1、- 1 -河北省大名一中 2018-2019 学年高二数学下学期第四周周考试题 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 1如果函数 f(x)=ax+b 在区间1,2上的平均变化率为 3,则 a= ( )A-3 B2 C3 D-22若函数 在区间 内可导，且 ，若 ，则yfx,ab0,xab04fx的值为（ ）00limhfxfhA2 B C8 D1243若双曲线 (a0，b0)的渐近线与圆(x-2) 2+y2=2 相交，则此双曲线的xyab离心率的取值范
2、围是A(2，+) B(1，2) C(1， ) D( ，+) 4如图， 中， ， ，若以 为焦点的双曲线的渐近A120OB,AB线经过点 ，则该双曲线的离心率为CA B C D235275已知直线 ： 与抛物线 ： 相交于 ， 两点，与 轴相l1ykx2xyABy交于点 ，点 满足 ， ，过点 作抛物线的切线 ， 与直线EM/AOE/MB l相交于点 ，则 的值（ ）1yN2A等于 8 B等于 4 C等于 2 D与 有关k6 在以下的类比推理中结论正确的是 A“若 ,则 ”类比推出“若 ,则 ”3aba0abaB“若 ”类比推出“ ”()c()c- 2 -C“若 ” 类比推出“ （c0）”()a
3、bcabcD“ ” 类比推出“ ”n（ ） n（ ）7用数学归纳法证明 过程中，由 递推()222 2113543+-=- =nk到 时，不等式左边增加的项为（ ）=+1nkA B C D()2()2k2+k()2+18已知椭圆 和 ，椭圆 的左右焦点2:1xyCab0)a22:OxyabC分别为 、 ，过椭圆上一点 和原点 的直线交圆 于 、 两点.若 ，1F2PMN124PF则 的值为（ ）PMNA B C D24689若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ 32xaf1,2a）A B C D510,235,20,32,10若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于（ (,
4、)yx1594axa）A 或 B 或 74256126C 或 D 或 411一物体在变力 F(x)5 x2(力单位： N，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30方向- 3 -作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时， F(x)做的功为A B C D3j23j43j2j12抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛物线 上的两个动点，2:(0)Eypx,ABE且满足 过弦 的中点 作抛物线 准线的垂线 ，垂足为 ，则3FAMEMN的最大值为( )MNABA B 1 C D2323二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13若双曲线 的离心率为 2，则 的
5、值为 21yxmm14把数列 的各项依次排列，如图所示，则第 11 行的第 15 个数为_n15设抛物线 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和2:4CyxOCx抛物线 交于 两点，则 _.,ABB16在平面直角坐标系 中,已知椭圆 = 与不过坐标原点xy2:xyab1(0)的直线 = 相交于 两点,线段 的中点为 ,若 的斜率之积为O:lykxmAB、 MABO、,则椭圆 的离心率为_.34C三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数 .()2ln,fxaxR（1）讨论函数 的单调区间；- 4 -（2）若函数 在 处取得极值，
6、对 恒成立，求实()fx10,()3xfxb数 的取值范围.b18已知 为椭圆 上两个不同的点， 为坐标原点设直线,AB2C:yO的斜率分别为 ,O12,k（）当 时，求 ；12kOA（）当 时，求 的取值范围12k19（本小题满分 14 分） 已知抛物线 ，直线 截抛物)0(2pyx062yx线 C 所得弦长为 58（1）求抛物线的方程；（2）已知 是抛物线上异于原点 的两个动点，记 若BA、 O),90(AOB试求当 取得最小值时 的最大值,tanmSAOB tan20已知函数 （ ）32fxmx,R（1）若 在 处取得极大值，求实数 的取值范围；1（2）若 ，且过点 有且只有两条直线与曲
7、线 相切，求实数0f0,Pyfx的值.m21设函数 .()xfea（1）若 对一切 恒成立，求 的最大值；0,aRa（2）设 ，且 是曲线 上任意()xgxfe1212,()AyBxxygx两点，若对任意 ，直线 的斜率恒大于常数 ，求 的取值范围.1m- 5 -22已知函数 )(ln2)1(2)( Rxaxf(1)若曲线 在 x=l 和 x=3 处的切线互相平行，求 a 的值及函数 的单fy )(xfy调区间；(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得xexg)2()2,0(1x)2,0(x，求实数 a 的取值范围()21xf- 6 -第 一 次 月 考 试 题 答 案一 、 选 择 题 ： 本
8、 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1C【解析】根据平均变化率的定义，可知 231abyaxA故选2C【解析】由函数在某一点处的定义可知， ,故选 C.000022limlimh hfxffxfh08fx点睛: 函数 y f(x)在 x x0处的导数定义为:函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是 li ，称其为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作0lixff( x0)或 .当 x 变化时， f( x)称为 f(x)的导函数，则 f( x) 0|y y.特别提醒：
9、注意 f( x)与 f( x0)的区别， f( x)是一个函数，0limxff( x0)是常数， f( x0)是函数 f( x)在点 x0处的函数值3 C【 解 析 】 渐 近 钱 方 程 222,12byxdabcaeab4D【解析】【分析】设 AB=BC=2，取 AB 的中点为 O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线 OC，由余弦定理可得 OC，cosCOB，求得 tanCOB，即为渐近线的斜率，由 a，b，c 的关系和离心率公式，即可得到【详解】- 7 -设 AB=BC=2，取 AB 的中点为 O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线 OC，在三角形 OBC 中，cosB= ，OC 2=O
10、B2+BC22OBBCcosB=1+4212（ ）=7，OC= ，则 cosCOB= = ，可得 sinCOB= = ，tanCOB= = ，可得双曲线的渐近线的斜率为 ，不妨设双曲线的方程为 =1（a，b0），渐近线方程为 y= x，可得 = ，可得 e= = = = = 故选：D- 8 -【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题5C【解析】由 ，设 ，则 ，221, 0ykxkx12,AxyB12x又 的方程为 ，所以 OB2yx212Myx设切点 ，因为 ，所以 的方程为2,tTlktl，22t tyxtyx所以 ， ，211tt21NNt
11、tx又点 的坐标为 ，所以 的值为E0,2ME2221tt故选：C点睛：求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值6 C【 解 析 】 A 错 ， 因 为 类 比 的 结 论 a 可 以 不 等 于 b;B 错 .类 比 的 结 论 不 满 足分 配 律 ；C 由 于 c 的 任 意 性 ， 所 以 此 类 比 的 结 论 是 正 确 的 .D 乘 法 类 比 成 加 法 是不 成 立 的 .7D- 9 -【解析】试题分析：当 时,左边为 ,当 时,左边为=nk()2221351k+-=nk+,多了一项 .()22
12、2135+-考点：数学归纳法.8B【解析】设 ， ， ，即0,Pxy124FP004aex， 在椭圆上， ，则2420aaxcc 201xyb，由圆的相交弦定理及对称性得222200 41xbybac22220PMNOPaxy4222 24babcc422abbcc，故选 B22 22a9B【解析】若函数 在区间 上单调递减，则32xaf1,2在 上恒成立，即 在 上恒成立，而210fxa , x,，即 ；故选 B.max52a10B【解析】三次函数的导函数为 设切点为 ， ，所以切线方程，另一曲线的导数 ，设切点为 ， ，所以切线方程 ，两切线均过（1，0）点，代入得- 10 -， ， =
13、，三个式子解得， 或 ，选 B.【点睛】可导函数 y=f(x)在 处的导数就是曲线 y=f(x)在 处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知 y=f(x)在 处的切线是 ,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点 ,把(m,n) 代入 ,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。11C【解析】分析：由物理学知识知，变力 所作的功对应“位移力”，只要求，进而计算可得答案.详解：由于 与位移方向成 角，如图：F 在位移方向上的分力 ，.故选：C.
14、点睛：本题体现了数理结合的思想方法.12A【解析】【分析】- 11 -设| AF| a，| BF| b，连接 AF、 BF由抛物线定义得 2|MN| a+b，由余弦定理可得|AB|2（ a+b） 2 ab，进而根据基本不等式，求得| AB|的取值范围，从而得到本题答案【详解】设| AF| a，| BF| b，连接 AF、 BF由抛物线定义，得| AF| AQ|，| BF| BP|在梯形 ABPQ 中，2| MN| AQ|+|BP| a+b由余弦定理得，|AB|2 a2+b22 abcos120 a2+b2+ab配方得，| AB|2（ a+b） 2 ab，又 ab （ a+b） 2 ab（ a+
15、b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2得到| AB| （ a+b）所以 ，即 的最大值为 故选： A【点睛】二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）133.【解析】- 12 -试题分析：依题意可得 .本题考2221,1,4,3cabmcma查的双曲线的基本知识.关键是要把所给的方程与标准方程相对应好.考点：1.双曲线的标准方程.2.双曲线的离心率.14【解析】分析：根据数表中数据，发现规律，根据规律结合等差数列的求和公式、等比数列的通项公式可得第 行第 个数是数列 的第 项为 .详解：第 行有 个数；第 行有 个数； 第 行有 个数，,第 行有
16、 个数，前 行共有 个数，第 行第 个数是数列 的第 项为 ，故答案为 .点睛：归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.152【解析】 由抛物线 的焦点为 ，2:4Cyx1,0经过抛物线 的焦点且垂直与 的直线和抛物线 交于 两点，C,AB则 ,1,2,2ABOAB所以 .- 13 -16 12【解析】设 ,联立直线与椭圆方程,消去 y 可
17、得120,AxyBMxy= ,则 = 所以 =22akbakmab120x2akmb0,由题意可得 = = ,又 a2=b2+c2,所以椭圆的离心率为2k202ykxab234.12故答案为 12三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(1) 当 时， 的递减区间是 ，无递增区间；当 时， 的递增区间是 ，递减区间是 .(2) .【解析】分析：（1）求出 ，分两种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）由函数 在 处取得极值，可得 ， ，等价于利用导数研究函数的单调性可得以 ，
18、从而得 .- 14 -详解：（1）在区间上 ，若 ，则 ， 是区间 上的减函数；若 ，令 得在区间 上， ，函数 是减函数；在区间 上， ，函数 是增函数；综上所述，当 时， 的递减区间是 ，无递增区间；当 时， 的递增区间是 ，递减区间是 .（2）因为函数 在 处取得极值，所以解得 ，经检验满足题意.由已知 ，则令 ，则易得 在 上递减，在 上递增，所以 ，即 .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或恒成立（ 即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.本
19、题是利用方法 求得 的最大值.- 15 -18（） ；（） 10312,12 【解析】试题分析：（）由直线 OA 斜率 ，得直线 OA 的方程为 y=2x，代入椭1k圆方程得出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出（） 设点A ，B ，直线 AB 的方程为 y=kx+b与椭圆方程联立可得1,xy2,，0，再利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出24kbx试题解析：（）由直线 斜率 ，得直线 的方程为 ，OA12kOA2yx代入椭圆方程得 ，所以29x2103x（）设点 ， ，直线 的方程为 1,y2,ByABykxb由 消去 得 2, xykb2240kxb故 ，且 21680122,1 .
20、kbx由 得 ，21212xyy将 ， 代入得 ，1ykbkb21210kxbkxb将代入得 242联立 与 得0b210, k解得 的取值范围为 k 21, 考点：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系19（1） ；（2） 时， 的最大值为 xy21mintan2【解析】- 16 -试题分析：（1）联立方程消去 整理为关于 的一元二次方程,由题意可知其判别式yx大于 0由韦达定理可得两根之和,两根之积根据弦长公式可求得 的值,从而可得抛物线p方程（2） 可得 设1sinta2AOBSm11cos22OABAOB根据向量数量积公式可表示 ,再用基本不等式求)0,4(),(),(121xx m的最
21、小值不妨设 ,设直线 的倾斜角分别为 则 根据正m,AB12,21切的两角差公式可求 tan试题解析：解：（1）联立 040622pxyxp04862p .1584162122 ppMNxyC:,tanmSAOB.2,cosinsi2 OBAmOBA7（分）设 )0,4(),(),(2121xx则 令),4(21m),(21tt当 时， 此时 ,)(8)(22tt t.21min,21x不妨设 则01x（其中 为直线2)2(1)tan(t 1212 xxkOAB 21,的倾斜角）当且仅当 ，即 时等号成立OBA, 1x- 17 -故当 时， 的最大值为21mintan2考点：1 直线与圆锥曲线
22、截得的弦长；2 最值问题20（1） ；（2） 。 33【解析】试题分析：（1）根据条件得 ，化简得 ，再根据有极1032mn0值得 中判别式大于零，进而得 ，最后列表分析极大值条件得23xmn=0解得实数 的取值范围；（2）切线条数的确定决定于切点个数，所以设切1,点，转化为关于切点横坐标的方程 ，再利用导数研究函数32010xm有两零点，即极值为零，解得实数 的值.32hxm1试题解析：解：（） 23n32mn0由 得241n0. 3， 得 到2xmxx132m 0， 得 或由题 21,33解 得由得 m（） 02n0由 得所以 2x3x3因为过点 且与曲线 相切的直线有且仅有两条，,1yf
23、令切点是 ，0Px则切线方程为 00yfx由切线过点 ，所以有,1- 18 -001yfx 322000332mxmxx整理得 01x3201.所 以 ， 关 于 的 方 程 有 两 个 不 同 的 实 根32hhx令 ， 则 需 有 两 个 零 点2x6mx所以 m003， 且 得 或h,3由 题 ， 或 01,h0又 因 为 所 以 32m21所 以,即为所求解 得点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求 求方程 的根列表检验 在fxfxfx的根的附近两侧的符号下结论.0
24、fx(3)已知极值求参数.若函数 在点 处取得极值，则 ，且在该fx0,y0fx点左、右两侧的导数值符号相反.21（1） 的最大值为 ；（2）实数 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）当 时，将不等式 对一切 恒成立等价转化为来处理，利用导数求处函数 的最小值，进而建立有关参数 的不等式进行求解，- 19 -以便确定 的最大值；（2）先根据题意得到 ，假设 ，得到，进而得到，并构造新函数 ，利用函数 在 上为单调递增函数并结合基本不等式法求出 的取值范围.试题解析：（1）当 时，不等式 对一切 恒成立，则有，令 ，解得 ，列表如下：减 极小值 增故函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即，则
25、有 ，解得 ，即 的最大值是 ；（2）由题意知 ，不妨设 ，则有 ，即 ，令 ，则 ，这说明函数 在 上单调递增，且 ，所以 在 上恒成立，- 20 -则有 在在 上恒成立，当 时， ，则有 ，即实数 的取值范围是 .考点：1.不等式恒成立；2.基本不等式22（1）单 调 递 增 区 间 为 ， ，单 调 递 减 区 间 为 . （2）30 2 +3，ln2a.【解析】试题分析：（1）首先依题意求得 23a， 确 定 函 数 的 解 析 式 ，进 一 步 求 导 数 ： 7()()xfx，求驻点，分区间讨论导数值的正负，确定得到单调区间.（2）将问题加以转化：若 要 命 题 成 立 ， 只 须
26、 当 0,2x时 ， maxax()()fg.由 可 知 ， 当 0,2x时 ma()0g,2exgx所 以 只 须 max()0f.问题进一步转化成确定 ()f的 最 大 值 ， 注 意 到212()(1)xfxa，分 时 ， 时 ， a时 ，1时 ， 分 别 讨 论 .试题解析：（1） 21()(),(),(3)fxfafx ，由 ()3ff得 2a， 72()3xf 3 分- 21 -所 以 ： 单 调 递 增 区 间 为 ， ，yfx30 2 +单 调 递 减 区 间 为 . 6 分32，（2）若 要 命 题 成 立 ， 只 须 当 0,2x时 ， maxax()()fg.由 可 知 ， 当 时 02,2exgx所 以 只 须 max()f. 8 分对 f来 说 ， 2(1)(1)axf ， 当 12a时 ， max()()lnff当 时 ， 显 然 ax0f， 满 足 题 意 ，当 12a时 ， 令 ，12ln12hx， 所 以 递减，所以 ， 满 足 题 意 ，20hxxx0h所 以 1a满 足 题 意 ； 10 分 当 2时 ， ()fx在 0,2上 单 调 递 增 ，所 以 max()()lnffa得 1ln2a ， 12 分综 上 所 述 ， l21. 13 分考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.
