1、1课时跟踪检测（五十四）解题上5 大技法破解“计算繁而杂”这一难题1(2018惠州二模)设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，点 P在椭圆上，若线段x29 y25PF1的中点在 y轴上，则 的值为( )|PF2|PF1|A. B.514 59C. D.49 513解析：选 D 如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O是 F1F2的中点，所以 OM PF2，可得 PF2 x轴，|PF2| ，| PF1|2 a| PF2| ， ，故选 D.b2a 53 133 |PF2|PF1| 5132设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 y22 px(p0)上任意一点， M是线段 PF上的点，且|
2、 PM|2| MF|，则直线 OM的斜率的最大值为( )A B33 23C D122解析：选 C 如图所示，设 P(x0， y0)(y00)，则 y 2 px0，20即 x0 .y202p设 M(x， y)，由 2 ，PM MF 得Error! 化简可得Error!直线 OM的斜率 k (当且仅当 y0 p时取等y03p x03 y0p y202p 2p2p2y0 y0 2p22p2 22 2号)3(2019合肥质检)如图，椭圆 1( a0)的左、右x2a2 y24焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 M， N两点，交 y轴于点 H.若 F1， H是线段 MN的三等分点，则 F2M
3、N的周长为( )A20 B102C2 D45 5解析：选 D 由 F1， H是线段 MN的三等分点，得 H是 F1N的中点，又 F1( c,0)，点 N的横坐标为 c，联立方程，得Error!得 N ， H ， M .把点 M的坐(c，4a) (0， 2a) ( 2c， 2a)标代入椭圆方程得 1，化简得 c2 ，又 c2 a24， a24，解4c2a2 ( 2a)24 a2 14 a2 14得 a25， a .由椭圆的定义知| NF2| NF1| MF2| MF1|2 a， F2MN的周长为5|NF2| MF2| MN| NF2| MF2| NF1| MF1|4 a4 ，故选 D.54已知双
4、曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1( c，0)， F2(c,0)， Px2a2 y2b2为双曲线上任一点，且 最小值的取值范围是 ，则该双曲线的离PF1 PF2 34c2， 12c2心率的取值范围为( )A(1， B ，22 2C(0， D2，)2解析：选 B 设 P(x0， y0)，则 ( c x0， y0)(c x0， y0)PF1 PF2 x c2 y a2 c2 y ，20 20 (1y20b2) 20上式当 y00 时取得最小值 a2 c2，根据已知 c2 a2 c2 c2，34 12所以 c2 a2 c2，即 2 4，即 2，14 12 c2a2 2 ca所以所求双
5、曲线的离心率的取值范围是 ，225过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，斜率为 的直线交抛物线于 A， B两点，若43 ( 1)，则 的值为( )AF FB A5 B4C D43 52解析：选 B 根据题意设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，得 ，AF FB (p2 x1， y1) (x2 p2， y2)3故 y1 y 2，即 .y1y2设直线 AB的方程为 y ，43(x p2)联立直线与抛物线方程，消去 x，得 y2 py p20.32故 y1 y2 p， y1y2 p2，32则 2 ， y1 y2 2y1y2 y1y2 y2y1 94即 2 .1 94又 1，解得 4
6、.6中心为原点，一个焦点为 F(0,5 )的椭圆，截直线 y3 x2 所得弦中点的横坐标2为 ，则该椭圆方程为_12解析：由已知得 c5 ，2设椭圆的方程为 1，x2a2 50 y2a2联立Error!消去 y得(10 a2450) x212( a250) x4( a250) a2(a250)0，设直线 y3 x2与椭圆的交点坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，由根与系数的关系得 x1 x2 ，12 a2 5010a2 450由题意知 x1 x21，即 1，解得 a275，12 a2 5010a2 450所以该椭圆方程为 1.y275 x225答案： 1y275 x2257已知
7、AB为圆 x2 y21 的一条直径，点 P为直线 x y20 上任意一点，则 的最小值为_PA PB 解析：由题意，设 A(cos ，sin )， P(x， x2)，则 B(cos ，sin )， (cos x，sin x2)，PA 4(cos x，sin x2)，PB (cos x)(cos x)(sin x2)(sin x2)PA PB x2( x2) 2cos 2 sin 22 x24 x32( x1) 21，当且仅当 x1，即 P(1，1)时， 取最小值 1.PA PB 答案：18(2019武汉调研)已知 A， B分别为椭圆 1(0 b3)的左、右顶点， P，Qx29 y2b2是椭圆上
8、关于 x轴对称的不同两点，设直线 AP， BQ的斜率分别为 m， n，若点 A到直线 yx的距离为 1，则该椭圆的离心率为_1 mn解析：根据椭圆的标准方程 1(0 b3)知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，x29 y2b2A(3,0)， B(3,0)，设 P(x0， y0)，Q( x0， y0)，则 1， kAP m ， kBQ nx209 y20b2 y0x0 3， mn ， ，直线 y x x，即 y0x0 3 y20x20 9 b29 1 mn 9 b23 1 mn 9 b23x3 y0.又点 A到直线 y x的距离为 1， 1，9 b2 1 mn| 39 b2|9 b2 9 39 b
9、218 b2解得 b2 ， c2 a2 b2 ， e .638 98 c2a2 18 24答案：249已知椭圆 C： y21 过点 A(2,0)， B(0,1)两点设 P为第三象限内一点且在椭x24圆 C上，直线 PA与 y轴交于点 M，直线 PB与 x轴交于点 N，求证：四边形 ABNM的面积为定值解：设 P(x0， y0)(x00， y00)，则 x 4 y 4，20 20又 A(2,0)， B(0,1)，所以，直线 PA的方程为 y (x2)，y0x0 2令 x0，得 yM ，2y0x0 2从而| BM|1 yM1 ，2y0x0 25直线 PB的方程为 y x1，y0 1x0令 y0，得
10、 xN ，x0y0 1从而| AN|2 xN2 ，x0y0 1所以四边形 ABNM的面积S |AN|BM|12 12(2 x0y0 1)(1 2y0x0 2)x20 4y20 4x0y0 4x0 8y0 42 x0y0 x0 2y0 22x0y0 2x0 4y0 4x0y0 x0 2y0 22，从而四边形 ABNM的面积为定值10已知离心率为 的椭圆 1( a b0)的一个焦点为 F，过 F且与 x轴垂直63 x2a2 y2b2的直线与椭圆交于 A， B两点，| AB| .233(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线 y kx2 与椭圆交于 C， D两点，若以线段 CD为直径的圆过点 E(1,0
11、)，求 k的值解：(1)设焦距为 2c， e ， a2 b2 c2，ca 63 .由题意可知 ， b1， a ，ba 33 b2a 33 3椭圆的方程为 y21.x23(2)将 y kx2 代入椭圆方程，得(13 k2)x212 kx90，又直线与椭圆有两个交点，所以 (12 k)236(13 k2)0，解得 k21.设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .12k1 3k2 91 3k2若以 CD为直径的圆过 E点，则 0，EC ED 6即( x11)( x21) y1y20，而 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4，所以( x11)( x21) y1y2( k21) x1x2(2 k1)( x1 x2)5 50，9 k2 11 3k2 12k 2k 11 3k2解得 k ，满足 k21，所以 k .76 767
