1、1专题 52 不等式 基本不等式 2【考点讲解】一、具本目标：基本不等式： .（1） 了解基本不等式的证明过程.（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用二、知识概述：基本不等式1.如果 ,Rab，那么 （当且仅当 ab时取等号“=” ）.推论： （ ,Rab）.2.如果 0a， ,则 ， （当且仅当 ab时取等号“=” ）.推论： （ 0a
2、， b） ； .3. .【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换法等2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解注意：形如 y x (a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，
3、再利用该函数的单调ax性求解3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件 “一正”是说每个项都必须为2正值， “二定”是说各个项的和(或积)必须为定值 “三相等”是说各项的值相等时，等号成立（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.4.利用基本不等式求最值要灵活运用两个公式，
4、 （1） ，当且仅当 ab时取等号；（2） ,abR ， ，当且仅当 ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值. 【答案】A2.若直线 2ax by20( a0， b0)平分圆 x2 y22 x4 y60，则 的最小值是( )2a 1bA2 B. 12 232 D322 2【解析】圆心为(1,2)在直线 2ax by20 上， a b1， ba1(a b)3 32 .当且仅当 ，即 a2 ， b 1 时等号成立2a 1b 2ba ab 2 2ba ab 2 2【答案】C3.若 ab0，且 A(a,0)、
5、 B(0， b)、 C(2，2)三点共线，求 ab 的最小值4.某厂家拟在 2016 年举行促销活动，经 调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m(m0)万元满足 x3 (k 为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件已知km 132016 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元 ，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2016 年的促销费用投入多少万元时，厂家
6、利润最大？ 【解析】(1)由题意知，当 m0 时， x1(万件)，13 kk2， x3 ，2m 1每件产品的销售价格为 1.5 (元)，2016 年的利润 y1.5 x 816 x m8 16xx 8 16xx ( m1)29( m0)16m 15.在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，已知 60B, 4ac（1）当 ,abc成等差数列时，求 ABC的面积；（2）设 D为 边的中点，求线段 D长的最小值【解析】 （1）因为 ,abc成等差数列，所以 ，由余弦定理，得 ，解得 4ac，从而 . （2）方法一：因为 D为 AC边的中点，所以 ，则414ac，当且仅当 时取等号，所以线段 BD长的最小值为 3.方法二：因为 D为 AC边的中点，所以可设 ，由 ，得 ，即 ，又因为 ，即 ，所以 ，故 ，当且仅当 ac时取等号，所以线段 BD长的最小值为 3. 6. 已知函数（1）当 4a时,求函数 ()fx的最小值及相应的 x的值；（2） ,求实数 a的取值范围.【解析】 （1）当 时,当且仅当 ,即 2x时, ()f取得最小值 0.56
