1、1山东省实验中学 2019 届高三数学 4 月上旬质量检测试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为A. B. C. 3 D. 【答案】D【解析】【分析】首先在等式 两边同除 i，再进行化简，即可求得 z 的虚部.【详解】 ， ，复数的虚部为-3，故选 D.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于简单题.2.设A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解出 两个集合，根据交集定义求解出结果.,【详解】因为 =|=3=|30=|3=|420=|240,0)PFO
2、 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为A. B. C. D. 23+1132 5【答案】A【解析】【分析】由 为正三角形得 P 点坐标 ，代入双曲线方程得 a,b,c 的关系式，化为关于离 (2,32)心率 e 的方程求解.6【详解】因为三角形 为等边三角形，则 ，代入双曲线方程可得 ， (2,32) 2423242=1又因为 ， ，所以 ，解得 .= 2=22 24 324(21)=1(1) =3+1【点睛】本题考查双曲线的几何性质，利用离心率公式 ,再结合 进行求解，考查= 1运算求解能力.10.已知函数 ，若函数 的图象关于()=2(+)(01 当 时， 上单调递增；01 1和 2 (
3、1)=(2)当 时， 有 3 个零点1 1 1令 ， 时 有一解； 时利用一元二次方程根的分别条件判断()=0 1 +2=0 18方程 ，即 在 是否有两解 .2+2+1=0 221=0 (.1【详解】记 ， .()=2+2+1=()2+1+2 1当 时，对称轴 ，1 =1知函数 在 单调递增， 在区间 单调递增.() (,1) ()=+2 (1,+)从而 在 单调递增（如图二） ，() (,+)所以选项错误；对于，当 时，0 (1)=(1)=20 3=812 ， ，即得 ，3=1+2+3 1+2+8=14 1+1=6 ，化简得： ，1(1+)=682(1+)=6 3244=0 或 （舍） ，
4、=2 =23 ， .1=2 =221=2()（2）数列 为等差数列，理由如下：由（1）知 ， ，=2 =2=22= ， ， .+1=+1 +1=1 1=1 是以为 1 为首项，1 为公差的等差数列.（3）由（2）可知 ， ，= =1+1= 1(+1)=1 1+1 .=1+2+3+.+=(112)+(1213)+(1314)+.+(1 1+1)=1 1+1=+1【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查运算求解能力，属于中档题.18.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布
5、和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的 22 列联表，并判断是否有 95的把握认为以 50 岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)现从年龄在70，80内的 5 名被调查人中任选两人去参加座谈会，求选出两人中恰有一人支持新农村建设的概率参考数据：13参考公式： 2= ()2(+)(+)(+)(+)， 其 中 =+【答案】 （1）22 列联表见解析，无 95的把握（2）35【解析】【分析】（1）根据频数分布填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）5 人中，支持新农村建设的为 2 人，不支持的为 3 人，两人中恰有一人支持的情况数目，除以基本事件总数，
6、可得答案【详解】解：（1）根据频数分布，填写 22 列联表如下：年龄低于 50 岁的人数年龄不低于 50 岁的人数合计支持 40 20 60不支持 20 20 40合计 60 40 100计算观测值 ，2= ()2(+)(+)(+)(+)2.7781 ()0(2)若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围1（2）设 ，对 求导 ，对 a 讨论，判断 单调性，何()=(1) () ()=12 ()时对 都有 ，何时至少能找到一个函数值大于 0，确定 a 的范围.1 ()1 ()0 在 为增函数， ，得证 .() (1,+) ()(1)=0（2）设 ， ，()=(1) (1,+)则 ，(
7、)=12=122当 时， ， ， ， 在 为减函数，1 120 ()0当 时，011 (1,+) ，()=(1)11(1)=12(1)=12(12)当 时， ，故不合题意；(1,1) ()0综上： .1【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，考查分类讨论、逻辑推理及计算能力，属于难题.21.已知椭圆 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆 O 上运动，若:22+22=1(0)PAB 面积的最大值为 ，椭圆 O 的离心率为 231216(1)求椭圆 O 的标准方程；(2)过 B 点作圆 E： 的两条切线，分别与椭圆 O 交于两点2+(2)2=2,(02)C，D(异于点 B)
8、，当 r 变化时，直线 CD 是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】 （1） （2）直线 恒过定点 .24+23=1 (14,0)【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组 ，解方程组可得 .122=23=122=2+2（2）设过 B 的切线方程 ，由 d=r，利用韦达定理得两切线 PC、PD 的斜率 、=(2) 1关系，把直线 、 代入椭圆方程求出 C、D 点坐标，利用两点式建2 =1(2) =2(2)立 CD 方程，化简方程可得.【详解】 （1）由题可知当点 在椭圆 的上顶点时， 最大，此时 ，=122=23所以 ，=23=1222=2 =2,=3,=1所以椭圆
9、 的标准方程为： .24+23=1（2）设过点 与圆 相切的直线方程为： ，即： ，(2,0) =(2) 2=0因为直线与圆 ： 相切，所以 ， 2+(2)2=2 =|22|2+1=即得 .(42)2+8+42=0设两切线的斜率分别为 ，则 ，1,2(12) 12=1设 ， ，(1,1) (2,2)由 ，=1(2)24+23=1 (3+421)21621+162112=0 ，即 ， ；21=1621123+421 1=82163+421 1=1213+421同理： ， ；2=82263+422=86214+3212=1223+422=1214+32117 ，=2121=1214+3211213
10、+42186214+32182163+421= 14(21+1)所以直线 的方程为： .+1213+421= 14(21+1)(82163+421)整理得： ，= 14(21+1) 712(21+1)= 14(21+1)(14)所以直线 恒过定点 . (14,0)【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直线与椭圆的交点，直线过定点问题的关键是把含待定未知数的直线方程表示出来，考查了推理能力与字母运算能力，属于难题22.在直角坐标系 中，曲线 C 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极24+23=1 轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 (4)=2(1)求曲线 C 的参数方程和直线的直角坐标方程
11、；(2)若直线与 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 上的动点，求PAB 面积的最大值【答案】 （1） （ 为参数） ， （2）=2=3 2=0 7+2【解析】【分析】（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出，所以求解 面积最大值只需求出点 到直线距离的最大值；通过假设=22 ，利用点到直线距离公式得到 ，从而得到当(2, 3) =| 7()+2|2时， 最大，从而进一步求得所求最值.()=1 【详解】 （1）由 ，得 的参数方程为 （ 为参数）24+23=1 =2=3 由 ，得直线的直角坐标方程为(4)=22()=2 2=0（2）在 中分
12、别令 和 可得： ，2=0 =0 =0 (2,0) (0,2)=22设曲线 上点 ，则 到距离： (2, 3) =|232|2 =| 32+2|2 =| 7(3727)+2|2，其中： ，=| 7()+2|2 =37 =2718当 ，()=1 =7+22所以 面积的最大值为12227+22=7+2【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.23.设不等式 的解集为 M|21|+|+2|4(1)求集合 M；(2)已知 ，求证： , |(1)【
13、答案】 （1） （2）见解析|11【解析】【分析】（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明，由 ， 可得 ， ，从而证得所需的结()2(1)20 11 11 21 21论.【详解】 （1）原不等式等价于 或 或1221+24 21212+24 21224解得： 或121 112所以原不等式的解集为 |11（2）由（1）知，当 时， ，, 11 11所以 ，21 21从而 ()2(1)2=2+2221=(21)(12)0可得 |1|【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.19
