1、1第七节幂函数一、基础知识批注理解深一点1幂函数的概念一般地，形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量， 为常数幂函数的特征(1)自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数 为常数；(2)x 的系数为 1；(3)只有一项2五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y x y x2 y x3 y x12y x1图象定义域 R R R x|x0 x|x0值域 R y|y0 R y|y0 y|y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(，0)减，(0，)增增 增(，0)和(0，)减公共点 (1,1)二、常用结论汇总规律多一点对于形如 f(x) x (其中 mN *， nZ， m 与
2、n 互质)的幂函数：nm(1)当 n 为偶数时， f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称；(2)当 m， n 都为奇数时， f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当 m 为偶数时， x0(或 x0)， f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)三、基础小题强化功底牢一点2 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)函数 y2 x 是幂函数( )13(2)当 n0 时，幂函数 y xn在(0，)上是增函数( )(3)幂函数的图象不经过第四象限( )答案：(1) (2) (3)(二)选一选1已知幂函数 f(x) kx 的图象过点 ，则 k ( )(12，
3、22)A. B112C. D232解析：选 C 因为 f(x) kx 是幂函数，所以 k1.又 f(x)的图象过点 ，所以 ，所以 ，所以 k 1 .(12， 22) (12) 22 12 12 322已知幂函数 y f(x)的图象经过点 ，则 f(2)( )(4，12)A. B414C. D.22 2解析：选 C 设 f(x) x ，图象过点 ，(4，12) f(4)4 ，解得 ，12 12 f(2)2 .1223函数 y x 1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是( )解析：选 B 函数 y x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，12函数 y x 1 的图象可看作由函数
4、y x 的图象向下平移一个单位得到的(如选项 A 中的2123图所示)，将函数 y x 1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B.2(三)填一填4若 y ax 是幂函数，则该函数的值域是_2a解析：由已知 y ax 是幂函数，得 a1，所以 y x ，所以 y0，故该函数的值21 12域是0，)答案：0，)5函数 f(x)( m2 m1) xm是幂函数，且在 x(0，)上为增函数，则实数 m 的值为_解析： f(x)( m2 m1) xm是幂函数， m2 m11，解得 m1 或 m2.又 f(x)在(0，)上为增函数， m2.答案：2考 点 一 幂 函 数 的 图 象 与 性 质典例 (1)(
5、2019赣州阶段测试)幂函数 y f(x)的图象经过点(3， )，则 f(x)是( )33A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数(2)已知幂函数 f(x)( n22 n2) x (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)23上是减函数，则 n 的值为( )A3 B1C2 D1 或 2解析 (1)设 f(x) x ，将点(3， )代入 f(x) x ，解得 ，所以 f(x)3313 x ，可知函数 f(x)是奇函数，且在(0，)上是增函数，故选 C.13(2)幂函数 f(x)( n22 n2) x
6、在(0，)上是减函数，23 n4Error! n1，又 n1 时， f(x) x2 的图象关于 y 轴对称，故 n1.答案 (1)C (2)B解题技法 幂函数 y x 的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)(2)当 0 时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)内单调递增；当 0 时，根据题意知 pb ，因为 y x是23 (12)3(15)23(12)减函数，所以 a bc B acbC cab D bca解析：选 B 因为 y x 在第一象限内为增函数，所以 a c ，因为25 (35)2(25)y x是减函数，所以 c b ，
7、所以 acb.(25) (25) (25)32若( a1) bc，故选 C.7设 x0.2 0.3， y0.3 0.2， z0.3 0.3，则 x， y， z 的大小关系为( )A xz.由函数 y x0.3在(0，)上单调递增，可得 xf(a1)的实数 a 的取值范围解：(1)幂函数 f(x)的图象经过点(2， )，2 2 ，即 2 2 .2 ()1m()1m m2 m2，解得 m1 或 m2.又 mN *， m1.(2)由(1)知 f(x) x ，12则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由 f(2 a)f(a1)，得Error!解得 1 a .32 a 的取值范围为 .1，32)9
