1、1第 2 课时 必备方法破解导数问题常用到的 4 种方法构造函数法解决抽象不等式问题以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“ f(x)g(x)， f(x)g(x)， ”等f xg x特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客” ，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题 类型一 构造 y f(x)g(x)型可导函数例 1 设奇函数 f(x)是 R 上的可导函数，当 x0 时有 f( x)cos x0 时， f( x)cos x0，且 g(
2、3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是( )A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)解析 利用构造条件中“ f( x)g(x) f(x)g( x)”与待解不等式中“ f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，可构造函数 F(x) f(x)g(x)，由题意可知，当 x0，所以 F(x)在(，0)上单调递增又因为 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 F(x)是定义在 R 上的奇函数，从而 F(x)在(0，)上单调递增，而 F(3)2 f(3)g(3)0，所以 F(3) F(3)，结合图象可知不等式 f(x)g(x)0F(
3、x)0 的解集为(3,0)(3，)，故选 A.答案 A题后悟通当题设条件中存在或通过变形出现特征式“ f( x)g(x) f(x)g( x)”时，可联想、逆用“ f( x)g(x) f(x)g( x) f(x)g(x)” ，构造可导函数 y f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题 类型三 构造 型可导函数f xg x例 3 已知定义在 R 上函数 f(x)， g(x)满足：对任意 xR，都有 f(x)0， g(x)0，且 f( x)g(x) f(x)g( x)f( )g( )(a b2 )(a b2 ) ab abB f g g f( )(a b2 ) ab (a b2 ) ab
4、D f g( ) ，所以 Ff x g x f x g xg x 2 a b2 aba(a0)：构造函数： h(x) f(x) ax.3(2)条件： f( x)g( x)0：构造函数： h(x) f(x)g(x)(3)条件： f( x) f(x)0：构造函数： h(x)e xf(x)(4)条件： f( x) f(x)0：构造函数： h(x) .f xex(5)条件： xf( x) f(x)0：构造函数： h(x) xf(x)(6)条件： xf( x) f(x)0：构造函数： h(x) .f xx针 对 训 练 1已知定义域为 R 的函数 f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意 xR，都有
5、f( x)20，则不等式 f(log2|3x1|)0，故 F(x)在定义域内单调递增，由 f(1)1，得 F(1) f(1)23，因为由 f(log2|3x1|)xf( x)，则不等式x2f f(x)xf( x)，所以 xf( x) f(x)0，所以 x2f f(x)0a .3 3由 f( x)0 x1 ， x2 . a a2 33 a a2 33x (， x1) (x1， x2) (x2，)f( x) 所以 f(x)的单调递增区间是(， x1)，( x2，)；单调递减区间是( x1， x2)(2)因为 f(x)在 内是减函数，所以 (x1， x2)(23， 13) ( 23， 13)所以 f
6、( x)3 x22 ax10 在 上恒成立(23， 13)所以 2a3 x 在 上恒成立，所以 a2.1x ( 23， 13)题后悟通本题求导后，转化为一个二次型函数的含参问题，首先考虑二次三项式是否存在零点，即对判别式 进行 0 和 0 两类讨论，可归纳为“有无实根判别式，两种情形需知晓” 5例 2 函数 f(x) ，当 a0 时，求 f(x)的单调区间与极值2ax a2 1x2 1解 因为 f( x) (x a) . 2ax2 2 a2 1 x 2a x2 1 2 2a x2 1 2 (x 1a)(1)a0 时x (， a1 ) ( a1 ， a) (a，)f( x) f(x)的极小值为
7、f( a1 ) a2，极大值为 f(a)1.(2)当 a0 时， f(x)的递增区间是( a1 ， a)，递减区间是(， a1 )，(a，)， f(x)的极小值为 f( a1 ) a2，极大值为 f(a)1.当 a1)，讨论 f(x)的单调性axx a解 f( x) .x x a2 2a x 1 x a 2当 a22 a1.x (1， a22 a) (a22 a,0) (0，)f( x) 当 a2 时， f( x) 0， f(x)在(1，)上递增x2 x 1 x 2 2当 a22 a0 时，即 a2 时，x (1,0) (0， a22 a) (a22 a，)f( x) 综上，当 12 时， f
8、(x)的递增区间是(1,0)，( a22 a，)，递减区间是(0， a22 a)；当 a2 时， f(x)在(1，)上递增6题后悟通求导后且导函数可分解且首项系数无参数可求出 f( x)的根后比较两根大小，注意两根是否在定义域内，可归纳为“首项系数无参数，根的大小定胜负定义域，紧跟踪，两根是否在其中” 方 法 技 巧 利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中针 对 训 练 4已知函数
9、f(x)e x(ex a) a2x，讨论 f(x)的单调性解：函数 f(x)的定义域为(，)，f( x)2e 2x aex a2(2e x a)(ex a)若 a0，则 f(x)e 2x在(，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0，得 xln a.当 x(，ln a)时， f( x)0；当 x(ln a，)时， f( x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0，得 xln .(a2)当 x 时， f( x)0；( ， ln(a2)7当 x 时， f( x)0.(ln(a2)， )故 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增( ， ln
10、(a2) (ln( a2)， )转移法解决求解最值中计算困难问题典例 函数 f(x)e xe x2 x，设 g(x) f(2x)4 bf(x)，当 x0 时， g(x)0，求b 的最大值解题观摩 因为 g(x)e 2xe 2 x4 x4 bex4 be x8 bx，所以 g( x)2(e xe x2)(e xe x2 b2)因为 exe x2 2.exe x当 b2 时， g( x)0，所以 g(x)在 R 上递增所以当 x0 时， g(x)g(0)0.当 b2 时，由 exe x2 b20 x1ln( b1 )0， x2ln( b1b2 2b)1，求 a 的取值范围1 x1 x解：当 a0
11、时，因为 x(0,1)，所以 1 且 e ax1，所以 f(x)1.1 x1 x因为 f( x) 0 x21 .ae ax 1 x 2(x2 1 2a) 2a当 0f(0)1.当 a2 时， f(x)在 上递减( 1 2a， 1 2a)所以当 x 时， f(x)f(x2)，即 ab.题后悟通从本题解答来看，为了得到 f(x)的单调性，须判断 f( x)的符号，而 f( x)的分母为正，只需判断分子 xcos xsin x 的符号，但很难直接判断，故可xcos x sin xx2通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题 例 2 已知函数 f(x)e x xln x， g(x)e x
12、tx2 x， tR，其中 e 为自然对数的底数(1)求函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程；(2)若 g(x) f(x)对任意的 x(0，)恒成立，求 t 的取值范围解题观摩 (1)由 f(x)e x xln x，知 f( x)eln x1，则 f(1)e1，而 f(1)e，则所求切线方程为 ye(e1)( x1)，即 y(e1) x1.(2) f(x)e x xln x， g(x)e x tx2 x， tR， g(x) f(x)对任意的 x(0，)恒成立等价于 ex tx2 xe x xln x0 对任意的 x(0，)恒成立，即 t 对任意的 x(0，)恒成立ex x ex
13、xln xx29令 F(x) ，ex x ex xln xx2则 F( x) ，xex ex 2ex xln xx3 1x2(ex e 2exx ln x)令 G(x)e xe ln x，2exx则 G( x)e x 0，对任意的 x(0，)2 xex exx2 1x ex x 1 2 ex xx2恒成立 G(x)e xe ln x 在(0，)上单调递增，且 G(1)0，2exx当 x(0,1)时， G(x)0，即当 x(0,1)时， F( x)0， F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， F(x) F(1)1， t1，即 t 的取值范围是(，1题后悟通本题从题目形式来看，是极
14、其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数 t 的范围问题，实际上是求 F(x) 极值问题，问题是 F( x) Error!exe ln ex x ex xln xx2 1x2 2exxx Error!这个方程求解不易，这时我们可以尝试对 G(x) x2F( x)再一次求导并解决问题所以当导数值等于 0 这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法 方 法 技 巧 判定函数的单调性和求函数极值，都需要判定导函数的正负有些导函数形式很复杂，它的正负很难直接判定，常常需要建立新函数再次求导，通过探求新函数的最值，以此确定导函数的正负针 对 训 练 6讨论函数 f(x)( x1)ln x x1 的单调性解：由 f(x)( x1)ln x x1，可知函数 f(x)的定义域为(0，)易得 f( x)ln x 1ln x ，用 f( x)去分析 f(x)的单调性受阻因此再对 f( x)ln x 1x 1xx 求导，得 f( x) .令 f( x) 0，得 x1.当 01 时， f( x)0，即 f( x)ln 1xx 在区间(1，)上为增函数因此 f( x)min f(1)10，所以函数 f(x)在1x10(0，)上单调递增
