1、1第五节函数的图象一、基础知识批注理解深一点1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线 列出的点多为零点、最值点等2函数图象的变换(1)平移变换 y f(x)的图象 y f(x a)的图象； a0， 右 移 a个 单 位 a0， 上 移 b个 单 位 b0 且 a1)的图象 ylog ax(a0 且 a1)的图象 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换 y f(x)的图象 y f(ax)的图 a1， 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 1a纵 坐 标
2、 不 变 01， 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 a倍 ， 横 坐 标 不 变 00 时，函数 g(x)log f(x)有意义，由函数 f(x)的2图象知满足 f(x)0 时， x(2,8答案：(2,85若关于 x 的方程| x| a x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意得 a| x| x，令 y| x| xError!其图象如图所示，故要使 a| x| x 只有一个解，则 a0.答案：(0，)考 点 一 作 函 数 的 图 象典例 作出下列函数的图象(1)yError!(2)y2 x2 ；(3)y x22| x|1.解 (1)分段分别画出函数的图象，如图所示(2)y2
3、x2 的图象是由 y2 x的图象向左平移 2 个单位长度得到的，其图象如图所示5(3)yError!其图象如图所示变透练清1. 若本例(2)变为 y x2 ，试作出其图象变 条 件 (12)解： y x2 的图象是由 y x的图象向右平移 2 个单位长度得到的，其图象如图 (12) (12)所示2. 若本例(3)变为 y| x22 x1|，试作出其图象变 条 件 解： yError!其图象如图所示解题技法 作函数图象的一般方法直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出图象变换法变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换图象变换口诀如下：图
4、象变换有谁知？平移反射和位似；平移左加与右减，上下移动值增减；反射就是轴对称，上下左右玩对称；位似缩小与放大，有个定点叫中心.6描点法当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出考 点 二 函 数 图 象 的 识 辨例 1 (2018全国卷)函数 f(x) 的图象大致为( )ex e xx2解析 ye xe x是奇函数， y x2是偶函数， f(x) 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A 选项；ex e xx2当 x1 时， f(1)e 0，排除 D 选项；1e又 e2， 1，排除 C 选项故选 B.1e12 1e答
5、案 B例 2 已知定义在区间0,4上的函数 y f(x)的图象如图所示，则 y f(2 x)的图象为( )解析 法一：先作出函数 y f(x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 y f( x)的图象；然后将 y f( x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y f(2 x)的图象；再作 y f(2 x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 y f(2 x)的图象故选 D.法二：先作出函数 y f(x)的图象关于原点的对称图象，得到 y f( x)的图象；然7后将 y f( x)的图象向右平移 2 个单位，得到 y f(2 x)的图象故选 D.答案 D解题技法1函数图象与解析式之间的 4 种对应关系
6、(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于 y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点2通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换3借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动” ，即将
7、动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择题组训练1(2019郑州调研)已知函数 f(x)Error!， g(x) f( x)，则函数 g(x)的图象是( )解析：选 D 法一：由题设得函数 g(x) f( x)Error!据此可画出该函数的图象，如题图选项 D 中图象故选 D.法二：先画出函数 f(x)的图象，如图 1 所示，再根据函数 f(x)与 f( x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数 f( x)，即 g(x)的图象，如图 2 所示故选 D.2.如图，不规则四边形 ABCD 中， AB 和 CD 是线段， AD 和 BC 是圆弧，直线 l AB 交 AB 于 E，当
8、l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE x，左侧部分的面积为 y，则 y 关于 x的图象大致是( )8解析：选 C 当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢故选 C.考 点 三 函 数 图 象 的 应 用考法(一) 研究函数的性质典例 已知函数 f(x) x|x|2 x，则下列结论正确的是( )A f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C f(x)是奇函数，递减区间是(1,1)D f(x)是奇函数，递增区间是(
9、，0)解析 将函数 f(x) x|x|2 x 去掉绝对值得 f(x)Error!画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案 C解题技法 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性考法(二) 在不等式中的应用典例 若不等式( x1) 20，且 a1)在 x(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A(1,2
10、 B. (22， 1)C(1， ) D( ，2)2 2解析 要使当 x(1,2)时，不等式( x1) 21 时，如图，要使 x(1,2)时， y( x1) 2的图象在ylog ax 的图象的下方，只需(21) 2log a2，即 loga21，解得 11 时，函数 f(x)(x2)10 x2 x 在(1,2)上单调递增，在2，)上单调递减，则最大值为 f(2)2，13 43 23又 f(4) 0且 ye ln x x(x0)，所以其图象如图所示(2)当 x2，即 x20 时，y( x2)( x1) x2 x2 2 ；(x12) 94当 x0 在 (1,3)上的解集为( )A(1,3) B(1,
11、1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选 C 作出函数 f(x)的图象如图所示当 x(1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x；当 x(1,3)时，由 xf(x)0 得 x(1,3)故 x(1,0)(1,3)2(2019山西四校联考)已知函数 f(x)| x21|，若 00，且 a1)对于任意的 x2 恒成立，求 a 的取值范围解：不等式 4ax1 1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当 0a1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当 x2 时， f(2) g(2)，即 a21 21，34解得 a ，所以 a 的取值范围是 .12 (0， 1215
