1、1第二节 平面向量基本定理及坐标表示突破点一 平面向量基本定理基 本 知 识 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)在 ABC中，设 a， b，则向量 a与 b的夹角为 ABC.( )AB BC (3)若 a，b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1.如图，
2、在平行四边形 ABCD中， E为 DC边的中点，且 a， b，则 等AB AD BE 于_答案：b a122设 e1， e2是平面内一组基底，若 1e1 2e20，则 1 2_.答案：03设 e1， e2是平面内一组基底，且 a e 12 e 2，b e 1 e 2，则2ab_.答案：3 e 13 e 2典 例 感 悟 1.(2019郑州模拟)如图，在直角梯形 ABCD中， AB2 AD2 DC， E为 BC边上一点，3 ， F为 AE的中点，则 ( )BC EC BF 2A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 解析：选 C 如图，取
3、 AB的中点 G，连接 DG， CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以 ， BC GD AD AG AD 12AB AE AB BE ，于是 AB 23BC AB 23 23AB 23AD BF AF AB 12AE AB 12 ，故选 C.AB 23AB 13AD 2在 ABC中，点 P是 AB上一点，且 ， Q是 BC的中点， AQ与 CPCP 23CA 13CB 的交点为 M，又 t ，则实数 t的值为_CM CP 解析：因为 ，所以 3 2 ，CP 23CA 13CB CP CA CB 即 2 2 ，所以 2 .CP CA CB CP AP PB 即 P为 AB的一个三等分点(靠近
4、 A点)，又因为 A， M， Q三点共线，设 .AM AQ 所以 ，CM AM AC AQ AC AC 2AB 22 AC 又 t t( ) t t .CM CP AP AC t3AB AC 故Error! 解得Error!故 t的值是 .34答案：34方 法 技 巧 平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决3针 对 训 练 1在梯形 ABCD中， AB CD， AB2 CD， M， N
5、分别为 CD， BC的中点若 ，则 等于( )AB AM AN A. B.15 25C. D.35 45解析：选 D 因为 ( )2 AB AN NB AN CN AN CA AN AN 2 ，所以 ，所以 ， ，所CM MA AN 14AB AM AB 85AN 45AM 45 85以 .452如图，已知平行四边形 ABCD的边 BC， CD的中点分别是 K， L，且 e1， e2，试用 e1， e2表示 ， .AK AL BC CD 解：设 x， y，则 x， y.BC CD BK 12 DL 12由 ， ，AB BK AK AD DL AL 得Error!(2)，得 x2 x e12 e
6、2，12即 x (e12 e2) e1 e2，23 23 43所以 e1 e2.BC 23 43同理可得 y e1 e2，即 e1 e2.43 23 CD 43 23突破点二 平面向量的坐标表示基 本 知 识 1平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模4设 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则：ab( x1 x2， y1 y2)，ab( x1 x2， y1 y2)， a( x 1， y 1)，|a|.x21 y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标一般地，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 ( x2 x1， y2
7、y1)AB 2平面向量共线的坐标表示设 a( x1， y1)，b( x2， y2)，其中 b0，则 a bx1y2 x2y10.基 本 能 力 1已知向量 a(m ,4)，b(3，2)，且 a b，则 m_.解析：a(m ,4)，b(3，2)，a b，2m430.m6.答案：62已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 (4，3)，则向量 _.AC BC 解析：设 C(x， y)，则 ( x， y1)(4，3)，所以Error!解得Error!从而AC (4，2)(3,2)(7，4)BC 答案：(7，4)3已知 A(1,4)， B(3,2)，向量 (2,4)， D为 AC的中点，则 _.BC
8、 BD 解析：设 C(x， y)，则 ( x3， y2)(2,4)，BC 所以Error! 解得Error! 即 C(1,6)由 D为 AC的中点可得点 D的坐标为(0,5)，所以 (03,52)(3,3)BD 答案：(3,3)全 析 考 法 考法一 平面向量的坐标运算 例 1 (1)若 ， 是一组基底，向量 x y (x， yR)，则称( x， y)为向量 在基底 ， 下的坐标，现已知向量 a在基底 p(1，1)， q(2,1)下的坐标为(2,2)，则 a在另一组基底 m(1,1)，n(1,2)下的坐标为( )A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)5(2)(2019内蒙古包钢一
9、中月考)已知在平行四边形 ABCD中， (3,7)，AD (2,3)，对角线 AC与 BD交于点 O，则 的坐标为( )AB CO A. B.(12， 5) (12， 5)C. D.(12， 5) (12， 5)解析 (1)因为 a在基底 p， q下的坐标为(2,2)，即 a2 p2 q(2,4)，令a xm yn( x y， x2 y)，所以Error!即Error!所以 a在基底 m，n 下的坐标为(0,2)(2)因为在平行四边形 ABCD中， (3,7)， (2,3)，对角线 AC与 BD交于AD AB 点 O，所以 ( ) .故选 C.CO AO 12 AD AB ( 12， 5)答案
10、 (1)D (2)C方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解 考法二 平面向量共线的坐标表示 例 2 (2019文登二中模拟)平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(ak c)(2ba)，求实数 k；(2)若 d满足( dc)(ab)，且| d c| ，求 d的坐标5解 (1)ak c(34k ,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0，解得 k .1613
11、(2)设 d( x， y)，则 dc( x4， y1)，又 ab(2,4)，| d c| ，5Error! 解得Error!或Error!d 的坐标为(3，1)或(5,3)方法技巧向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则 a bx1y2 x2y1 0，这是代数运算，用它解决6平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“ ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征(2)当 x2y20 时，a b ，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现x1x2 y1y2搭配错误(3)公式 x1y2 x2y10 无条件 x2
12、y20 的限制，便于记忆；公式 有条件 x2y20x1x2 y1y2的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式 集 训 冲 关 1. 如果向量 a(1,2)，b(4,3)，那么 a2b( )考 法 一 A(9,8) B(7，4)C(7,4) D(9，8)解析：选 B a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选 B.2. 已知向量 a(1，1)，则下列向量中与向量 a平行且同向的是( )考 法 二 Ab(2，2) Bb(2,2)Cb(1,2) Db(2，1)解析：选 A (2，2)2(1，1)，b2a，故选 A.3. 已知向量 a(1，m)，b(4，m)，若有(2|a|b|)(ab)0，则实数考 法 一 m_.解析：因为 ab(5,2m)0，所以由(2|a|b|)(ab)0 得 2|a|b|0，所以|b|2|a|，所以 2 ，解得 m2.42 m2 12 m2答案：24. 已知向量 a(1,2)，b(2,3)，若 manb 与 2ab 共线(其中 nR，考 法 二 且 n0)，则 _.mn解析：由 a(1,2)，b(2,3)，得 manb(m2n ,2m3n)，2ab(0,7)，由manb 与 2ab 共线，可得 7(m2n)0，则 2.mn答案：27
