1、1第一节 数列的概念与简单表示突破点一 数列的通项公式基 本 知 识 1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列 an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列 an的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 an f(an1 )(或 an f(an1 ， an2 )等)，那么这个式子叫做数列 an的递推公式
2、4 Sn与 an的关系已知数列 an的前 n 项和为 Sn，则 anError!这个关系式对任意数列均成立基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( )(3)若已知数列 an的递推公式为 an1 ，且 a21，则可以写出数列 an的任12an 1何一项( )(4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对 nN *，都有 an1 Sn1 Sn.( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1数列 an中， a12，且 an1 an1，则 a5的值为_12解析：由 a12，
3、an1 an1，得12a2 a11110， a3 a21011， a4 a31 1 ， a5 a4112 12 12 12 32 122 1 .34 74答案：742数列 an定义如下： a11，当 n2 时， anError!若 an ，则 n 的值为14_解析：困为 a11，所以a21 a12， a3 ， a41 a23， a5 ， a61 a3 ， a7 ， a811a2 12 1a4 13 32 1a6 23a44， a9 ，所以 n9.1a8 14答案：93数列 an的通项公式 an ，则 3 是此数列的第_项1n n 1 10解析： an ，1n 1 n n 1 n n 1 n n
4、 1 n n 1 n 3 ， 3 是该数列的第 9 项10 10 9 10答案：94已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn n21，则数列 an的通项公式是_答案： anError!全 析 考 法 考法一 利用 an与 Sn的关系求通项 数列 an的前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 anError!通过纽带： an Sn Sn1 (n2)，根据题目已知条件，消掉 an或 Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解例 1 (1)(2019化州模拟)已知 Sn为数列 an的前 n 项和，且 log2(Sn1) n1，则数列 an的通项公式为_(2)(201
5、9广州测试)已知数列 an的各项均为正数， Sn为其前 n 项和，且对任意nN *，均有 an， Sn， a 成等差数列，则 an_.2n解析 (1)由 log2(Sn1) n1，得 Sn12 n1 ，当 n1 时， a1 S13；当 n2 时， an Sn Sn1 2 n，所以数列 an的通项公式为 anError!(2) an， Sn， a 成等差数列，2 Sn an a .2n 2n3当 n1 时，2 S12 a1 a1 a .21又 a10， a11.当 n2 时，2 an2( Sn Sn1 ) an a an1 a ，2n 2n 1( a a )( an an1 )0.2n 2n 1
6、( an an1 )(an an1 )( an an1 )0，( an an1 )(an an1 1)0， an an1 0， an an1 1， an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， an n(nN *)答案 (1) anError! (2) n方法技巧已知 Sn求 an的 3 个步骤(1)先利用 a1 S1求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn1 (n2)便可求出当n2 时 an的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2
7、两段来写 考法二 利用递推关系求通项 例 2 (1)在数列 an中， a12， an1 an3 n2，求数列 an的通项公式(2)在数列 an中， a11， an an1 (n2)，求数列 an的通项公式n 1n(3)在数列 an中 a11， an1 3 an2，求数列 an的通项公式(4)已知数列 an中， a11， an1 ，求数列 an的通项公式2anan 2解 (1)因为 an1 an3 n2，所以 an an1 3 n1( n2)，所以 an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1 (n2)n 3n 12当 n1 时， a12 (311)，符合上式，12所以
8、an n2 .32 n2(2)因为 an an1 (n2)，n 1n所以 an1 an2 ， a2 a1.n 2n 1 124由累乘法可得 an a1 (n2)又 a11 符合上式， an .12 23 n 1n a1n 1n 1n(3)因为 an1 3 an2，所以 an1 13( an1)，所以 3，所以数列 an1为an 1 1an 1等比数列，公比 q3，又 a112，所以 an123 n1 ，所以 an23 n1 1.(4) an1 ， a11， an0，2anan 2 ，即 ，又 a11，则 1，1an 1 1an 12 1an 1 1an 12 1a1 是以 1 为首项， 为公差
9、的等差数列1an 12 ( n1) ，1an 1a1 12 n2 12 an (nN *)2n 1方法技巧 典型的递推数列及处理方法递推式 方法 示例an1 an f(n) 叠加法 a11， an1 an2 nan1 anf(n) 叠乘法 a11， 2 nan 1anan1 Aan B (A0,1， B0)化为等比数列 a11， an1 2 an1an1 AanBan C(A， B， C 为常数)化为等差数列 a11， an1 3an2an 3集 训 冲 关 1. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a11， Sn ，则 a2 019( )考 法 一 n 1 an2A2 018 B2 0
10、19C4 036 D4 038解析：选 B 由题意知 n2 时， an Sn Sn1 ，化为 n 1 an2 nan 12 ，ann an 1n 1 1， an n.则 a2 0192 019.故选 B.ann an 1n 1 a112. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn2 an1 ，则 Sn( )考 法 一 A2 n1 B n1(32)5C. n1 D n1(23) (12)解析：选 B Sn2 an1 2 Sn1 2 Sn3Sn2 Sn1 ，故数列 Sn为等比数列，Sn 1Sn 32公比是 ，又 S11，所以 Sn1 n1 n1 .故选 B.32 (32) (32)3
11、. 已知在数列 an中， an1 an(nN *)，且 a14，则数列 an的通项公考 法 二 nn 2式 an_.解析：由 an1 an，得 ，故 ， ， (n2)，nn 2 an 1an nn 2 a2a1 13 a3a2 24 anan 1 n 1n 1以上式子累乘得， .因为 a14，所以 anana1 13 24 n 3n 1 n 2n n 1n 1 2n n 1(n2)因为 a14 满足上式，所以 an .8n n 1 8n n 1答案：8n n 14. 已知数列 an满足 a12， an an1 n(n2， nN *)，则考 法 二 an_.解析：由题意可知， a2 a12， a
12、3 a23， an an1 n(n2)，以上式子累加得， an a123 n.因为 a12，所以 an2(23 n)2 (n2) n 1 2 n2 n2 n 22因为 a12 满足上式，所以 an .n2 n 22答案：n2 n 22突破点二 数列的性质基 本 知 识 数列的分类分类标准 类型 满足条件有穷数列 项数有限按项数分类无穷数列 项数无限递增数列 an1 an按项与项间的大小关系分类 递减数列 an1 0，即 an1 an；当 n2 时， an1 an0，即 an1 an；当 n2 时， an1 ana4a5an，所以数列 an中的最大项为 a2或 a3，且 a2 a32 2 .故选
13、 A.(23) 89法二：(作商比较法)7 ，an 1an n 1 (23)n 1n(23)n 23(1 1n)令 1，解得 n2.an 1an an 1an an 1an又 an0，故 a1a4a5an，所以数列 an中的最大项为 a2或 a3，且 a2 a32 2 .故选 A.(23) 89答案 A方法技巧求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数 f(x)当 xN *时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项(2)通过通项公式 an研究数列的单调性，利用Error!( n2)确定最大项，利用E
14、rror!(n2)确定最小项(3)比较法：若有 an1 an f(n1) f(n)0 Error!或 an0 时， 1Error!，则 an1 an，即an 1an数列 an是递增数列，所以数列 an的最小项为 a1 f(1)；若有 an1 an f(n1) f(n)0 时， 1Error!，则 an1 an，即an 1an数列 an是递减数列，所以数列 an的最大项为 a1 f(1) 考法二 数列的周期性 数列的周期性与函数的周期性相类似求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题例 2 (2019广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列 2 0
15、08,2 009,1，2 008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 018 项之和 S2 018_.解析 由题意可知 an1 an an2 ， a12 008， a22 009， a31， a42 008， a52 009， a61， a72 008， a82 009， an6 an，即数列 an是以6 为周期的数列，又 a1 a2 a3 a4 a5 a60， S2 018336( a1 a2 a3 a4 a5 a6)( a1 a2) 4 017.答案 4 017方法技巧周期数列的常见形式与解题方法8(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推
16、关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前 n 项的和 集 训 冲 关 1. 若数列 an中， a12， a23， an1 an an1 (n2)，则 a2 019( )考 法 二 A1 B2C3 D3解析：选 A 因为 an an1 an2 (n3)，所以 an1 an an1 ( an1 an2 ) an1 an2 ，所以 an3 an，所以 an6 an3 an，所以 an是以 6 为周期的周期数列因为 2 01933663，所以 a2 019 a3 a2 a1321.故选 A.2. 已知数列 an满足 an (nN *)，则数列 an的最小项是第_考 法 一 n 13n 16项解析：因为 an ，所以数列 an的最小项必为 an0，即 0,3n160，从n 13n 16 n 13n 16而 n .又 nN *，所以当 n5 时， an的值最小163答案：59
