1、1第三节 平面向量的数量积及其应用第 1 课时 系统知识平面向量的数量积平面向量的数量积1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，则 AOB 就是向量 a 与 bOA OB 的夹角(2)范围：设 是向量 a 与 b 的夹角，则 0 180.(3)共线与垂直：若 0，则 a 与 b 同向；若 180，则 a 与 b 反向；若 90，则 a 与 b 垂直2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab |a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即
2、0a0.(2)几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos 的乘积提醒 (1)数量积 ab 也等于 b 的长度 |b|与 a 在 b 方向上的投影 |a|cos 的乘积，这两个投影是不同的(2)a 在 b 方向上的投影也可以写成 ，投影是一个数量，可正可负也可为 0，它的ab|b|符号取决于 角的范围3向量数量积的性质设 a，b 是两个非零向量，e 是单位向量， 是 a 与 e 的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：(1)eaa e |a|e|cos |a|cos .(2)aba b0.(3)a，b 同向a b |a|b|；a，b 反向a b |
3、a|b|.特别地 aa |a|2a 2或 |a| .aa(4)若 为 a，b 的夹角，则 cos .ab|a|b|(5)|ab| |a|b|.(ab)2|ab| 2|a| 22ab|b| 2a 22abb 2；a2b 2(ab)(ab)以上结论可作为公式使用2谨 记 常 用 结 论 4平面向量数量积的运算律(1)abb a(交换律)(2) ab (ab)a (b)(结合律)(3)(ab)ca cb c(分配律)提醒 对于实数 a，b，c 有(ab)ca(bc)，但对于向量 a，b，c 而言，(ab)ca (bc)不一定成立，即不满足向量结合律这是因为(a b)c 表示一个与 c 共线的向量，而
4、 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，所以(ab)ca (bc)不一定成立小 题 练 通 1. 已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方教 材 改 编 题 向上的投影为_答案：22. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b| ，则向量 a 和教 材 改 编 题 3向量 b 的数量积 ab_.解析：a b |a|b|cos 302 3.332答案：33. 在等腰 ABC 中， AB AC2， ABC30， D 为 BC 的中点，则教 材 改 编 题 在 方向上的投影为_CD BA 答案：324. 如图，在 Rt
5、 ABC 中， A90， AB1，易 错 题 则 的值是_AB BC 答案：15已知向量 a，b 满足|a|b|2 且 ab2，则向量 a 与 b 的夹角为_答案：236已知矩形 ABCD 中， AB ， BC1，则 _.2 AC CB 解析：设 a， b，则AB AD ab0，|a| ，|b| 1， (ab)(b)abb 21.2 AC CB 答案：13平面向量数量积的坐标表示已知非零向量 a( x1， y1)，b( x2， y2)，a 与 b 的夹角为 .结论 几何表示 坐标表示模 |a| aa |a| x21 y21夹角 cos ab|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21x
6、2 y2ab 的充要条件 ab0 x1x2 y1y20|ab|与|a |b|的关系 |ab| |a|b|x1x2 y1y2| x21 y21 x2 y2小 题 练 通 1. 已知向量 a(2,1)，b(1， k)，a(2ab)0，则 k_.教 材 改 编 题 答案：122. 向量 a(3,4)在向量 b(1，1)方向上的投影为_教 材 改 编 题 解析：a 在 b 上的投影为 .ab|b| 12 22答案：223. a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余教 材 改 编 题 弦值等于_解析：设 b( x， y)，则 2ab(8 x,6 y)(3,18)，
7、所以Error! 解得Error! 故 b(5,12)，所以 cosa ，b .ab|a|b| 1665答案：16654. 已知向量 a(2,7)，b( x，3)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的易 错 题 取值范围为_解析：由 ab2 x210，得 x ，当 a 与 b 共线时， ，则 x ，212 2x 7 3 67故 x 的取值范围为 x 且 x .212 67答案： ( ， 67) ( 67， 212)5向量 a(1,2)，b(1,1)，若 kab 与 b 互相垂直，则实数 k 的值为_解析： kab( k1,2 k1)，b(1,1)，4( kab)b( k1)(1)2 k1 k20， k2.答案：26设向量 a(1,0)，b(1， m)若 a( mab)，则 m_.解析：因为 a(1,0)，b(1， m)，所以 mab( m1， m)由 a( mab)，得 a(mab)0，即 m10，所以 m1.答案：1
