1、1专题 44 数列 数列的通项 1（观察法、前 n 项和求通项）【考点讲解】1、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列 na的第 项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 f,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列 na的前 项和 nS和通项 na的关系： .2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与
2、 n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用n或 1n来调整（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通
3、项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式， 求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3. 已知数列 na的前 项和 nS，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 1S求出 1；(2)用 替换 n中的 得到一个新的关系，利用 na1nS (2)便可求出当 2n时 na的表达式；2(3)对 1n时的结果进行检验，看是否符合 2n时 na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应
4、该分 1n与 两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4. 递推公式推导通项公式方法：（1）累加法： （2）累乘法： 1()naf （3）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）解法：把原递推公式转化为： ，其中 pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）. （或,其中 ,pqr均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以 1n，得： ，令 nqab，得： ，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为
5、是公比为 p的等比数列.（6）待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列.（7）待定系数法： （其中 ,pq均为常数）.3解法：先把原递推公式转化为 其中 ,st满足 tpq，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.（ ，解法：等式两边同时除以 1na后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数 rnnpa1解法：这种类型一般是等式两边取以 p为底的对数，后转化为 ，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一
6、个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法 2.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 2,34 堆最底层（第一层）分别按图 1 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上
7、，第 n堆第 层就放一个乒乓球，以 ()fn表示这 堆的乒乓球总数，则 ； （ ()f的答案用 表示）.【解析】由题意可知： .310f所以有通过叠加法可求得：图 14【答案】3.已知整数对排列如下 则第 60 个整数对是_【答案】 7,54.已知数列 2008，2009，1，-2008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2018 项之和 208S_.【答案】40175.如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 zyx的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D.41 20.5 1xyz【解析】第一、二行后两个数分别为
8、2.5，3 与 1.25，1.5；第三、四、五列中的 5.0x， 16y，163z，则 1zyx. 答案: A56.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第 i行，第 j列的数为 ，则 84a等于（ ）A. 81 B. 4C. 21D.1【解析】因为每列都是等差数列，所以 ，又因为每一行都是等比数列，所以 ，所以选 B.【答案】 B7.已知正项数列 na满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 nb，求数列 nb的前 项和 nT.【分析】 （1）式中令 n=1,求得 1a，n 用 n-1 代，得 ，两式作差可得 ，可求得 n。
9、 （2）由（1） ，由错位相减法可求和。41，2， ，43866（2），-得，. 【答案】 （ 1） 2na（2）8.设数列 的前 n 项和为 nS.已知 3n.（I）求 的通项公式；（II）若数列 nb满足 ，求 nb的前 n 项和 T.【分析】（I）利用数列前 项和 nS 与通项 na 的关系求解；（II）结合第（I）问的结果，利用关系式 求出数列 nb的通项公式，并结合其通项的 结构特征，采用错位相减法求其前 n 项和 T.7（II）因为 ，所以 13b ，当 1n 时， 所以 13Tb 当 时， 所以两式相减，得 所以经检验， 1n 时也适合，综上可得： .【答案】 （I） ; （II） . 8
