1、1西安市 2019 届高三年级第一次质量检测理科数学注意事项：1. 本卷共 150 分，考试时间 120 分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： ，则集合 .本题选择 A 选项.2.在复平面内，为
2、虚数单位，复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，那=1 2 么向量 对应的复数为（ ）A. B. C. D. 1 1+ 1+ 1【答案】D【解析】,选 D.=2=(1)2(1)=13.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）2（A）直线 AA1 （B）直线 A1B1（C）直线 A1D1（D）直线 B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有 与 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与 都是异面直线，故选11 D考点：异面直线4. 的展开式的常数项是（ ）(2+2)(121)5A. -3 B. -2 C
3、. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值【详解】 ，(2+2)(121)5=(2+2)05(12)515(12)4+25(12)335(12)2+45121展开式的常数项 .452=3故选:D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题5.函数 的图象大致是（ ）=2233A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 有两个零点 ，所以排除 B；当 时， ，排除 C；当=223 1=0,2=32 =0.1 1 2+20,0) (0,2) 渐近线的斜率的乘积为 3，则 的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 3
4、2 5【答案】B【解析】【分析】6设出焦点坐标，根据已知列出关于 a、b、c 的方程，然后求解离心率【详解】设 为 ， ，若直线 与 的一条渐近线的斜率乘积为 3，可得： (,0) (0,2) ，2=3可得 ，即 ，22=3 2222=3可得 ， ，解得 .2232=0 1 =2故应选 B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题12.设函数 ， 若实数 满足 ， 则（ ）()=+2 ()=+23 ()=0 ()=0A. B. ()0 ()=0 01 ()0 (0)=10的零点 ；同理对函数 求导，知在定义域内单调()=+2 01 ()10.828 99.
5、9%欢“人文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量 可能取得值为 0，1，2，3. ，(=0)=37310=724，(=1)=2713310=2140，(=2)=1723310=740，(=3)=33310=1120 的分布列为 0 1 2 3 724 2140 740 1120则 .()=0724+12140+2740+31120=0.9【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题19.如图所示，四棱锥 的底面 是矩形，侧面 是正三角形， ， =2， .=2 =611（1）求证：平面 平面 ； （2）若 为 中点，求二面角 的大小. 【答
6、案】 （1）见解析；（2） 4【解析】【分析】（1）取 AB 中点 H，连结 PH，推导出 PHAB，由勾股定理得 PHHC，从而 PH平面ABCD，由此能证明平面 PAB平面 ABCD（2）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以 HP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Hxyz，利用向量法能求出二面角 【详解】 （1）取 中点 ，连接 ， 是正三角形， 为 中点， ， =2 ，且 . 是矩形， ， ， =3 =2 =2 .又 ， ， .=1+2=3 =6 2=2+2 ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .= （2）以 为原点,HA 为 x 轴，
7、在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以 HP 为 z 轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系 ，则 ， ， ， ， (1,0,0) (1,0,0) (0,0, 3) (1, 2,0)，则 ， .设平面 的法向量为 ，由(12,0,32) =+=(32,0,32) =(2, 2,0) =(,)，解得 ，即平面 的一个法向量为 .又平面 的=0=0 =(32,62,32) =(32,62,32) 一个法向量为 ，设二面角 的平面角为 ，=(0,0, 3) ，又 ， ，=|,|=|=22 (0,2) =4二面角 的平面角为 .412【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角
8、的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题20.已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ，过右焦点 的直线与椭22+22=1(0) 23 12 圆 交于不同两点 ， .线段 的垂直平分线交 轴于点 . (0,0)（1）求椭圆 的方程；（2）求 的取值范围.0【答案】 （1） ； （2） .24+23=1 312,312【解析】【分析】（1）由题意可知：2 b2 ， ，则 a2 c，代入 a2 b2+c2，求得 a，即可求得椭圆 C3=12的标准方程；（2）分类讨论，设直线 MN 的方程为 y k（ x1） （ k0） ，代入椭圆方程，求出线
9、段 MN的垂直平分线方程，令 x0，得 ，利用基本不等式，即可求 的取值范0= 33+42= 13+4 0围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到 的取值范围0【详解】 （1）由题意可得： ， ，又 ，2=23=12 2=2+2联立解得 ， ， .=3 =2 =1椭圆 的方程为 .24+23=1（2）当斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，中点 =(1)(0) (1,1) (2,2)，(,)把 代入椭圆方程，得到方程 ，=(1) (42+3)282+4212=0则 ， ， ， ，1+2=8242+3 12=421242+3 =4242+3 =(1)=342+313所以 的中垂线的方程为 ，令
10、，得 ， =1() =0 0=1+= 42+3= 14+3当 时， ，则 ；0 4+343 0(0,312当 时， ，则 ，0 ()=() （2）设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数()=+2 1, 0 (0)(0)的取值范围.【答案】 （1） （ 2）1,+)； (421,+)【解析】【分析】（1） ，求其导函数，利用 F（x）在定义域（ 0，+）内为增函数，得() 20 在（0，+）上恒成立，得 ，设 ，利用导数求 最大() 22+1 ()=22+1(0) ()值可得正实数 p 的取值范围；（2）设函数 f（x）g（x）px ，x1，e，转化为 在1，e()+2 2 ()上
11、至少存在一点 x0，使得 求函数 的导函数，然后对(0)0()0(1,)， ()p 分类求 的最大值即可.()【详解】 （1） ， .()=()=2()=+22=22+2由 定义域 内为增函数，所以 在 上恒成立，() (0,+) ()0 (0,+)所以 即 ，对任意 恒成立，22+0 22+1 0设 ， =0 的根为 x=1()=22+1(0) ()=22+242(2+1)2=222(2+1)214得 在 上单调递增，在 上单调递减，() (0,1) (1,+)则 ，所以 ，即 .()=(1)=1 (1)=1 1,+)（2）设函数 ， ，()=()()=+2 21,因为在 上至少存在一点 ，
12、使得 成立，则1, 0 (0)0 ()0(1,)，()=+222=22+(+2)2当 时， ，则 在 上单调递增，=0 ()=2+22 0 () 1,，舍；()=()=40 0 ()0 ()=(2+1)+2()2 0则 在 上单调递增， ，得 ，() 1, ()=()=40 421综上， .(421,+)【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题22.选修 4-4：坐标系及参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以平面直角坐标系 的原点 为极点，1 =3= 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极
13、坐标方程为 . 2 (+4)=2（1）求曲线 的直角坐标方程及曲线 上的动点 到坐标原点 的距离 的最大值；2 1 |（2）若曲线 与曲线 相交于 ， 两点，且与 轴相交于点 ，求 的值.2 1 |+|【答案】 （1） ， （2）2=0 |=3 |+|=635【解析】【试题分析】(I)将 方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得 的长度并求得2 |其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.|+|【试题解析】15（）由 得 ，(+4)=2 (2222)=2即曲线 的直角坐标方程为2 2=0根据题意得 ， |=92+2=82+1因此曲线 上的动点 到原
14、点 的距离 的最大值为 1 | |=3（）由（）知直线 与 轴交点 的坐标为 ，曲线 的参数方程为:2=0 (2,0) 2，曲线 的直角坐标方程为 =22+2=22 (为 参 数 ) 1 29+2=1联立得 8 分52+225=0又 ，|+|=|1|+|2|所以 |+|=|12|=(1+2)2412=63523.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()=|3|（1）当 时，求不等式 的解集；=4 ()1 【答案】 （） ；（） .|131解实数 的取值范围.试题解析：（）当 时， .由 ，解得 .=4 ()=|34| |34|31373所以，不等式 的解集为 .()3 |1373（） （当且仅当 时取等号）（当且仅当 时取等号） .16综上，当 时， 有最小值 .故由题意得 ，解得 ，或.所以，实数 的取值范围为 .17
