1、12019 年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 15 函数 函数模型和函数的综合应用【考点讲解】1、具本目标：函数模型及其应用（ 1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.考点解析：1.掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现2.高考对一次函数、
2、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数二、知识概述：1.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：.(2)反比例函数模型：.(3)二次函数模型：.(4)指数函数模型：.(5)对数函数模型：.2.解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解3.方法提示：1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口
3、增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型23） y a(1 x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解4）对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢 公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长5）利用函数模型解决实际问题，通常有以下三种类型：（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建立确定性函数模型解决问题；（
4、3）建立拟合函数模型解决实际问题6）使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示） 。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点： 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等） ，则可利用导数分析其单调性，进而求得最值 均值
5、不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系： 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积 底 高 梯形面积 12（上底 下底） 高 三角形面积 12底 高 商业问题： 总价 单价 数量 利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本 利息问题：利息 本金 利率 本息总和 本金 利息 本金 利率 本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。5.使用
6、线性规划模型解决实际问题3（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题（2）与函数模型的不同之处 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示） ，并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不
7、是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小6.使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点： 正弦定理：设 ABC;三边 ,abc所对的角分别为 ,ABC，则有 余弦定理（以 和对角 为例） ， 三角函数表达式的化简与变形 函数 的值域 （3）解题技巧与注意事项： 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 在图形中要注意变量的取值范围【真题分析】1.【2015 高考新课标 2 文理】如图，长方形 ABCD
8、的边 2， 1BC， O是 A的中点，点 P沿着边 BC， D与 A运动，记 OPx将动 到 、 两点距离之和表示为 x的函数 ()f，则()yfx的图象大致为（ ）4【答案】B2.【2014 高考北京文第 8 题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 （ a、 b、c是常数） ，下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.0分钟 D. 4.25分钟D P CB OAx5【答案】B【变式】 【2015 高考四川
9、文 8】某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 kxbye( 2.718为自然对数的底数， ,kb为常数).若该食品在 0的保鲜时间是 192小时，在 的保鲜时间是 4小时，则该食品在 3的 保鲜时间是( )A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.21 小时【解析】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.由题意， 21948bke得 19bke，于是当 x33 时， y e33k b( e11k)3eb 31()219224(小时)【答案】C3.【2014 福建,文 9】
10、要制作一个容积为 34m，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平6方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 （ ）A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元【答案】C4.【优选题】某工厂产品的年产量在 150吨至 2吨之间，年生产的总成本 y（万元）与年产量 x（吨）之间的关系可近似表示为 ，则每吨的成本最低时的年产量为（ ）A.240吨 B.20吨 C.180吨 D.160吨【解析】本题考点是函数模型在实际问题中的应用，由题意可知，成本，当且仅当 401x即 20x时取“ ” 【答案】B5.【优选题】一个人以 6 米/秒的速度
11、去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同） ，汽车在时间 t 内的路程为 21st米，那么，此人（ ）A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车C.不能追上汽车，但其间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车，但其间最近距离为 7 米【解析】设人于 x秒追上汽车，有 ，方程无解，因此不能追上汽车，由二次函数的性质可知， 6，最近距离为 7 米，故选 D .【答案】D6.【2016 兰州模拟】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平
12、方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；7(2)若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？（2）设 投资债券产品为 x万元，则投资股票类产品为 (20)x万元，依题意得； .令； 20tx则； .所以当， 即时，收益最大 3 万元.【答案】 （1） ；（2） t即时，收益最大 3 万元7.【2016 衡水一中测试】研究表明：使全球气 候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使 CO2浓度增加 据测，2010 年、2011 年、2
13、012 年大气中的 CO2浓度分别比 2009 年增加了 1 个可比单位、3 个 可比单位、6 个可比单位 若用一个函数模拟每年 CO2浓度增加的可比单位数与年份增加数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数 f(x) px2 qx r(其中 p， q， r 为常数)或函数 g(x) abx c(其中 a， b， c为常数)，且又知 2014 年大气中的 CO2浓度比 2009 年增加了 16 个可比单位，请问用 以上哪个函数作为模拟函数较好？【解析】：若以 f(x) px2 qx r 作模拟函数，则依题意得： p q r 1，4p 2q r 3，9p 3q r 6.)解得 p ， q ， r0，
14、所以 f(x) x2 x.12 12 12 12若以 g(x) abx c 作模拟函数，则 ab c 1，ab2 c 3，ab3 c 6.)8解得 a ， b ， c3. 所以83 32利用 f(x)， g(x)对 2014 年的 CO2浓度作估算，则其数值分别为： f(5)15 可比单位， g(5)17.25 可比单位，| f(5)16| g(5)16|，故选 f(x) x2 x 作为模拟函数较好 12 12【答案】选 f(x) x2 x 作为模拟函数较好 12 12【答案】C3.某种商品前两年每年递增 20，后两年每年递减 20，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）A. 减少
15、7.84 B. 增加 7.84 C. 减少 9.5 D. 不增不减【解析】设原来的商品价格为 1 个单位，则四年后的价格为：，减少了 7.84，故选 A.【答案】A4为迎接校庆，学校准备投入 a 元建造一个花圃（如图） 已知矩形 ABCD 所围区域的造价为 40 元/ 2m，其余的两个半圆及两个圆（直径等于 AB）所围区域的造价为 20 元/ 2m由于矩形 ABCD 区域要种名贵花卉，故建造时要求矩形 ABCD 的面积越大越好那么，当矩形 ABCD 的面积达到最大时， ABD（ ）A. 3 B. C. 2 D.【解析】设 依题意，有，即 由均值不等式，得，从而有 ，9等号当且仅当 2yx即 x
16、时成立所以，当 ABD时，矩形 ABCD 的面积达到最大故答案为 D 校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量 y（单位：千套）与销售价格:x（单位：元/套）满足的关系式 ，其中 26,xm为常数已知销售价格为 4 元/套时，每日可售出套题 21 千套（1）求 m的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数） ，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 （保留 1 位小数）【解析】 （1）将 代入关系式可得： .（2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为 2x元，所以总的利润 ，其
17、中 6x，利用导数判定 fx的单调性，进而可求得最大值点 x 10【答案】 （1）10 （2）在 103x取得最大值，即 3.x; 7.如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处 ，然后游向 B 处，若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒，在海中的行进速度为 2 米/秒， 。（1）分析救生员的选择是否正确；（2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时间11（2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量 x ，并构造出时间关于 x
18、的函数 f ，再求出fx的最小值即可。不妨设 CDx，则 ，所以时间，再求导求出 fx的最小值即可【解析】设 x，则 ，设所用时间为 fx 令 0fx，即解不等式 ，解得： 752x fx在 0,752单调递减，在 单调递增（秒）答：当 时，救生员所用的时间最短，为 5012秒. 8.某种商品在 30天内每件的销售价格 （元）与时间 t（天）的函数关系用如图表示，该商品在 30天内日销售量 Q（件）与时间 t（天）之间的关系如下表：12（表 1）（1）根据提供的图象（如图） ，写出该商品每件的销售价格 与时间 t的函数关系式；（2）根据表 提供的数据，写出日销售量 Q与时间 t的一次函数关系式
19、3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30天中的第几天 （日销售金额每件的销售价格 日销售量）【解析】 （1）13（2）可设日销售量 Q与时间 t的一次函数关系式为 Qktb，将 10,4，代入易求得 1k， 50b，日销售量 与时间 的一个函数关系式为 5（ 3t， t） （3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 0天中的第几天 （日销售金额每件的销售价格 日销售量）当 025t， t时， 1（天）时， max125y（元） ，当 3t， t时， 在 25,0时，函数递减 t（天）时， max1875y（元） ， max1875y（元） 答：日销售金额的最大值为 元，且在最近 30天中的第 2天日销售金额最大14
