1、1第六节二次函数一、基础知识批注理解深一点1二次函数解析式的三种形式一般式： f(x) ax2 bx c(a0)；顶点式： f(x) a(x h)2 k(a0)；两根式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0)2二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数 y ax2 bx c(a0)中，系数 a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2) 的值决定图象对称轴的位置；b2a(3)c的取值决定图象与 y轴的交点；(4)b24 ac的正负决定图象与 x轴的交点个数解析式 f(x) ax2 bx c(a0) f(x) ax2 bx c(a0(a0)恒成立”的充要条件是“ a0，且 0)，
2、闭区间为 m， n(1)当 m时，最小值为 f(m)，最大值为 f(n)；b2a(2)当 mn时，最小值为 f(n)，最大值为 f(m)b2a三、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)二次函数 y ax2 bx c(xR)不可能是偶函数( )(2)二次函数 y ax2 bx c(x a， b)的最值一定是 .( )4ac b24a(3)a1 是函数 f(x) x24 ax3 在区间2，)上为增函数的充分不必要条件( )答案：(1) (2) (3)(二)选一选1若二次函数 y2 x2 bx c关于 y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( )A
3、 y2 x2 x3 B y2 x23C y2 x2 x3 D y2 x23解析：选 B 由题可知函数 y f(x)为偶函数，则 b0.又过点(0,3)，则 c3，故解析式为 y2 x23.2若函数 y x22 tx3 在1，)上为增函数，则 t的取值范围是( )A(，1 B1，)C(，1 D1，)解析：选 A 函数 y x22 tx3 的图象开口向上，以直线 x t为对称轴又函数y x22 tx3 在1，)上为增函数，则 t1.3已知函数 f(x) ax2 x5 的图象在 x轴上方，则 a的取值范围是( )3A. B. (0，120) ( ， 120)C. D.(120， ) ( 120， 0
4、)解析：选 C 由题意知Error!即Error!解得 a .120(三)填一填4函数 y x24 x2 在区间1,4上的最小值为_解析：函数 y x24 x2 的图象开口向下，对称轴为直线 x2，所以当 x4 时，y的最小值为2.答案：25已知 f(x) ax2 bx3 a b是偶函数，且其定义域为 a1，2 a，则 y f(x)的值域为_解析：因为 f(x) ax2 bx3 a b是偶函数，所以其定义域 a1,2 a关于原点对称，所以 a12 a，所以 a ，因为 f(x) ax2 bx3 a b是偶函数，即 f( x) f(x)，13所以 b0，所以 f(x) x21， x ，其值域为
5、.13 23， 23 1， 3127答案： 1，3127考 点 一 求 二 次 函 数 的 解 析 式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 典例 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1， f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解 法一：利用二次函数的一般式4设 f(x) ax2 bx c(a0)由题意得Error!解得Error!故所求二次函数为 f(x)4 x24 x7.法二：利用二次函数的顶点式设 f(x) a(x m)2 n. f(2) f(1)，抛物线对称轴为 x .2 12 12 m ，又根据题意函数有最大
6、值 8， n8，12 y f(x) a 28.(x12) f(2)1， a 281，解得 a4，(212) f(x)4 284 x24 x7.(x12)法三：利用零点式由已知 f(x)10 的两根为 x12， x21，故可设 f(x)1 a(x2)( x1)，即 f(x) ax2 ax2 a1.又函数有最大值 ymax8，即 8.4a 2a 1 a24a解得 a4 或 a0(舍去)，故所求函数解析式为 f(x)4 x24 x7.解题技法 求二次函数解析式的策略题组训练1已知二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)，则函数5的解析式为 f(x)_.解析：法一：设所求
7、解析式为 f(x) ax2 bx c(a0)由已知得Error!解得Error!所以所求解析式为 f(x) x2 x .19 49 59法二：设所求解析式为 f(x) ax2 bx c(a0)依题意得Error!解得Error!所以所求解析式为 f(x) x2 x .19 49 59法三：设所求解析式为 f(x) a(x h)2 k.由已知得 f(x) a(x2) 21，将点(1,0)代入，得 a ，19所以 f(x) (x2) 21，19即 f(x) x2 x .19 49 59答案： x2 x19 49 592已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x轴上截得的线段长为 2，并
8、且对任意 xR，都有 f(2 x) f(2 x)，则函数的解析式 f(x)_.解析： f(2 x) f(2 x)对 xR 恒成立， f(x)的对称轴为 x2.又 f(x)的图象被 x轴截得的线段长为 2， f(x)0 的两根为 1和 3.设 f(x)的解析式为 f(x) a(x1)( x3)( a0)又 f(x)的图象经过点(4,3)，3 a3， a1.所求 f(x)的解析式为 f(x)( x1)( x3)，即 f(x) x24 x3.答案： x24 x3考 点 二 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质考法(一) 二次函数图象的识别典例 若一次函数 y ax b的图象经过第二、三、四象限，则
9、二次函数y ax2 bx的图象只可能是( )6解析 因为一次函数 y ax b的图象经过第二、三、四象限，所以 a1时， f(x)max f(1) a，所以 a2.综上可知， a1 或 a2.(2)依题意 a0，二次函数 f(x) ax22 ax c图象的对称轴是直线 x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以 a0，即函数图象的开口向上，所以 f(0) f(2)，则当f(m) f(0)时，有 0 m2.答案 (1)1 或 2 (2)0,27解题技法1二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住
10、“三点一轴”数形结合， “三点”是指区间两个端点和中点， “一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题(3)求二次函数最值口诀如下：弃 y轴，十字图，对应横轴对称轴；函数草图随意作，开口方向莫疏忽；区间与轴描分布，高低位置最值处；二次函数含参数，逻辑分类谁做主；动兮定兮对称轴，看作静止参照物2二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题典
11、例 (1)已知函数 f(x) x2 mx1，若对于任意 x m， m1，都有 f(x)x k在区间3，1上恒成立，则 k的取值范围为_解析 (1)作出二次函数 f(x)的草图如图所示，对于任意 x m， m1，都有 f(x)k在区间3，1上恒成立设 g(x) x2 x1， x3，1，8则 g(x)在3，1上递减 g(x)min g(1)1. k1)，若在区间1,1上 f(x)8 恒成立，则 a的最大值为_解析：令 ax t，因为 a1， x1,1，所以 t a，原函数化为 g(t)1a t23 t2，显然 g(t)在 上单调递增，所以 f(x)8 恒成立，即 g(t)max g(a)81a，
12、a恒成立，所以有 a23 a28，解得5 a2，又 a1，所以 a的最大值为 2.答案：2课 时 跟 踪 检 测 A级保大分专练1(2019重庆三校联考)已知二次函数 y ax2 bx1 的图象的对称轴方程是x1，并且过点 P(1,7)，则 a， b的值分别是( )A2,4 B2,4C2，4 D2，4解析：选 C y ax2 bx1 的图象的对称轴是 x1， 1. b2a又图象过点 P(1,7)， a b17，即 a b6. 由可得 a2， b4.2已知函数 f(x) x24 x a， x0,1，若 f(x)有最小值2，则 a的值为( )A1 B0C1 D2解析：选 D 函数 f(x) x24
13、 x a的对称轴为直线 x2，开口向下， f(x) x24 x a在0,1上单调递增，则当 x0 时， f(x)的最小值为 f(0) a2.3一次函数 y ax b与二次函数 y ax2 bx c在同一坐标系中的图象大致是( )10解析：选 C 若 a0，则一次函数 y ax b为增函数，二次函数 y ax2 bx c的图象开口向上，故可排除 A；若 a0， b0，从而f(1)，则( )A a0,4a b0 B a0,2a b0 D af(1)， f(4)f(1)， f(x)先减后增，于是 a0，故选b2aA.5若关于 x的不等式 x24 x2 a0在区间(1,4)内有解，则实数 a的取值范围
14、是( )A(，2) B(2，)C(6，) D(，6)解析：选 A 不等式 x24 x2 a0在区间(1,4)内有解等价于 a1，即 a2三种情形讨论a2 a2 a2(1)当 a2时，由图可知 f(x)在1,1上的最大值为 f(1) a1.综上可知， f(x)maxError!10已知二次函数 f(x)满足 f(x1) f(x)2 x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x1,1时，函数 y f(x)的图象恒在函数 y2 x m的图象的上方，求实数m的取值范围解：(1)设 f(x) ax2 bx1( a0)，由 f(x1) f(x)2 x，得 2ax a b2 x.所以，2 a
15、2 且 a b0，解得 a1， b1，因此 f(x)的解析式为 f(x) x2 x1.(2)因为当 x1,1时， y f(x)的图象恒在 y2 x m的图象上方，所以在1,1上， x2 x12 x m恒成立；12即 x23 x1 m在区间1,1上恒成立所以令 g(x) x23 x1 2 ，(x32) 54因为 g(x)在1,1上的最小值为 g(1)1，所以 m4ac；2 a b1； a b c0；5 a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即 1,2 a b0，错误；b2a结合图象，当 x1 时， y0，即 a b c0，错误；由对称轴为 x1 知， b2 a.又函数图象开口向下，所以 a
16、0时， f(x)( x1) 2，若当 x 时， 2， 12n f(x) m恒成立，则 m n的最小值为( )A. B.13 12C. D134解析：选 D 当 x0， f(x) f( x)( x1) 2，因为 x ，所以 2， 12f(x)min f(1)0， f(x)max f(2)1，所以 m1， n0， m n1.所以 m n的最小值是 1.3已知函数 f(x) x2(2 a1) x3.(1)当 a2， x2,3时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1，求实数 a的值解：(1)当 a2 时， f(x) x23 x3， x2,3，对称轴为 x 2,3，32
17、13 f(x)min f 3 ，(32) 94 92 214f(x)max f(3)15，函数 f(x)的值域为 .214， 15(2)函数 f(x)的对称轴为 x .2a 12当 1，即 a 时，2a 12 12f(x)max f(3)6 a3，6 a31，即 a ，满足题意；13当 1，即 a 时，2a 12 12f(x)max f(1)2 a1，2 a11，即 a1，满足题意综上可知， a 或1.134求函数 y x22 x1 在区间 t， t1( tR)上的最大值解：函数 y x22 x1( x1) 22 的图象的对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，2)，函数图象如图所示，对 t进行讨论如下：(1)当对称轴在闭区间右边，即当 t11 t，即 1时，函数在区间 t， t1上单调递增，f(x)max f(t1)( t1) 22( t1)1 t22.综上所述， t 时，所求最大值为 t22 t1； t 时，所求最大值为 t22.12 1214
