1、1第七节对数与对数函数1对数概念如果 ax N(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog aN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数，log aN 叫做对数式其中常用对数：log 10Nlg N；自然对数：logeNln N对数式与指数式的互化： ax Nxlog aN性质loga10，log aa1， alogaN Nloga(MN)log aMlog aNloga log aMlog aNMN运算法 则 logaMn nlogaM(nR)a0，且 a1， M0， N0换底公式 换底公式：log ab (a0，且 a1， c0，且logcblogcac1
2、， b0)2对数函数的图象与性质函数 ylog ax(a0，且 a1)a1 0 a1图 象 在 y 轴右侧，过定点(1,0)图象特征当 x 逐渐增大时，图象是上升的当 x 逐渐增大时，图象是下降的定义域 (0，)值域 R单调性 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数当 x1 时， y0性质函数值变化规律当 x1 时， y0；当 0 x1 时， y0当 x1 时， y0；当 0 x1 时， y02谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.对数函数 ylog ax(a0，且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点( a,1)， ，函(1a， 1)数图象只
3、在第一、四象限在直线 x1 的右侧，当 a1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0 a1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低” 函数 ylog ax 与 ylog x 的图象关于 x 轴对称.1a熟记常用结论1换底公式的两个重要结论(1)logab ；(2)log ambn logab.1logba nm其中 a0 且 a1， b0 且 b1， m0， nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 0 c d1 a b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错
4、的打“”)(1)函数 ylog 2(x1)是对数函数( )(2)log2x22log 2x.( )(3)当 x1 时，log ax0.( )(4)若 MN0，则 loga(MN)log aMlog aN.( )(5)对数函数 ylog ax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)二、选填题1函数 ylg| x|( )A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减3C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选 B ylg| x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增
5、2已知 a0， a1，函数 y ax与 ylog a( x)的图象可能是( )解析：选 B 函数 ylog a( x)的图象与 ylog ax 的图象关于 y 轴对称，符合条件的只有 B.3函数 y 的定义域为_log0.5 4x 3解析：要使函数有意义，须满足Error!解得 x1.34答案： (34， 14函数 ylog a(x1)2( a0，且 a1)的图象恒过的定点是_解析：当 x2 时，函数 ylog a(x1)2( a0，且 a1)的值为 2，所以图象恒过定点(2,2)答案：(2,2)5计算：log 23log34( )log34_.3解析：log 23log34( ) 3 23l
6、og 32224.3log34lg 3lg 2 2lg 2lg 3 12log34答案：4考 点 一 对 数 式 的 化 简 与 求 值 基 础 自 学 过 关 题组练透1设 loga2 m，log a3 n，则 a2m n的值为_解析：由已知得 a2m n a2loga2log a3 aloga4log a3 aloga1212.答案：122已知 log189 a,18b5，则 log3645_(用关于 a， b 的式子表示)解析：因为 18b5，所以 log185 b，又 log189 a，于是 log3645 log1845log18364 .log18 951 log182 a b1
7、log18189 a b2 a答案：a b2 a3计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2) 2；(2) ； lg 3 2 lg 9 1 lg27 lg 8 lg1 000lg 0.3lg 1.2(3)(log32log 92)(log43log 83)解：(1)原式(lg 2) 2(1lg 5)lg 2lg 5 2(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式 lg 3 2 2lg 3 1(32lg 3 3lg 2 32) lg 3 1 lg 3 2lg 2 1 . 1 lg 3 32 lg 3 2lg 2 1 lg 3 1
8、lg 3 2lg 2 1 32(3)原式log 32log43log 32log83log 92log43log 92log83 lg 2lg 3 lg 32lg 2 lg 2lg 3 lg 33lg 2 lg 22lg 3 lg 32lg 2 lg 22lg 3 lg 33lg 2 .12 13 14 16 54名师微点对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的 lg 2lg 51.考 点 二 对 数 函 数 的 图 象 及
9、应 用 师 生 共 研 过 关 典例精析例 1 (2019合肥质检)函数 yln(2| x|)的大致图象为( )5解析 令 f(x)ln(2| x|)，易知函数 f(x)的定义域为 x|2 x2，且 f( x)ln(2| x|)ln(2| x|) f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 C、D.由对数函数的单调性及函数 y2| x|的单调性知 A 正确答案 A例 2 当 0 x 时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是( )12A. B.(0，22) (22， 1)C(1， ) D( ，2)2 2解析 易知 0 a1，函数 y4 x与 ylog ax 的大致图象如图，则由题意可知只
10、需满足 loga 4 ，12解得 a ， a1，故选 B.22 22答案 B变 式 发 散 1(变条件)将例 2 中“4 xlog ax”变为“4 xlog ax 有解” ， a 的取值范围为_解析：若方程 4xlog ax 在 上有解，则函数 y4 x与函数 ylog ax 的图象在(0，12上有交点(0，12由图象可知Error!解得 0 a ，即 a 的取值范围为 .22 (0， 22答案： (0，222(变条件)若例 2 变为：已知不等式 x2log ax0 对 x 恒成立，则实数 a 的(0，12)6取值范围为_解析：由 x2log ax0 得 x2log ax，设 f1(x) x2
11、， f2(x)log ax，要使 x 时，(0，12)不等式 x2log ax 恒成立，只需 f1(x) x2在 上的图象在 f2(x)log ax 图象的下方即(0，12)可当 a1 时，显然不成立；当 0 a1 时，如图所示，要使 x2log ax 在 x 上恒成立，需 f1 f2 ，(0，12) (12) (12)所以有 2log a ，解得 a ，所以 a1.(12) 12 116 116即实数 a 的取值范围是 .116， 1)答案： 116， 1)3(变条件)若例 2 变为：当 0 x 时， log ax，则实数 a 的取值范围为14 x_解析：若 log ax 在 x 上恒成立，
12、则 0 a1，且 y 的图象在 ylog axx (0，14 x图象的下方，如图所示，由图象知 log a ，14 14所以Error!解得 a1.116即实数 a 的取值范围是 .(116， 1)答案： (116， 1)解题技法(1)识别对数函数图象时，要注意底数 a 以 1 为分界：当 a1 时，是增函数；当0 a1 时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以 y 轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解7口 诀 记 忆 对 数 增 减 有 思 路 ， 函 数 图 象 看 底 数 ；底 数 只 能 大 于 0， 等 于 1来 也 不
13、 行 ；底 数 若 是 大 于 1， 图 象 从 下 往 上 增 ；底 数 0到 1之 间 ， 图 象 从 上 往 下 减 ；无 论 函 数 增 和 减 ， 图 象 都 过 1， 0 点 .过关训练1若函数 y a|x|(a0，且 a1)的值域为 y|y1，则函数 ylog a|x|的图象大致是( )解析：选 B 若函数 y a|x|(a0，且 a1)的值域为 y|y1，则a1，故函数 ylog a|x|的图象大致如图所示故选 B.2设方程 10x|lg( x)|的两个根分别为 x1， x2，则( )A x1x20 B x1x20C x1x21 D0 x1x21解析：选 D 作出 y10 x与
14、 y|lg( x)|的大致图象，如图显然 x10， x20.不妨令 x1 x2，则 x11 x20，所以 10x1lg( x1)，10 x2lg( x2)，此时 10x110 x2，即 lg( x1)lg( x2)，由此得 lg(x1x2)0，所以 0 x1x21，故选 D.考 点 三 对 数 函 数 的 性 质 及 应 用 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 比较对数值的大小例 1 设 alog 3， blog 2 ， clog 3 ，则 a， b， c 的大小关系是( )3 2A a b c B a c bC b a c D b c a解析 因为 alog 3log 331， bl
15、og 2 log 221，所以 a b；又38 (log 23)21， c0，所以 b c.故 a b c.bc12log2312log32答案 A考法(二) 解简单的对数不等式例 2 设函数 f(x)Error!若 f(a) f( a)，则实数 a 的取值范围是( )A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析 由题意得Error!或Error!解得 a1 或1 a0.故选 C.答案 C考法(三) 对数函数的综合应用例 3 若函数 f(x)log ( x24 x5)在区间(3 m2， m2)内单调递增，则实12数 m 的取值范围为( )A. B.4
16、3， 3 43， 2C. D.43， 2) 43， )解析 由 x24 x50，解得1 x5.二次函数 y x24 x5 的对称轴为 x2.由复合函数单调性可得函数 f(x)log 12( x24 x5)的单调递增区间为(2,5)要使函数 f(x)log ( x24 x5)在区间12(3m2， m2)内单调递增，只需Error!解得 m2.43答案 C规律探求看个性考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小常有以下题型及求法：9考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于 0；(2)底数 a 的值考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问
17、题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与 1 的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性找共性无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论过关训练1设 a， b， c 均为正数，且 2alog
18、a， blog b， clog 2c，则 a， b， c 的12(12) 12(12)大小关系是( )A a b c B c b aC c a b D b a c解析：选 A a0，2 a1，log a1，0 a .212 b0，0 b1，0log b1， b1.(12) 212 c0， c0，log 2c0， c1.(12)0 a b1 c，故选 A.122(2018全国卷)设 alog 0.20.3， blog 20.3，则( )10A a b ab0 B ab a b0C a b0 ab D ab0 a b解析：选 B alog 0.20.3log 0.210， blog 20.3log
19、 210， ab0. a bab log 0.30.2log 0.32log 0.30.4，1log 0.30.3log 0.30.4log 0.310，1a 1b0 1， ab a b0.a bab3若函数 f(x)log a(x22 x a)(a0，且 a1)有最小值 ，则实数 a 的值等于612_解析：令 g(x) x22 x a，则 f(x)log ag(x)6若 a1，由于函数 f(x)有最小值 ，12则 g(x)应有最小值 ，a而 g(x) x22 x a( x )2 a6，6 6当 x 时，取最小值 a6，6因此有Error!解得 a9.若 0 a1，由于函数 f(x)有最小值
20、，12则 g(x)应有最大值 ，a而 g(x)不存在最大值，不符合题意综上，实数 a9.答案：94(2019西安模拟)已知函数 f(x)log a(8 ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析：当 a1 时， f(x)1 等价于 8 ax a 在1,2上恒成立即 a min ，1 a .(8x 1) 83 83当 0 a1 时， f(x)1 等价于 08 ax a 在1,2上恒成立，即 a max且 a(8x 1)min.(8x)解得 a4 且 a4，故不存在综上可知， a 的取值范围为 .(1，83)答案： (1，83)课 时 跟 踪 检
21、 测 11一、题点全面练1若函数 y f(x)是函数 y ax(a0，且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)( )Alog 2x B.12xClog x D2 x212解析：选 A 由题意知 f(x)log ax(a0，且 a1)， f(2)1，log a21， a2. f(x)log 2x.2如果 log xlog y0，那么( )112A y x1 B x y1C1 x y D1 y x解析：选 D log xlog ylog 1， x y1.121223(2019新乡一模)若 log2(log3a)log 3(log4b)log 4(log2c)1，则 a， b， c 的大小关
22、系是( )A a b c B b a cC a c b D b c a解析：选 D 由 log2(log3a)1，可得 log3a2，故 a3 29；由 log3(log4b)1，可得 log4b3，故 b4 364；由 log4(log2c)1，可得 log2c4，故c2 416. b c a.故选 D.4(2019郑州模拟)设 alog 50.5， blog 20.3， clog 0.32，则 a， b， c 的大小关系是( )A b a c B b c aC c b a D a b c解析：选 B alog 50.5log 50.21， blog 20.3log 20.51， clog
23、0.32log 0.3 1，log1030.32 ，log 50.5 .1lg 0.2lg lg 2lg 0.3 lg 0.5lg 5 lg 2 lg 5 lg 2lg 0.20.30， ，即 c a，故 b c a.故选 B.lg 2lg 0.3 lg 2lg 0.25(2019长春模拟)已知对数函数 f(x)log ax 是增函数，则函数 f(|x|1)的图象大致是( )12解析：选 B 由函数 f(x)log ax 是增函数知， a1. f(|x|1)log a(|x|1)Error!由对数函数图象知选 B.6(2018肇庆二模)已知 f(x)lg(10 x)lg(10 x)，则( )A
24、 f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数B f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数C f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数D f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数解析：选 D 由Error!得 x(10,10)，故函数 f(x)的定义域为(10,10)，关于原点对称由于 f( x)lg(10 x)lg(10 x) f(x)，故函数 f(x)为偶函数而 f(x)lg(10 x)lg(10 x)lg(100 x2)， y100 x2在(0,10)上递减， ylg x 在(0,10)上递增，故函数 f(x)在(0,10)上递减7(2018郑州月考)已知 2x7 2y A，
25、且 2，则 A 的值是_1x 1y解析：由 2x7 2y A 得 xlog 2A， y log7A，则12 log A22log A7log A982， A298.1x 1y 1log2A 2log7A又 A0，故 A 7 .98 2答案：7 28已知函数 f(x)|log 3x|，实数 m， n 满足 0 m n，且 f(m) f(n)，若 f(x)在m2， n上的最大值为 2，则 _.nm解析：因为 f(x)|log 3x|Error!所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由 0 m n 且 f(m) f(n)，可得Error!则Error!所以 0 m2 m1，则
26、f(x)在 m2,1)上单调递减，在(1， n上单调递增，所以 f(m2) f(m) f(n)，则 f(x)在 m2， n上的最大值为 f(m2)log 3m22，解得 m ，则 n3，所以 9.13 nm答案：99已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f(x)log a(x1)( a0，且a1)13(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若1 f(1)1，求实数 a 的取值范围解：(1)当 x0 时， x0，由题意知 f( x)log a( x1)，又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f( x) f(x)当 x0 时， f(x)log a( x1)，函数 f(x)的解析
27、式为 f(x)Error!(2)1 f(1)1，1log a21，log a log a2log aa.1当 a1 时，原不等式等价于Error!解得 a2；当 0 a1 时，原不等式等价于Error!解得 0 a .12综上，实数 a 的取值范围为 (2，)(0，12)10已知函数 f(x)log a(3 ax)(a0，且 a1)(1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由解：(1) a0 且 a1，设 t(x)3 ax，则 t(
28、x)3 ax 为减函数，当 x0,2时，t(x)的最小值为 32 a，当 x0,2时， f(x)恒有意义，即 x0,2时，3 ax0 恒成立32 a0， a .32又 a0 且 a1，0 a1 或 1 a ，32实数 a 的取值范围为(0,1) .(1，32)(2)由(1)知函数 t(x)3 ax 为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数， ylog at 在1,2上为增函数， a1，当 x1,2时， t(x)的最小值为 32 a， f(x)的最大值为 f(1)log a(3 a)，Error!即Error!故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1.二
29、、专项培优练14(一)易错专练不丢怨枉分1若 f(x)lg( x22 ax1 a)在区间(，1上单调递减，则 a 的取值范围为( )A1,2) B1,2C1，) D2，)解析：选 A 令函数 g(x) x22 ax1 a( x a)21 a a2，其图象的对称轴为x a，要使函数 f(x)在(，1上单调递减，则Error!即 Error!解得 1 a2，即 a1,2)，故选 A.2(2019湛江模拟)已知 loga 1，那么 a 的取值范围是_34解析：log a 1log aa，故当 0 a1 时， ylog ax 为减函数，0 a ；当 a134 34时， ylog ax 为增函数， a
30、， a1.综上所述， a 的取值范围是 (1，)34 (0， 34)答案： (1，)(0，34)3函数 f(x)log (x24)的单调递增区间为_13解析：设 t x24，因为 ylog t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增13区间，即求函数 t x24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)答案：(，2)(二)交汇专练融会巧迁移4与指数函数、幂函数的交汇已知 x1log 2， x22 ， x3满足 x3log 3x3，31(13)则 x1， x2， x3的大小关系是( )A x1 x2 x3 B x1 x3 x2C x2 x1 x3 D x3 x1 x2解析：选
31、 A 由题意可知 x3是函数 y x与 ylog 3x 的图象(13)交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数 y x与 ylog 3x 的图象，如图所示，由(13)15图象可知 x31，而 x1log 20,0 x22 1，所以 x3 x2 x1.故选 A.35与数列的交汇已知数列 an满足 log2an1 1log 2an(nN *)，且a1 a2 a3 a101，则 log2(a101 a102 a110)_.解析：log 2an1 1log 2an(nN *)，log 2an1 log 2an1，即 log2 1， 2.an 1an an 1an数列 an是公比 q2 的等比数列，则
32、a101 a102 a110( a1 a2 a3 a10)q1002 100，log 2(a101 a102 a110)log 22100100.答案：100(三)素养专练学会更学通6逻辑推理设 x， y， z 为正实数，且 log2xlog 3ylog 5z0，则 ， 的大小关x2y3 z5系不可能是( )A. B. x2 y3 z5 x2 y3 z5C. D. z5 y3 x2 y3 x2 z5解析：选 D 设 log2xlog 3ylog 5z k0，可得 x2 k1， y3 k1， z5 k1. 2 k1 ， 3 k1 ， 5 k1 .x2 y3 z5若 0 k1，则函数 f(x) x
33、k1 单调递减， ；x2 y3 z5若 k1，则函数 f(x) xk1 1， ；x2 y3 z5若 k1，则函数 f(x) xk1 单调递增， .x2 y3 z5 ， 的大小关系不可能是 D.x2y3 z57直观想象已知点 A(1,0)，点 B 在曲线 G： yln x 上，若线段 AB 与曲线 M： y相交且交点恰为线段 AB 的中点，则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点那么曲线 G1x关于曲线 M 的关联点的个数为( )16A0 B1C2 D4解析：选 B 设 B(x0，ln x0)， x00，线段 AB 的中点为 C，则 C ，又(x0 12 ， ln x02 )点 C 在曲线 M 上，故 ，即 ln x0 .此方程根的个数可以看作函数 yln ln x02 2x0 1 4x0 1x 与 y 的图象的交点个数画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有 1 个交点故4x 1选 B.8逻辑推理若方程 2log2xlog 2(x1) m1 有两个不同的解，则实数 m 的取值范围是_解析：由题意知Error!即 x1，方程化简为 log2 m1，故 2 m1 ，即x2x 1 x2x 1x22 m1 x2 m1 0，当 x1 时，此方程有两个不同的解，所以Error!得 m1.答案：(1，)17
