1、1专题 45 数列 数列的通项 2（ 叠加法、累乘法求通项）【考点讲解】1、具本目标 ：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列 na的第 项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 f,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列 na的前 项和 nS和通项 na的关系： .2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与
2、n 之间的关系、规律，可使用添项、 通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用n或 1n来调整（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于 数列的通项公式要掌握： 已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数
3、列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3. 已知数列 na的前 项和 nS，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 1S求出 1；(2)用 替换 n中的 得到一个新的关系，利用 na1nS (2)便可求出当 2n时 na的表达式；2(3)对 1n时的结果进行检验，看是否符合 2n时 na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则
4、应该分 1n与 两段来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法： 叠加法（或累加法）：已知 ，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即 .（2）累乘法：已知 求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）解法：把 原递推公式转化为： ，其中 pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）. （或,其中 ,pqr均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以 1n，得： ，令 nqab，得： ，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：
5、 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列.（6）待定系数法： 3解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列.（7）待定系数法： （其中 ,pq均为常数）.解法：先把原递推公式转化为 其中 ,st满足 tq，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.（ ，解法：等式两边同时除以 1na后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数 rnnpa1解法：这种类型一般是等式两边取以 p
6、为底的对数，后转化为 ，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合 归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法类型 1 解法：把原递推公式转化为 ，利用叠加法求解例 1.设数列 na中， ，则通项 na .故应填 12n.4【答案】 12n类型 2 .解法：把原递推公式转
7、化为 )(1nfan，利用叠乘法求解。已知数列 na满足 321， ，求 n。【 解析】由条件知 n，分别令 ，代入上式得 )1(n个等式后叠乘，即na1又 32， na.【真题分析】1.【2019 优选题】已知数列 。【解析】由题意 可得： ， ， ， ， ， ， 120a.将以上各式相加得： =【答案】2.【2016 江西】在数列 na中， 12， ，则 na （ ）5A 2ln B C 2ln D 1ln【解析】将以上各式相加得：所以有： 【答案】A3.【2019 优选题】已知数列 na满足 12， ()nN，则此数列的通项 na等于 ( )A. 21n B. C. D.3n【答案】D4
8、.【2018 年广东】已知数列 na中 ，求数列 na的通项公式.【解析】由 ， 得.，641naN5.【2016 山西】已知数列 na满足 ，求数列 na的通项公式 .6.【2019 优选题】已知 an是正数组成的数列， a1=1，且点（ 1,na） （ nN*）在函数 y=x2+1 的图象上.()求数列 an的通项公式；()若列数 bn满足 b1=1,bn+1=bn+2a，求证： bnbn+2 b2n+1 .【解析】解法一：（）由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1，又 a1=1, 所以数列 an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)1=n.()
9、由（）知： an=n 从而 bn+1-bn=2n.则 bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（ b2-b1）+ b1=2n-1+2n-2+2+1= 21=2n-1.因为 bnbn+2-b2n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-52n+42n=-2n0,所以 bnbn+2b 21,解法二：（）同解法一.（）因为 b2=1, bnbn+2- b21=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b 1=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+1=2n（ bn+1-2n+1）=2 n（ bn+2n-2
10、n+1）=2 n（ bn-2n）=2 n（ b1-2）=-2 n0，所以 bnbn+2b2n+1 .7.数列 a中， 1， （ c是常数， 23， ， ， ） ，且 123a， ， 成公比不为 1的等比数7列 （I）求 c的值；（II）求 na的通项公式【解析】 （I） 12a， c， 32c，因为 ， 2， 3成等比数列，所以 ，解得 0c或 2当 0c时， 1，不符合题意舍去，故 2c【模拟考场】1.若在数列 na中， 31， ，求通项 na.【解析】法一：可用等差数列求通项.法二：由 得， ，所以有： 213， 23a， 将各式相加得： 所以可得通项为： 即： （ nN）.2.若在数列 na中， 31， ，求通项 na.8【解析】由 得， 所以 ， 12a将以上各式相加得： 又 31a所以 n= 32)1(.即： （ nN）.3.已知数列 n满足 ，求数列 na的通项公式.【解析】由 ，得 则所以数列 na的通 项公式为 2na（ N）. 4.已知数列 n满足 ，求数列 na的通项公式.95.已知数列 na满足 ，求数列 na的通项公式.6. 已 知数列中: 1a， ,确定数列 na的通项公式.【解析】 ， ， 21以上 1n个式子相乘得 nN，即 1naN. 10
