1、1山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：集合 ，所以 ，故选择 C考点：集合的运算2. 是等差数列， ， ，则该数列前 10 项和 等于（）A. 64 B. 100 C. 110 D. 120【答案】B【解析】试题分析：a 1+a2=4，a 7+a8=28，解方程组可得 考点：等差数列通项公式及求和【此处有视频，请去附件查看】3.若函数 存在与直线 平行的切线,则实数 取值范围是A. B. C. D. 2,+) (,
2、6)(2,+)【答案】C【解析】试题分析： 有解。 ， ，故选()=1+4=2 1+42= =1+42242=2C考点：导数与切线斜率的关系，存在性问题的转化,对勾函数的值域4.若 ，则 是 的 条件, |+|1 |+|1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件2【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】 |+|+|若 ，则 成立，即必要性成立 |+|1 |+|1又当 ， 时， 成立，但=1 =1 |+|1 |+|=01 |+|1本题正确选项： 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对
3、值不等式的性质是解决本题的关键5.如图所示，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，则 的面积=3(2+6) , 等于（ ）A. B. C. D. 4 2 2【答案】A【解析】在 中，令 ，得 ，故 ；=3(2+6) =0 =36=1 =1又函数 的最小正周期为 ，所以 =3(2+6) =2 =2 选 A=12=1221=46.在 中， ， ， 的面积为 则 =3 =3 334 =(A. 13 B. C. D. 33 7 13【答案】C【解析】3【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 的值，进而根据余弦定理可求的值【详解】 ， ， 的面积为=3 =3 33412=12332=334解得： ，=1
4、由余弦定理可得： =2+22=32+1223112=7本题正确选项： 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7.已知数列 的通项公式是 ，其前 项和 ，则项数 =212 =32164 =A. 13 B. 10 C. 9 D. 6【答案】D【解析】数列 an的通项公式是 ，则：=212=112=(112)+(114)+(118)+(112)=(12+14+18+12)=121(12)112=1+12.据此可得： ，求解关于 的方程可得 n6.1+12=32164 本题选择 D 选项.8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围 ()=
5、515+1+3+1 ()+(+1)2 A. B. C. D. (12,+) (12,+) (,12)(,12)【答案】A【解析】【分析】求出 ，得到 ，根据函数 在 递增，求出 的范围即可.()+()=2 (+1)() () 4【详解】 函数 ， ()=515+1+3+1=2+3 25+1()=23 25+1=23251+5()+()=2 ()+()=2即()+(+1)2 ()+(+1)()+()即 (+1)()而 在 递增，故() +1解得： 12本题正确选项： 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，求出 和 的关系是解题的关键，是一道中() ()档题9.已知 ABC 和点 M 满足 .若存在
6、实数 m 使得 成立，+=0 +=则 m_.【答案】3【解析】试题分析：由条件知 是 的重心，设 是 边的中点，则 ，而 +=2，所以 ，故选 B.=23 2=23,=3考点：平面向量.【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数 ，若存在 使得 ，则实数 的取值范()=2,0(+1),0 0 (0)01 围是 A. B. (0,+) 3,0C. D. ，(,33,+) (,3(0 +)【答案】D【解析】【分析】5根据题意，作出函数 的图象草图，而直线 恒过定点 ，分析可得若存在() =1 (0,1)使得 ，则函数 的图象在直线 下方有图象或有交点，据此0 (0)01 () =1分情况讨论 的取
7、值范围，综合即可得答案【详解】根据题意，函数 ，其图象如图：()= 2,0(+1),0直线 恒过定点=1 (0,1)若存在 使得 ，则函数 的图象在直线 下方有图象或有交点，0 (0)01 () =1则直线 与函数 的图象必定有交点=1 ()分析可得：当 时，直线 经过第一三四象限，与函数 的图象必有交点，符0 =1 ()合题意；当 时，直线 经过第二三四象限，若直线 与 有交点，必然相交于0 1, ()0 取值范围为（ ）A. B. C. D. (0,12) (1,+) (0,1)(12,+)6【答案】C【解析】记函数 在 上的最小值为 : 的定义域为 .() 1, ()()=(+1) (0
8、,+).()=1+1 +2令 ，得 或 .()=0 =1 时，对任意的 , ， 在 上单调递增， 的最小值为00 () 1, ()(1)=1当 时，10转化为 ，若 恒成立()0 ()() ()()最值） .12.设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切实数 均成立，则() 0 |()| 称 为“倍约束函数 ”现给出下列函数： ； ； ；() ()=0 ()=2 ()=2+17是定义在实数集 上的奇函数，且对一切 ， 均有 其中() 1 2 |(1)(2)|2|12|.是“倍约束函数”的序号是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义
9、对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项，根据单调性可求出存在正常数 满足条件；而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数 使之满足条件，由此即可得到正确答案【详解】对于， 是任意正数时都有 ， 是倍约束函数，故正确； 0| ()=0对于， ， ，即 ，不存在这样的 对一切实数 均成立，()=2 |()|=|2| | 故错误；对于，要使 成立，即 ，当 时， 可取任意正数；当|()| |2+1| =0 时，只须 ，因为 ，所以 故正确0 (12+1) 2+134 43对于， 是定义在实数集 上的奇函数，故 是偶函数，因而由() |()|得到， 成立，存在 ，使 对一切实|(1)(2)
10、|2|12| |()|2| 20 |()|数 均成立，符合题意，故 正确 本题正确选项： 【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量 与 满足 ，则 则 与 的夹角为_。 （ +2)()=6 |=1,|=2, 【答案】【解析】试题分析:有题意得，8考点：求平面向量的夹角.【此处有视频，请去附件查看】14.在 中， ， ， ，则 的角平分线 ，则 _
11、 =120 =2 =6 =【答案】 3【解析】【分析】由已知及正弦定理可求 ，可得 ，利用三角形内角和定理及已知可求 ，=12 =30 进而可求 的值，在 中，由正弦定理即可解得 的值 【详解】中， ， ， =120 =2 =6由正弦定理可得： = =2326=12，=30 =180=30为 的角平分线 ，=15 =180=45在 中，由正弦定理可得： =23222 =3本题正确结果： 3【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题15.函数 有极值，则实数 的取值范围是_.()=() 【答案】 (,12)【解析】【分析】9求出
12、的导数，通过讨论 的范围，确定导函数的符号，得到函数 的单调性，从而确() ()定 的范围即可【详解】 ()=2(0) ()=+12令 ()=+12函数 有极值，则 在区间 上有实数根 ()=() ()=0 (0,+)()=12=12当 时， ，则函数 在区间 单调递增0 ()0 () (0,+)时， ； 时，0 ()+ ()+故存在 ，使得 在 递减，在 递增0(0,+) () (0,0) (0,+)故 的极大值是 ，符合题意；() (0)当 时，令 ，解得0 ()=0 =12令 ，解得 ，此时函数 单调递增()0 012 ()当 时，函数 取得极大值 =12 ()当 趋近于 与 趋近于 时
13、， 0 + ()要使 在区间 上有实数根，则 ，解得()=0 (0,+) (12)=120 00) ()=+3函数 的图象的两个相邻对称中心的距离为 ()21 求函数 的单调增区间；()2 将函数 的图象先向左平移 个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到()4 12函数 的图象，当 时，求函数 的值域() 6,2 ()【答案】 （1） ；（2） .8,+38, 2,1【解析】【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得 的解析式，再利用正弦函()数的单调性求得 的单调增区间；（2）由题意根据 的图象变换规律，() =(+)求得 的解析式，再利用定义域和单调性，求
14、得函数 的值域() ()【详解】 （1）由题意可得 ()=+3=2()2+3=2(221)=22=2(24)由题意知： =22= =1 ()=2(24)由 22242+2,解得： 8+38,11的单调增区间为() 8,+38()（2）由题意，把 的图象向左平移 个单位，得到()4 =2(2+4)再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到12 ()=2(4+4)6,2 4+41112,941(4+4)22函数 的值域为() 2,1【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换， 的图象变=(+)换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题18.已知等差数列 的公差 ，其前 项和为
15、，且 ， 成等比数列. 0 5=203,5,8（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .=1+1+ 【答案】(1) ；(2) .=+1 =2(+2)+(+1)2【解析】试题分析：（1）由 可得 5=20 51+542=20，化为： 由 成等比数列，可得1+2=4 3,5,825=38， (1+4)2=（ 1+2） （ 1+7） ， 0，化为： 联立解得： 即可得出1=2 1， （2） 利用裂项求和方法、等差数列的=1+1+= 1(+1)(+2) +=( 1+1 1+2)+求和公式即可得出试题解析：（1）因为 ，即5=5(1+5)2 =20 1+5=8即 ，3=4 1+2=4因
16、为 为等比数列，即3,5,8 25=38所以 ，化简得： (1+4)2=(1+2)(1+7) 1=2联立和得： ，1=2 =112所以 =+1（2）因为 =1+1+= 1(+1)(+2) +=( 1+1 1+2)+所以 =(1213)+1+(1314)+2+(1415)+3 +( 1+1 1+2)+=(1213)+(1314)+(1415)+( 1+1 1+2) +(1+2+3+)=(12 1+2)+(+1)2= 2(+2)+(+1)219.已知函数 ， ()= ()=2若 ，函数 的图象与函数 的图象相切，求 的值；(1) =0 () () 若 ， ，函数 满足对任意 ， ，都有(2) 0
17、=1 ()=()+() 1 2(0,1恒成立，求 的取值范围；(1)(2)0 =1 ()=()+()=2+1+2妨设 ，原不等式 ，即 ，令00 =1 ()=()+()=2+1+2在 上单调递增()=2+20 () (0,113不妨设 ，原不等式00 00可得 ，故 .设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由=2 =21 4=3+5 1+3=4.，可得 从而 故 所以数列 的通项公式5=4+26 31+13=16, 1=1,=1, =. 为 ，数列 的通项公式为=21 =.（2） （i）由（1） ，有 ，故=1212=21.=1(21)=12=2(12)12 =2+1215（ ii）因为 ，(
18、+2)(+1)(+2)=(2+12+2)(+1)(+2) = 2+1(+1)(+2)=2+2+22+1+1所以 .=1(+2)(+1)(+2)=(233222)+(244233)+(2+2+22+1+1)=2+2+22点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数 ()=21()当 时，求 的单调区间；(1) =1 ()令 ，在区间 ， 为自然对数的底(2) ()=() =(12,32) （i）若函数 在区间 上有两个极值，求 的取值范围；() （ii）设函数 在区间 上的两个极值分别为 和 ，求证： ()
19、 (1) (2) 12【答案】 （1）函数 在 上单调递增；在 上单调递减；（2） （i）() (0,2) 2,+)；（ii）证明见解析.(232,32)【解析】【分析】（1）求导 ，从而确定函数的单调性及单调区间；()（2） （i） ，函数 在区间 上有两个极值，即()=22+1 () 在 上有两个实数根；（ii）求得 ， 等价于()=22+1=0 =2121 12，即 ，得 ，不妨设 ，则1+21 (1+2)21212(1+2)2 120，设 ， ，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可=121 ()=2(1)+1 1证明不等式【详解】 （1） 时， ，=1 ()=21 ()=21=
20、2(0)可得：函数 在 上单调递增； 上单调递减() (0,2) 2,+) 2,+)（2） 在区间 ， 为自然对数的底()=()=22 =(12,32) （i） ()=22+1函数 在区间 上有两个极值 () 在 上有两个实数根()=22+1=0 化为： =2+12 =() ()=1216可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减() (12,) ,32)时， 取得极大值即最大值，= () ()=32由 ，(12)=0 (32)=232时满足条件(232,32)（ii）证明：设函数 在区间 上的两个极值分别为 和() (1) (2)， 2121+1=0 2222+1=0则 =2121等价于12 1+21即 (1+2)2由得1212(1+2)2不妨设 ，则 ，上式转化为：120 =121 2(1)+10(1)设 ，则()=2(1)+1,(1) ()=(1)2(+1)0故函数 是 上的增函数 () (1,+) ()(1)=0即不等式 成立，故所证不等式 成立2(1)+1 12【点睛】本题主要考查函数单调性、极值和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数的最值和零点问题.解题关键是能够构造出合适的新函数，从而将问题转化为函数最值的求解，综合性较强，整体运算量较大，属于难题17
