去故选 B.3已知在(，1上递减的函数 f(x) x22 tx1，且对任意的 x1， x20， t1，总有| f(x1) f(x2)|2，则实数 t 的取值范围为( )A ， B1， 2 2 2C2,3 D1,2解析：选 B 由于函数 f(x) x22 tx1 的图象的对称轴为 x t，函数 f(x) x22 tx1 在区间(，1上单调递减，所以 t1.则在区间0， t1上，0 距对称轴 x t 最远，故要使对任意的 x1， x20， t1，都有| f(x1) f(x2)|2，只要 f(0) f(t)2 即可，即 1( t22 t21)2，求得 t .2
32、2再结合 t1，可得 1 t .故选 B.24若函数 f(x) x22 ax2 在区间5,5上是单调函数，则实数 a 的取值范围为_解析：函数 f(x)( x a)22 a2的图象的对称轴为直线 x a，因为 y f(x)在区间5,5上是单调函数，所以 a5 或 a5，即 a5 或 a5.故实数 a 的取值范围是(，55，)答案：(，55，)5已知对于任意的 x(，1)(5，)，都有 x22( a2) x a0，则实数 a的取值范围是_解析： 4( a2) 24 a4 a220 a164( a1)( a4)(1)若 0，即 1 a4 时， x22( a2) x a0 在 R 上恒成立，符合题意
33、；(2)若 0，即 a1 或 a4 时，方程 x22( a2) x a0 的解为 x a2，15显然当 a1 时，不符合题意，当 a4 时，符合题意；(3)当 0，即 a1 或 a4 时，因为 x22( a2) x a0 在(，1)(5，)上恒成立，所以Error!解得 3 a5，又 a1 或 a4，所以 4 a5.综上， a 的取值范围是(1,5答案：(1,5(二)技法专练活用快得分6更换主元法对于任意 a1,1，函数 f(x) x2( a4) x42 a 的值总大于0，则 x 的取值范围是( )A(1,3) B(，1)(3，)C(1,2) D(，1)(2，)解析：选 B 原题可转化为关于
34、a 的一次函数 y a(x2) x24 x40 在1,1上恒成立，只需Error!Error! x1 或 x3.故选 B.7分离参数法方程 x2 ax20 在区间1,5上有解，则实数 a 的取值范围为( )A. B(1，)(235， )C. D.235， 1 ( ， 235解析：选 C 方程 x2 ax20 在区间1,5上有解转化为方程 a 在区间1,52 x2x上有解，即 y a 与 y 的图象有交点，又因为 y x 在1,5上是减函数，2 x2x 2 x2x 2x所以其值域为 ，故选 C.235， 1(三)难点专练适情自主选8函数 f(x) x23 x a， g(x)2 x x2，若 f(
35、g(x)0 对 x0,1恒成立，则实数 a 的取值范围是( )Ae，) Bln 2，)C2，) D.(12， 0解析：选 C 如图所示，在同一坐标系中画出 y x21， y2 x， y x2 的图象，由32图象可知，在0,1上， x212 x x2 恒成立，即 12 x x2 ，当且仅当 x0 或32 3216x1 时等号成立，1 g(x) ， f(g(x)0 f(1)013 a0 a2，即实32数 a 的取值范围是2，)，故选 C.9定义：如果在函数 y f(x)定义域内的给定区间 a， b上存在 x0(a x0 b)，满足f(x0) ，则称函数 y f(x)是 a， b上的“平均值函数” ， x0是它的一个f b f ab a均值点，如 y x4是1,1上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f(x) x2 mx1 是1,1上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是_解析：因为函数 f(x) x2 mx1 是1,1上的平均值函数，设 x0为均值点，所以 m f(x0)，f 1 f 11 1即关于 x0的方程 x mx01 m 在(1,1)内有实数根，解方程得 x01 或 x0 m1.20所以必有1 m11，即 0 m2，所以实数 m 的取值范围是(0,2)答案：(0,2)17
