1、1第八节指数式、对数式的运算一、基础知识批注理解深一点1.指 数 与 指 数 运 算(1)根式的性质( )n a(a 使 有意义) na na 负 数 没 有 偶 次 方 根 .当 n 是奇数时， ；nan a当 n 是偶数时， | a|Error!nan(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键 a (a0， m， nN *，且 n1)mnnam a (a0， m， nN *，且 n1)1a 1nam0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (3)有理数指数幂的运算性质 aras ar s(a0， r， sQ)； ar s(a0， r， sQ)；
2、aras( ar)s ars(a0， r， sQ)；( ab)r arbr(a0， b0， rQ)(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运算(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂2对数的概念及运算性质一般地，如果 a(a0，且 a1)的 b 次幂等于 N，就是 ab N，那么，数 b 就叫做以 a为底 N 的对数，记作：log aN b.指数、对数之间的关系2(1)对数的性质负数和零没有对数；1 的对数是 ；零底数的对数等于 .1(2)对数的运算性质如果 a0，且 a1， M 0， N0，那么log a(MN)log aMlog aN；log a
3、log aMlog aN；MNlog a(Nn) nlogaN(nR)二、常用结论汇总规律多一点1换底公式的变形(1)logablogba1，即 logab (a， b 均大于 0 且不等于 1)；1logba(2)logambn logab(a， b 均大于 0 且不等于 1， m0， nR)；nm(3)logNM (a， b， N 均大于 0 且不等于 1， M 0)logaMlogaN logbMlogbN2换底公式的推广logablogbclogcdlog ad(a， b， c 均大于 0 且不等于 1， d0)3对数恒等式a N(a0 且 a1， N0)log三、基础小题强化功底牢一
4、点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1) 4.( )4 4 4(2) 与( )n都等于 a(nN *)( )nan na(3)log2x22log 2x.( )(4)若 MN0，则 loga(MN)log aMlog aN.( )答案：(1) (2) (3) (4)(二)选一选1已知 a0，则下列运算正确的是( )A a a a B a a 034 343C( a )2 a D a a a349 132答案：D2化简 (x0，则下列等式成立的是( )A(2) 2 4 B2 a3 12a3C(2) 01 D( a )411a解析：选 D 对于 A，(2) 2 ，故 A 错
5、误；对于 B，2 a3 ，故 B 错误；对于14 2a3C，(2) 01，故 C 错误；对于 D，( a )4 ，故 D 正确11a2化简 4a b 的结果为( )231( 23ab)A B2a3b 8abC D6 ab6ab解析：选 C 原式6 a b 6 ab1 .213236ab3计算： 2 (0.002) _.(32) ( 278) 2解析：原式 2 (23) ( 32)3(1500) 10 10 .49 49 5 5答案：10 5考 点 二 对 数 式 的 化 简 与 求 值典例 计算下列各式：(1) ；(2)log 23log38( )log34.lg 2 lg 5 lg 8lg
6、50 lg 40 35解 (1)原式 1.lg258lg5040lg54lg54(2)原式 3 33 325.lg 3lg 2 3lg 2lg 3 lo1log解题技法 对数运算的一般思路拆首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并合将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题组训练1(log 29)(log34)( )A B14 12C2 D4解析：选 D 法一：原式 4.lg 9lg 2 lg 4lg 3 2lg 32lg 2lg 2lg 3法二：原式2log 23 224
7、.log24log232计算： 100 _.(lg 14 lg 25) 1解析：原式lg 100 lg 10 2 1021020.(14125) 2答案：203(2018全国卷)已知函数 f(x)log 2(x2 a)若 f(3)1，则 a_.解析： f(x)log 2(x2 a)且 f(3)1，1log 2(9 a)，9 a2， a7.答案：74计算：log 54 (3 ) 7 _.21log03 2log2解析：原式log 52 (3 ) 2log 5(1032)log 551.2l1答案：1课 时 跟 踪 检 测 61设 log 23，则 3x3 x的值为( )1xA. B.83 32C
8、. D.52 73解析：选 B 由 log 23，得 3x2，3 x3 x2 .1x 12 322化简 (6 a b ) 的结果为( )(2ab) ( 3ab)A4 a B4 aC11 a D4 ab解析：选 B 原式2(6)(3) a b 4 ab04 a.2136533(log 29)(log32)log a log a (a0，且 a1)的值为( )54 (45a)A2 B3C4 D5解析：选 B 原式(2log 23)(log32)log a 21log aa3.(5445a)4设 a0，将 表示成分数指数幂的形式，其结果是( )a2a3a2A a B a12 56C a D a76
9、32解析：选 C a a .a2a3a2 a2aa a2a a2a 5-675如果 2loga(P2Q)log aPlog aQ(a0，且 a1)，那么 的值为( )PQA. B414C1 D4 或 1解析：选 B 由 2loga(P2Q)log aPlog aQ，得 loga(P2Q) 2log a(PQ)由对数运算性质得( P2Q) 2 PQ，即 P25 PQ4Q 20，所以 PQ(舍去)或 P4Q，解得 4.PQ6若 lg 2，lg(2 x1)，lg(2 x5)成等差数列，则 x 的值等于( )A1 B0 或187C. Dlog 2318解析：选 D 由题意知 lg2lg(2 x5)2l
10、g(2 x1)，由对数的运算性质得 2(2x5)(2 x1) 2，即(2 x)290,2 x3， xlog 23.7已知函数 f(x)Error!则 f(f(1) f 的值是( )(log3 12)A2 B3C4 D5解析：选 D log 3 0,且 a1)， g(x)log bx(b0,且 b1) ， h(x) xc，则 f a(12)2， g log b log b22， h c2， a4 ， b ， c1， f(x1)1(12) 12 (12) (12) 224 x14 x1 1，同理， x2 ， x3 . x1 x2 x3 .14 14 32答案：3213化简下列各式：(1) 0.50.1 2 3 0 ；(279) (21027)-33748(2) ；3aa 3 3a 3a 1(3) .lg 3 25lg 9 35lg27 lg3lg 81 lg 27解：(1)原式 3 100 3 100.(259) 10.12 (6427)3748 53 916 3748(2)原式 a a a a .3aa 3aa 3a 3a 68(3)法一：原式 .lg 3 45lg 3 910lg 3 12lg 34lg 3 3lg 3(1 45 910 12)lg 3 4 3 lg 3 115法二：原式 .lg 39273lg8127 lg 3lg 3 1159
