1、1课时跟踪检测（三十七） 数列的综合应用1(2019深圳模拟)设函数 f(x) xm ax的导函数 f( x)2 x1，则数列(nN *)的前 n项和是 ( )1f n A. Bnn 1 n 2n 1C. Dnn 1 n 1n解析：选 A f( x) mxm1 a2 x1， a1， m2， f(x) x(x1)，则 ，用裂项法求和得 Sn1 1f n 1n n 1 1n 1n 1 12 12 .13 1n 1n 1 nn 12已知函数 f(n)Error!且 an f(n) f(n1)，则 a1 a2 a3 a2 018( )A2 017 B2 018C2 017 D2 018解析：选 D 当
2、 n为奇数时， n1 为偶数，则 an n2( n1) 22 n1，所以a1 a3 a5 a2 017 (37114 035)当 n为偶数时， n1 为奇数，则an n2( n1) 22 n1，所以 a2 a4 a6 a2 01859134 037.所以a1 a2 a3 a2 018(5 3)(97)(1311)(4 0374 035)21 0092 018，故选 D.3(2017四川乐山模拟)对于数列 an，定义 H0 为 an的a1 2a2 2n 1ann“优值” 现已知某数列的“优值” H02 n1 ，记数列 an20的前 n项和为 Sn，则 Sn的最小值为( )A64 B68C70 D
3、72解析：选 D 由题意可知： H0 2 n1 ，a1 2a2 2n 1ann则 a12 a22 n1 an n2n1 .当 n2 时， a12 a22 n2 an1 ( n1)2 n，两式相减得 2n1 an n2n1 ( n1)2 n， an2( n1)，当 n1 时成立， an202 n18，显然 an20为等差数列令 an200，解得 n9，故当 n8 或 9时， an20的前 n项和 Sn取最小值，2最小值为 S8 S9 72，故选 D.9 16 024(2019湖北襄阳联考)已知函数 f 为奇函数， g(x) f(x)1，若 an g(x12)，则数列 an的前 2 018项和为(
4、 )(n2 019)A2 017 B2 018C2 019 D2 020解析：选 B 函数 f 为奇函数，其图象关于原点对称，函数 f(x)的图象(x12)关于点 对称，函数 g(x) f(x)1 的图象关于点 对称， g(x) g(1 x)(12， 0) (12， 1)2， an g ，数列的前 2 018项之和为 g g g g(n2 019) ( 12 019) ( 22 019) ( 32 019) g 2 018.故选 B.(2 0172 019) (2 0182 019)5(2019林州一中调研)已知数列 an的前 n项和为 Sn，且a15， an1 an6，若对任意的 nN *,
5、1 p(Sn4 n)3 恒成立，则实数 p的取值范围12为( )A(2,3 B2,3C(2,4 D2,4解析：选 B 由数列的递推关系式可得 an1 4 (an4)，则数列 an4是首项为12a141，公比为 的等比数列， an41 n1 ， an n1 4， Sn12 ( 12) ( 12) 234 n，不等式 1 p(Sn4 n)3 恒成立，即 1 p 3 恒成1 (12)n 231 ( 12)n立当 n为偶数时，可得 1 p 3，可得 2 p ，当 n为奇数时，可得231 (12)n 921 p 3，可得 p3，故实数 p的取值范围为2,3231 (12)n 326(2019昆明适应性检
6、测)已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 an4 n，若不等式Sn8 n 对任意的 nN *都成立，则实数 的取值范围为_解析：因为 an4 n，所以 Sn2 n22 n，不等式 Sn8 n 对任意的 nN *恒成立，即 ，又 2 n 210(当且仅当 n2 时取等号)，所以实数 2n2 2n 8n 2n2 2n 8n 8n的取值范围为(，10答案：(，1037(2019济宁模拟)若数列 an满足：只要 ap aq(p， qN *)，必有 ap1 aq1 ，那么就称数列 an具有性质 P.已知数列 an具有性质 P，且a11， a22， a33， a52， a6 a7 a821，则 a2 0
7、20_.解析：根据题意，数列 an具有性质 P，且 a2 a52，则有 a3 a63， a4 a7， a5 a82.由 a6 a7 a821，可得 a3 a4 a521，则 a4213216，进而分析可得a3 a6 a9 a3n3， a4 a7 a10 a3n1 16， a5 a8 a3n2 2( n1)，则 a2 020 a36731 16.答案：168我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高 3尺，莞草第一天长高 1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2倍问第几天蒲草
8、和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0)解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为 a13，公比为 的等比数列 an，设其前 n12项和为 An；莞草的高度组成首项为 b11，公比为 2的等比数列 bn，设其前 n项和为 Bn.则 An ， Bn ，令 ，化简得 2n 7( nN *)，解得3(1 12n)1 12 2n 12 13(1 12n)1 12 2n 12 1 62n2n6，所以 n 1 3，即第 3天时蒲草和莞草高度相同lg 6lg 2 lg 3lg 2答案：
9、39(2019安阳模拟)设等差数列 an的前 n项和为 Sn，点( n， Sn)在函数 f(x) x2 Bx C1( B， CR)的图象上，且 a1 C.(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列 bn an(a2n1 1)，求数列 bn的前 n项和 Tn.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，则 Sn na1 d n2 n.n n 12 d2 (a1 d2)又 Sn n2 Bn C1，4两式比较得 1， B a1 ， C10.又 a1 C，d2 d2解得 d2， C1 a1， B0， an12( n1)2 n1.(2) bn an(a2n1 1)(2 n1)(22 n1 11)(2 n1)
10、2 n，数列 bn的前 n项和 Tn232 252 3(2 n1)2 n，2 Tn2 232 3(2 n3)2 n(2 n1)2 n1 ， Tn22(2 22 32 n)(2 n1)2 n122 (2 n1)2 n1 (32 n)2n1 6，4 2n 1 12 1故 Tn(2 n3)2 n1 6.102017 年 12月 4日 0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车假设购车费用为 14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共 0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年 0.2万元，第二年0.4万元，第三年 0.6万元，依等差数列逐年递
11、增(1)设使用 n年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n)，试写出 f(n)的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？解：(1)由题意得 f(n)14.4(0.20.40.60.2 n)0.9 n14.40.9 n0.1 n2 n14.4.0.2n n 12(2)设该车的年平均费用为 S万元，则有S f(n) (0.1n2 n14.4) 12 13.4.1n 1n n10 14.4n 1.44当且仅当 ，即 n12 时，等号成立，即 S取最小值 3.4万元所以这种新能n10 14.4n源汽车使用 12年报废最合算，年平均费
12、用的最小值是 3.4万元11(2018淮南一模)若数列 an的前 n项和为 Sn，点( an， Sn)在 y x的图象上16 13(nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 c10，且对任意正整数 n都有 cn1 cnlog an.求证：对任意正整数 n2，12总有 .13 1c2 1c3 1c4 1cn34解：(1) Sn an，16 135当 n2 时， an Sn Sn1 an1 an，13 13 an an1 .14又 S1 a1， a1 ，16 13 18 an n1 2n1 .18 (14) (12)(2)证明：由 cn1 cnlog an2 n1，得当 n2 时， cn c1( c2 c1)( c3 c2)12( cn cn1 )035(2 n1) n21( n1)( n1) 1c2 1c3 1c4 1cn 122 1 132 1 142 1 1n2 1 Error! Error!12 (1 13) (12 14) (13 15) ( 1n 1 1n 1)12(1 12) (1n 1n 1) .34 12(1n 1n 1)34又 ，原式得证1c2 1c3 1c4 1cn 1c2 136
