1、1课时跟踪检测（五十五） 题型上全析高考常考的 6 大题型1(2019唐山联考)已知 F 为抛物线 E： y24 x 的焦点，过点 P(0,2)作两条互相垂直的直线 m， n，直线 m 交 E 于不同的 A， B 两点，直线 n 交 E 于不同的两点 C， D，记直线m 的斜率为 k.(1)求 k 的取值范围；(2)设线段 AB， CD 的中点分别为点 M， N，证明：直线 MN 过定点 Q(2,0)解：(1)由题设可知 k0，所以直线 m 的方程为 y kx2，与 y24 x 联立，整理得 ky24 y80.由 11632 k0，解得 k .12直线 n 的方程为 y x2，与 y24 x
2、联立，1k整理得 y24 ky8 k0，由 216 k232 k0，解得 k0 或 k2.所以Error!故 k 的取值范围为(，2) .(0，12)(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)由得， y1 y2 ，则 y0 ， x0 ，则 M .同理可得4k 2k 2k2 2k (2k2 2k， 2k)N(2k22 k，2 k)直线 MQ 的斜率 kMQ ，2k2k2 2k 2 kk2 k 1直线 NQ 的斜率 kNQ kMQ， 2k2k2 2k 2 kk2 k 1所以直线 MN 过定点 Q(2,0)2已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)， B(2,
3、0)，焦点在 x轴上，离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图所示，点 D 为 x 轴上一点，过点 D 作 x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点 M， N，过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 .45解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( a b0)，x2a2 y2b22由题意得Error!解得 c ，所以 b2 a2 c21，3所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明：设 D(x0,0)， M(x0， y0)， N(x0， y0)，2 x02，所以 kAM ，y0x0 2因为 AM DE，所以 kDE ，2 x0y0所以直线
4、DE 的方程为 y (x x0)2 x0y0因为 kBN ，y0x0 2所以直线 BN 的方程为 y (x2)y0x0 2由Error! 解得 E ，(45x0 25， 45y0)所以 S BDE |BD|yE|， S BDN |BD|yN|，12 12所以 ，S BDES BDN12|BD|yE|12|BD|yN| | 45y0| y0| 45结论成立3(2019南昌模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为F，准线为 l，过焦点 F 的直线交 C 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，y1y24.(1)求抛物线 C 的方程；(2)如图，点 B 在准线 l 上的正投影为
5、 E， D 是 C 上一点，且AD EF，求 ABD 面积的最小值及此时直线 AD 的方程解：(1)依题意知 F ，(p2， 0)当直线 AB 的斜率不存在时， y1y2 p24，解得 p2.当直线 AB 的斜率存在时，设 lAB： y k (k0)，(xp2)由Error! 消去 x 并整理，得 y2 y p20，2pk则 y1y2 p2，由 y1y24 得 p24，解得 p2.综上所述，抛物线 C 的方程为 y24 x.(2)设 D(x0， y0)， B ，(t24， t)3则 E(1， t)，又由 y1y24，可得 A .(4t2， 4t)因为 kEF ， AD EF，所以 kAD ，t
6、2 2t则直线 AD： y ，化简得 2x ty4 0.4t 2t(x 4t2) 8t2由Error! 消去 x 并整理，得 y22 ty8 0， (2 t)16t224 4t2 320 恒成立，( 816t2) 64t2所以 y1 y02 t， y1y08 .16t2于是| AD| |y1 y0|1 t24 ，1 t24 y1 y0 2 4y1y0 4 t2 t2 16t2 8设点 B 到直线 AD 的距离为 d，则 d .|t22 t2 4 8t2|4 t2|t2 16t2 8|24 t2所以 S ABD |AD|d 16，12 14 (t2 16t2 8)3当且仅当 t416，即 t2
7、时取等号，即 ABD 的最小值为 16.当 t2 时，直线 AD： x y30；当 t2 时，直线 AD： x y30.4(2019昆明调研)已知椭圆 C： 1( a b0)的焦距为 4， P 是椭圆x2a2 y2b2 (2， 55)C 上的点(1)求椭圆 C 的方程；(2)O 为坐标原点， A， B 是椭圆 C 上不关于坐标轴对称的两点，设 ，OD OA OB 证明：直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知 2c4，即 c2，则椭圆 C 的方程为 1，x2a2 y2a2 4因为点 P 在椭圆 C 上，(2，55)所以 1，解得 a25 或 a2 (舍去)，4a2 15
8、 a2 4 1654所以椭圆 C 的方程为 y21.x25(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2且 x1 x20，由 得， D(x1 x2， y1 y2)，OA OB OD 所以直线 AB 的斜率 kAB ，y1 y2x1 x2直线 OD 的斜率 kOD ，y1 y2x1 x2由Error! 得 (x1 x2)(x1 x2)( y1 y2)(y1 y2)0，即 ，所以15 y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 15kABkOD .15故直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值 .155已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F
9、(2，0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( a b0)，且可知其左焦点为x2a2 y2b2F(2,0)从而有Error! 解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212.故椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y x t.32由Error! 得 3x23 tx t2120.因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以 (3 t)24
10、3( t212)1443 t20，解得4 t4 .3 3另一方面，由直线 OA 与 l 的距离等于 4，可得 4，从而 t2 .由于2|t|94 1 134 ，4 ，13 3 3所以符合题意的直线 l 不存在56(2019新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的焦距为 2，且过点x2a2 y2b2.(1，22)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 M(2,0)的直线交椭圆 C 于 A， B 两点， P 为椭圆 C 上一点， O 为坐标原点，且满足 t ，其中 t ，求| AB|的取值范围OA OB OP (263， 2)解：(1)依题意得Error!解得Error!椭圆 C 的方程
11、为 y21.x22(2)由题意可知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y k(x2)由Error!得(12 k2)x28 k2x8 k220， 8(12 k2)0，解得 k2 .12设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 k(x1 x24)8k21 2k2 8k2 21 2k2 .4k1 2k2由 t ，得 P ，OA OB OP ( 8k2t 1 2k2 ， 4kt 1 2k2 )代入椭圆 C 的方程得 t2 .16k21 2k2由 t2，得 k2 ，263 14 12| AB| 1 k2221 2k21 2k22 .2 1 2k2 2 11 2k2 1令 u ，则 u ，11 2k2 (12， 23)| AB|2 .2u2 u 1 (0，253)| AB|的取值范围为 . (0，253)6
