1、1第一节 导数的概念及运算突破点一 导数的运算基 本 知 识 1导数的概念称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 li li m x 0 y x m x 0为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或 y| x x0，即f x0 x f x0 xf( x0)li li .称函数 f( x)li m x 0 y x m x 0 f x0 x f x0 x m x 0为 f(x)的导函数f x x f x x2基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x) c (c为常数) f( x) 0f(x)sin x f( x)cos_ xf(x)e x f( x) exf(x
2、)ln x f( x) 1x基本初等函数 导函数f(x) x ( Q *) f( x) x 1f(x)cos x f( x)sin_ xf(x) ax(a0， a1) f( x) axln_af(x)log ax(a0， a1) f( x)1xln a3.导数运算法则(1)f(x)g(x) f( x)g( x)；(2)f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)；(3) (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg x 24复合函数的导数复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为yx yu ux，即 y对 x的导数等于 y对
3、 u的导数与 u对 x的导数的乘积基 本 能 力 2一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)f( x0)与( f(x0)的计算结果相同( )(2)求 f( x0)时，可先求 f(x0)再求 f( x0)( )(3)f( x0)是导函数 f( x)在 x x0处的函数值( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1函数 y xcos xsin x的导数为_答案： xsin x2已知 f(x)138 x2 x2， f( x0)4，则 x0_.解析： f( x)84 x， f( x0)84 x04，解得 x03.答案：33已知函数 f(x) f cos xsin x，则 f 的值为_(4) (4
4、)解析： f( x) f sin xcos x，(4) f f ，(4) (4) 22 22得 f 1.(4) 2 f(x)( 1)cos xsin x.2 f 1.(4)答案：1典 例 感 悟 1已知函数 f(x) ，则其导函数 f( x)( )xexA. B.1 xex 1 xexC1 x D1 x解析：选 B 函数 f(x) ，则其导函数 f( x) ，故选 B.xex ex xexe2x 1 xex2(2019枣庄三中质检)已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln x，则 f(1)( )Ae B13C1 De解析：选 C 由题可得 f( x)2 f(
5、1) ，则 f(1)2 f(1)1，解得 f(1)1x1，所以选 C.3函数 f(x) xsin cos ，则其导函数 f( x)_.(2x2) (2x 2)解析： f(x) xsin cos xsin(4x)(2x2) (2x 2) 12 xsin 4x， f( x) sin 4x x4cos 4x12 12 12 sin 4x2 xcos 4x.12答案： sin 4x2 xcos 4x12方 法 技 巧 导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式 先化为和、差的形式，再求导根式形
6、式 先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数 如含 f( x0)， a， b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导针 对 训 练 1设 f(x) x(2 019ln x)，若 f( x0)2 020，则 x0等于( )Ae 2 B1Cln 2 De解析：选 B f( x)2 019ln x12 020ln x，由 f( x0)2 020，得 2 020ln x02 020，则 ln x00，解得 x01.2(2019长沙长郡中学一模)等比数列 an中， a12， a84，函数 f(x) x(x a1)
7、(x a2)(x a8)，则 f(0)( )A2 6 B2 9C2 12 D2 15解析： 选 C f( x)( x a1)(x a2)(x a8) x(x a1)(x a2)(x a8)，所以 f(0) a1a2a3a8( a1a8)4(24) 42 12.故选 C.突破点二 导数的几何意义4基 本 知 识 函数 f(x)在点 x0处 的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点 P(x0， y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 y y0 f( x0)(x x0)特别地，如果曲线 y f(x)在点( x0， y0)处的切线垂直于 x轴，则此时导数 f( x0)不存在，由切线定义
8、可知，切线方程为 x x0.基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( )(2)求曲线过点 P的切线时 P点一定是切点( )答案：(1) (2)二、填空题1已知函数 f(x) axln x b(a， bR)，若 f(x)的图象在 x1 处的切线方程为2x y0，则 a b_.解析：由题意，得 f( x) aln x a，所以 f(1) a，因为函数 f(x)的图象在x1 处的切线方程为 2x y0，所以 a2，又 f(1) b，则 21 b0，所以 b2，故a b4.答案：42曲线 ylog 2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形
9、的面积等于_解析： y ，切线的斜率 k ，切线方程为 y (x1)，所求1xln 2 1ln 2 1ln 2三角形的面积 S 1 log2e.12 1ln 2 12ln 2 12答案： log2e123设函数 f(x) g x2，曲线 y g(x)在点(1， g(1)处的切线方程为(x2)9x y10，则曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为_解析：由已知得 g(1)9， g(1)8，又 f( x) g 2 x，12 (x2) f(2) g(1)4 4 ， f(2) g(1)44，12 92 12所求切线方程为 y4 (x2)，即 x2 y60.12答案： x2 y605全 析
10、 考 法 考法一 求切线方程 “过点 A的曲线的切线方程”与“在点 A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者 A必为切点，前者未必是切点曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条切线与曲线的公共点不一定只有一个例 1 已知函数 f(x) x34 x25 x4.(1)求曲线 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解 (1) f( x)3 x28 x5， f(2)1，又 f(2)2，曲线 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 y(2) x2，即 x y40.(2)设切点坐标为( x0， x 4 x 5 x04)，
11、30 20 f( x0)3 x 8 x05，20切线方程为 y(2)(3 x 8 x05)( x2)，20又切线过点( x0， x 4 x 5 x04)，30 20 x 4 x 5 x02(3 x 8 x05)( x02)，30 20 20整理得( x02) 2(x01)0，解得 x02 或 x01，经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y40 或 y20.方法技巧求切线方程问题的 2种类型及方法(1)求“在”曲线 y f(x)上一点 P(x0， y0)处的切线方程：点 P(x0， y0)为切点，切线斜率为 k f( x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y y0 f(
12、x0)(x x0)(2)求“过”曲线 y f(x)上一点 P(x0， y0)的切线方程：切线经过点 P，点 P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法” ，即：设切点 A(x1， y1)，则以 A为切点的切线方程为 y y1 f( x1)(x x1)；根据题意知点 P(x0， y0)在切线上，点 A(x1， y1)在曲线 y f(x)上，得到方程组Error!求出切点 A(x1， y1)，代入方程 y y1 f( x1)(x x1)，化简即得所求的切线方程 考法二 求切点坐标 例 2 (2019柳州一模)已知函数 f(x)e 2x1 ，直线 l过
13、点(0，e)且与曲线y f(x)相切，则切点的横坐标为( )A1 B16C2 De 1解析 设切点为( x0，e 2x01 )， f( x)2e 2x1 ，2e 2x01 ，化简得e2x0 1 ex02x01e22 x0.令 y2 x1e 22 x，则 y22e 22 x0. x1 时， y0， x01.故选 A.答案 A方法技巧求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标 考法三 求参数值或范围 例 3 (1)已知函数 f(x) aln x bx2的图象在点 P(1，1)处的切线与
14、直线x y10 垂直，则 a的值为( )A1 B1C3 D3(2)(2019乐山调研)已知曲线 f(x)e 2x2e x ax1 存在两条斜率为 3的切线，则实数 a的取值范围是( )A. B(3，)(3，72)C. D(0,3)( ，72)解析 (1)由已知可得 P(1,1)在函数 f(x)的图象上，所以 f(1)1，即 aln 1 b121，解得 b1，所以 f(x) aln x x2，故 f( x) 2 x.ax则函数 f(x)的图象在点 P(1,1)处的切线的斜率 k f(1) a2，因为切线与直线 x y10 垂直，所以 a21，即 a3.(2)由题得 f( x)2e 2x2e x
15、a，则方程 2e2x2e x a3 有两个不同的正解，令 te x(t0)，且 g(t)2 t22 t a3，则由图像可知，有 g(0)0且 0，即 a30 且 48( a3)0，解得 31， (0,1)又 g( x)3 a2sin 1ex 1x， 2sin x2,2，3 a2sin x2 3 a,23 a，要使曲线 f(x)上任意一点的切线 l1，总存在曲线 g(x)上一点处的切线 l2，使得 l1 l2，则Error!解得 a .故选 D.13 2384. (2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为2，则考 法 三 a_.解析： y( ax a1)e x，当 x0 时， y a1， a12，解得 a3.答案：3
