1、1专题 33 平面向量 平面向量的坐标运算【考点讲解】一、具本目标：平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与 数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点透析：1.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.2.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.3.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值 5 分.一般是中低档题.二、知识概述：平面向量的坐标运算1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2)平面向量的
2、坐标表示:(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 ,ij作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、 y，使得 axy ，这样，平面内的任一向量都可由 x、 y 唯一确定，因此把 (,)xy叫做向量 a的坐标，记作 (,)，其中 x 叫做 a在 x 轴上的坐标， y 叫做 在 y 轴上的坐标 (2)若 ，则 3）平面向量的坐标运算(1)若 ，则 ；(2)若 ()axy ， ，则 (3)设 ，则 ， .平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的 完 美结合.向量的坐标2运算主要利用加、减、乘的运
3、算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的 坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标. 比如： ，则注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息【真题分析】1.【2015 高考广东，文 9】在平面直角坐标系 xy中，已知四边形 ABCD是平行四边形， D2,1A，则 CA（ ）A 2 B 3 C 4 D 5【答案】D2.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量 ，且 ()ab+，则 m（ ）A.8 B.6 C.6 D.8【解析】 本题考点是平面向量的坐标运算、
4、数量积.由题意可得向量 ，由得 ，解得 8，故选 D.【答案】D3.【2015 高考新课标 1，文 2】已知点 ，向量 ，则向量 BC( )A. (7,4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4)【解析】本题考点是向量的坐标运算.由题意可知： ，所以A=(-7,-4)，故选A.【答案】A4.【2014 四川，文理】平面向量 (1,2)a， (4,)b， cmab（ R） ，且 c与 a的夹角等于 c与b的夹角，则 m（ ）A 2 B 1 C D3【答案】 D.5.【优选题】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(-1,3)，若点 C 满足，其中 R,且 1，则点
5、C 的轨迹方程为 （ ）A. B. C. 20xy D. 【解析】本题考点是向量的坐标运算与共线向量的性质的应用.法一：由题意可设 C,，则由 得于是 先消去 ，由 1得 2314yx再消去 得 .所以选取 D.法二、由平面向量共线定理，当 ， 1时，A、B、C 共线因此，点 C 的轨迹为直线 AB，由两点式直线方程得 .即选 D【答案】D6.【2017 广西河池课改联盟】已知向量 ，则 2ab_【解析】 .【答案】 257.【2018 年全国卷理数】已知向量 若 c ba2，则_4【答案】 128.【2018 年北京卷文】设 向量 若 ，则 m=_.【解析】本题考点是向量的坐标运算，由题意可
6、得： .由 得到 【答案】-19.【2017 江西新余、宜春联考】若向量 )2,1(a， )1,(b，则 ba2【解析】本题考点是向量坐标的运算，由题意可得 【答案】 (3,)10.【2016 高考预测题】已知向量（1）若 /ab，求 tn的值； （2）若 求 的值。又由 0知， ，所以 ，或 . 因此 2，或 3.4 5【答案】 （1） 4（2） .【模拟考场】1.已知平面向量 ，如果 /ab，那么 |（ ）A 5 B 52 C3 D 32【解析】由题意，得 6x，则 21，则 ；故选 B【答案】B2.已知点 ，向量 ，则向量 C( )A. (7,4) B.(7,4) C.(1,4) D.
7、1,4【答案】A3.已知向量 ，且 /ab，则 等于（ ）A3 B3 C D【解析】 /ab， ， ， ，故选 B. 【答案】B4.已知向量 2,4a， 1,b，则 2ab（ ）A. 5,7 B. 59 C.3,7 D.3,9【解析】因为 2(4,8)ar，所以 =（5，7） ，故选 A.【答案】A5.已知向量 ，且 ，则实 数 k=（ ）69.2A .0B .C3 D.152【答案】C6.已知曲线 C： ，直线 l： x=6.若对于点 A（ m， 0） ,存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得，则 m 的取值范围为 .【解析】由 知 A是 PQ的中点，设 (,)xy，则 ，由题意 2
8、0x，26x，解得 23【答案】 ,37.已知点 1P，线段 的中点 M的坐标为 1,若向量 PQ与向量 ,1a共线，则 _【解析】由题设条件，得 (3,4)Q，所以 因为向量与向量 ,共线，所以416，所以 2 【答案】 38.若向量 ),1(OA， |OB， ，则 |AB_.【解析】设 ),(yxB，依题意， ，解得 31yx或 ，即 )3,1(或 ),(B（舍去） ，所以 6,2A，所以 52|A.【答案 】 59.设 20，向量 ，若 ba/，则 tn_.7【答案】 1210已知向量 和 , 且则 cos(+)28的值 . 又 (,2) 法二: = = =由已知 得: .(,2) . 8
