1、1y xOy xO y xOy xO2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（理科）试题(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 为（ ）z(2)43ii-=+zA B C D2i12i12i2已知函数 ，则 （ ）()sin)6fxp(0)f=A B C D113
2、233用反证法证明命题“设 ， ， 为实数，满足 则 ， ， 至少有一个数不小于 ”时，abcabc+=abc1要做的假设是（ ）A ， ， 都小于 B ， ， 都小于abc21C ， ， 至少有一个小于 D ， ， 至少有一个小于c4已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）2lnxy=- 32A B C D 或112 125若不等式 对 恒成立，则实数 的最小值是( )2ln30xax(,)aA B0 C2 D446函数 的大致图象是（ ）2()xfeA B C D27下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）A直线 ,若 / ， / ，则 / .类比出:向量 ，若 ，则 .a
3、bcbca , , /,/ /B同一平面内,直线 ,若 则 / .类比出:空间中,直线 ,若 ,则 /,babcbca.C以点 为圆心, 为半径的圆的方程为 .类比出 :以点 为球心, 为半径的球面的方程(0,0) 2+2=2 (0,0,0) 为 .2+2+2=2D实数 ,若方程 有实数根,则 .类比出:复数 ,若方程 有实数根, 2+=0 24 , 2+=0则 .248已知函数 ，在 时有极值 ，则 的值为（ ）322()fxabx1-0aA B C 或 D 或1 2139. 已知双曲线 ： 的右支与抛物线 交于 两点， 是抛物线的焦点，C21xyab-=(0,0) 24xy=,ABF是坐标
4、原点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）O6AFBO+A B C D3223210有一天，宁德市的某小区发生了一起数额较大的盗窃案失主报案后，经过侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁四人中的一人经过审讯，这四个人的口供如下：甲：被盗的那天，我在福安市，所以我不是罪犯乙：丁是罪犯丙：乙是盗窃犯，当天，我看见他出入小区丁：乙同我有仇，有意诬陷我因口供不一致，无法判断谁是罪犯经过测谎知道，这四人只有一个人说的是真话，那么罪犯是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11已知函数 ，若方程 恰有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ 2ln()xf=()0fxa-=a）A B C D12ae()()hxf
5、gx=-（）当 时，证明： .11f2018-2019学年第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B C A C C B D A B A二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13 14菱形对角线互相垂直 15 162019 2 1-,2三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知复数 在复平面内对应的点分别为 且1,2 (2,0),(,2)|12|=2（）求 的值；（）若 ，求 的最大值 .|=1 |1|解：
6、（）由复数的几何意义可知： 1分12,zai 4分212zai. 5分（）法一：设 6分(,)zmniR由 得 ， 7分1z21故复数 对应的点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 8分表示圆上的点到A的距离 9分的最大值为3 10分1z法二：设 6分(,)mniR6由 得 7分1z21()mn， 9分i21543zmnm的最大值为3 10分1z18 (本小题满分12分)观察以下 个等式3；1=2+；51；31372 （）照以上式子规律，写出 ， 的等式，并猜想第 个等式 ；=4n5n*()N（）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立 . *()解：（）当 时， 1分=4n114+=3792+
7、当 时， 2分5 551故对任意 , 4分*nN ()11322nn-（）证明：当 时，左边= ，右边=3=13+左边=右边，所以等式成立。 5分假设当 时等式成立，即有kn*(1)k且， 6分(1+35221k-+ 10分)()()(21 1=1 322323312)nk kk kkk= +- +则 当 时 ，所以，当 时，等式也成立 11分=1n由知，对一切 等式都成立。 12分*N19(本小题满分12分)宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费 （t百万元），可增加的销售额为 （百万元）（ ）.25t-+03t7（）若该商场将当年的广告费控
8、制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费 （百x万元），可增加的销售额约为 （百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两321x-+项共同产生的收益最大.解：（）设投入广告费 t（百万元）后由此增加的收益为 ft（百万元），则 2254ftt24t， 03. 2分所以当 时， maxf， 3分即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大. 4分（）设用于技术改造的资金为 （百万元），则用于广告促销的费用为 x（百万元），则
9、由此两项所增加的收益为 23213gxxx3154x. 6分对 求导，得 4g， 7分令 240x，得 2x或 （舍去）. 8分当 0时， ，即 g在 0,上单调递增； 9分当 23x时， gx，即 x在 3上单调递减， 10分当 时， ma25. 11分故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为 3百万元. 12分20(本小题满分12分)如图，直三棱柱 中， 且 ， 是棱 上的动点， 是1ABC-120ACB=12BCA=E1CF棱 上的中点（）当 是棱 上的中点时，证明： /平面 ；E1F1E（）在棱 上是否存在一点 ，使得平面
10、与平面 所CEABC成锐二面角为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由 .6pC解： （）取 中点 ，连结 ，则 / 且 . 1分1ABGF、 G112FB=xzyF B1C1CA BA1 EFB1C1CA BA1 E8因为当 为 中点时， 且 ， 2分E1CE1B12C=所以 且 . 3分FG=所以四边形 为平行四边形， ， 4分G又因为 ， ， 5分1A平 面1A平 面所以 ； 6分/CEB平 面（）假设存在满足条件的点 ，设 . 7分()0CEll=以 为原点，向量 方向为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系.F1FA、 、 xyz则 ， ， ，平面 的法向量 ， 9分()3
11、0,A，-130,2B， ,， lAB()=0,1m，平面 的法向量 ，1E()=-n， l， 11分23cos, =+9-1ml解得 ，所以存在满足条件的点 ，此时 . 12分=1l E1C21(本小题满分12分)已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率 ，定直线 ，椭圆的左:C)0(12bayx )0,(F21e4:xl、右顶点分别为 、 过点 的直线交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别相交 、ABFDEADEMN两点（）求 的方程；（）以 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由MN解：（） 焦点为 ，离心率)0,1(F21e， 2分2,ac=， 3分3b-椭圆 的方
12、程为： 。 4分C214xy+=（）解法一：直线 斜率为 时， 三点共线，不合题意。DE0,ADE直线 斜率不为 时，设直线 :1lxty+9， ， 5分2143xty=+联 立 2(4)690tyt+-=设 ，则 6分12(,)(,)DxyE1212,3434tyt-+由 ，得 ，点 ，(0)A-， 1:()ADylx=+16()Mx，同理，点 ， 8分26(4)Nx，由对称性，若定点存在，则定点在 轴上。设点 在以 为直径的圆上，x(0)Gn， N则 ， 9分212126636(4,)(4,)4=02()yyyGMnnxx=-=-+2 21 122123()()() ()9tyttyty-
13、即 ， ， ， 11分2126(4) =093()94)yntt-+-+=0n-17n或以 为直径的圆恒过 轴上两定点 。 12分MNx()1,7,或解法二：由椭圆的对称性得定点在 轴上，设定点 ，则 ，0(PxMPN过点 的直线平行于 轴时， 三点共线，不合题意。Fx,ADE设直线 ，:2ADlmy=-()(,)yx，得 ，2143x+联 立 2(4)10my+-=21=34ADmy+解得 ， 6分2268=,4DDmyx-224,:1FFkly- +-10，得 ，2413mxy-=+联 立 2243(4)(3)906mmyy-+=（ ） 294316DEym-+（ ）解得 ， 8分221=
14、,1EDyxm-+， 9分,4ADEk- 4:(2),:(2)4AAEmlyxlyx=-+=+令 得 10分x=63(,)(,)2MN- 11分049Px-=解得 ， 定点 或 12分017x或 (1,)P(7,0)22(本小题满分12分)已知函数 .lnxfme=-（）若 ，讨论 的单调性；21()()1(0)xgaxa+-()()hxfgx=-（）当 时，证明： 。f解：（） ，21()()1xgmeax=+-，定义域 2()()()lnhxf-()0,+， 1分2 111()()=axaxa-+-=-+=， ，解得 ，0()0hx令 12，当 ，即 时1a函数 的单调增区间为()hx ，
15、单调减区间为1a， ； 4分10,a+，当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ；()hx1a， 10,a()+，（） ， ，定义域 6分1mlnlxxfee=-,令 ，()=lnxe- 1()x令 ， 在区间 上恒成立， 7分1()xu- 2()=0xeu+(),+在区间 上为增函数， 8分()=xem-,， 在区间 上有唯一零点，设零点 ， 1()20,(1)=0e- 1()=xem-,20x，即 ， 10分0()=xe-000lnx-，x1,a1， ()+，()h- 0 + 0 -减函数 增函数 减函数0,()0+，12在区间 上的最小值 ， 11分()xm)0,+0min 01()=)ln=xxex+，即 成立。 12分ln1l1xxfee=-(f()x- 0 +减函数 增函数
