1、1课时跟踪检测（五十） 双曲线A级 基础题基稳才能楼高1(2018浙江高考)双曲线 y21 的焦点坐标是( )x23A( ，0)，( ，0) B(2,0)，(2,0)2 2C(0， )，(0， ) D(0，2)，(0,2)2 2解析：选 B 双曲线方程为 y21，x23 a23， b21，且双曲线的焦点在 x轴上， c 2，a2 b2 3 1即得该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0)2(2019南宁摸底联考)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220A y x B y x45 54C y x D y x15 255解析：选 D 在双曲线 1 中， a5， b2 ，其渐近线方程为 y
2、 x，x225 y220 5 255故选 D.3(2019合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是 y x的是( )34A. 1 B. 1x2144 y281 y218 x232C. 1 D. 1y29 x216 x24 y23解析：选 D 对于 A，渐近线方程为 y x x；对于 B，渐近线方程为 y912 34x x；对于 C，渐近线方程为 y x；对于 D，渐近线方程为 y x故选 D.1832 34 34 324(2019铜陵模拟)已知双曲线 1 的右焦点为 F， P为双曲线左支上一点，x24 y22点 A(0， )，则 APF周长的最小值为( )2A4(1 ) B42 2C2( ) D
3、. 32 6 6 2解析：选 A 设双曲线的左焦点为 F，易得点 F( ，0)， APF的周长6l| AF| AP| PF| AF|2 a| PF| AP|，要使 APF的周长最小，只需2|AP| PF|最小，易知当 A， P， F三点共线时取到，故 l2| AF|2 a4(1 )故2选 A.5(2019合肥一模)若双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y2 x，则该双曲线的离心率是( )A B52 3C D25 3解析：选 C 由双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，且双曲线的x2a2 y2b2 ba一条渐近线方程为 y2 x，得 2，则 b2 a，则
4、双曲线的离心率 e ba ca a2 b2a .故选 C.a2 4a2a 5aa 56(2019德州一模)已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点在抛物线x2a2 y2b2y216 x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点( ，3)，则双曲线的方程为( )3A. 1 B. 1x24 y220 x212 y24C. 1 D. 1x24 y212 x220 y24解析：选 C 双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，由双曲线的一x2a2 y2b2 ba条渐近线过点( ，3)，可得 ， 3ba 3由双曲线的一个焦点( c,0)在抛物线 y216 x的准线 x4 上，可得 c4，即有 a2
5、b216， 由解得 a2， b2 ，3则双曲线的方程为 1.故选 C.x24 y212B级 保分题准做快做达标1(2017全国卷)已知 F是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P是 C上一点，且 PFy23与 x轴垂直，点 A的坐标是(1,3)，则 APF的面积为( )A. B.13 12C. D.23 323解析：选 D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x2 时，代入双曲线 C的方程，得 4 1，解得 y3，不妨取点 P(2,3)，因为点 A(1,3)，所以 AP x轴，y23又 PF x轴，所以 AP PF，所以 S APF |PF|AP| 31 .12 12 32法二
6、：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x2 时，代入双曲线 C的方程，得4 1，解得 y3，不妨取点 P(2,3)，因为点 A(1,3)，所以 (1,0)，y23 AP (0，3)，所以 0，所以 AP PF，所以 SPF AP PF APF |PF|AP| 31 .12 12 322(2019黄冈质检)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点 F作圆 x2 y2 a2的x2a2 y2b2切线 FM(切点为 M)，交 y轴于点 P，若 M为线段 FP的中点，则双曲线的离心率为( )A. B.2 3C2 D. 5解析：选 A 连接 OM.由题意知 OM PF，且| FM| PM|，| O
7、P| OF|， OFP45，| OM| OF|sin 45，即 a c ，22 e .故选 A.ca 23(2019银川模拟)已知双曲线 1(0 a1)的离心率为 ，则 a的值为( )x2a2 y21 a2 2A. B.12 22C. D.13 33解析：选 B c2 a21 a21， c1，又 ， a ，故选 B.ca 2 224(2019辽宁五校联考)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线C： 1( a0， b0)的离心率为 ，从双曲线 C的右焦点 F引渐近线的垂线，垂足x2a2 y2b2 5为 A，若 AFO的面积为 1，则双曲线 C的方程为( )A 1 B y21x22 y28 x24
8、C 1 D x2 1x24 y216 y24解析：选 D 因为双曲线 C的右焦点 F到渐近线的距离| FA| b，| OA| a，所以4ab2，又双曲线 C的离心率为 ，所以 ，即 b24 a2，解得 a21， b24，所51 b2a2 5以双曲线 C的方程为 x2 1，故选 D.y245(2019黄山一诊)双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线与直线x2a2 y2b2x2 y10 垂直， F1， F2为 C的焦点， A为双曲线上一点，若| F1A|2| F2A|，则cos AF2F1等于( )A. B.32 54C. D.55 14解析：选 C 因为双曲线的一条渐近线与直线 x2 y
9、10 垂直，所以 b2 a.又|F1A|2| F2A|，且| F1A| F2A|2 a，所以| F2A|2 a，| F1A|4 a，而 c25 a2，得 2c2a，所以 cos AF2F1 ，故选 C.5|F1F2|2 |F2A|2 |F1A|22|F1F2|F2A| 20a2 4a2 16a2225a2a 556(2019天津和平一模)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，过右焦点x2a2 y2b2 32F作渐近线的垂线，垂足为 M.若 FOM的面积为 ，其中 O为坐标原点，则双曲线的方程5为( )A x2 1 B. 14y25 x22 2y25C. 1 D. 1x24 y25 x2
10、16 y220解析：选 C 由题意可知 e ，可得 ，ca 32 ba 52取一条渐近线为 y x，ba可得 F到渐近线 y x的距离 d b，ba bca2 b2在 Rt FOM中，由勾股定理可得| OM| a，|OF|2 |MF|2 c2 b2由题意可得 ab ，联立Error!解得Error!12 5所以双曲线的方程为 1.故选 C.x24 y257(2019湘中名校联考)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点且垂直于 x轴的x2a2 y2b2直线与双曲线交于 A， B两点，与双曲线的渐近线交于 C， D两点，若| AB| |CD|，则双曲355线离心率的取值范围为( )A. B.53，
11、 ) 54， )C. D.(1，53 (1， 54解析：选 B 将 x c代入 1 得 y ，x2a2 y2b2 b2a不妨取 A ， B ，所以| AB| .(c，b2a) (c， b2a) 2b2a将 x c代入双曲线的渐近线方程 y x，得 y ，ba bca不妨取 C ， D ，所以| CD| .(c，bca) (c， bca) 2bca因为| AB| |CD|，所以 ，35 2b2a 35 2bca即 b c，则 b2 c2，即 c2 a2 c2，35 925 925即 c2 a2，所以 e2 ，所以 e .1625 2516 548(2019桂林模拟)若双曲线 1( a0， b0)
12、上存在一点 P满足以| OP|为边x2a2 y2b2长的正方形的面积等于 2ab(其中 O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )A. B.(1，52 (1， 72C. D.52， ) 72， )解析：选 C 由条件得| OP|22 ab.又 P为双曲线上一点，| OP| a，2 ab a2，2 b a.又 c2 a2 b2 a2 a2， e .双曲线离a24 54 ca 52心率的取值范围是 .52， )9(2019惠州调研)已知 O为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2 y21 的左、右焦点， P为双曲线左支上任一点，过点 F1作 F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则|O
13、H|( )A1 B2C4 D12解析：选 A 如图，延长 F1H交 PF2于点 Q，由 PH为 F1PF2的6平分线及 PH F1Q，可知| PF1| PQ|，根据双曲线的定义，得| PF2| PF1|2，从而|QF2|2，在 F1QF2中，易知 OH为中位线，故| OH|1.故选 A.10(2019郑州模拟)设 F1， F2分别是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦x2a2 y2b2点， P是 C上一点，若| PF1| PF2|6 a，且 PF1F2的最小内角的大小为 30，则双曲线C的渐近线方程是( )A x y0 B xy02 2C x2y0 D2 xy0解析：选 B 假设点 P
14、在双曲线的右支上，则Error!| PF1|4 a，| PF2|2 a.| F1F2|2 c2 a， PF1F2最短的边是 PF2， PF1F2的最小内角为 PF1F2.在 PF1F2中，由余弦定理得 4a216 a24 c224 a2ccos 30， c22 ac3 a20，3 e22 e30， e ， ，3 3ca 3 c23 a2， a2 b23 a2， b22 a2， ，双曲线的渐近线方程为 xy0，故选 B.ba 2 211(2017全国卷)双曲线 1( a0)的一条渐近线方程为 y x，则x2a2 y29 35a_.解析：双曲线的标准方程为 1( a0)，双曲线的渐近线方程为 y
15、x.x2a2 y29 3a又双曲线的一条渐近线方程为 y x， a5.35答案：512(2017山东高考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 1( a0， b0)的右x2a2 y2b2支与焦点为 F的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B两点若| AF| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义可知|AF| y1 ，| BF| y2 ，| OF| ，p2 p2 p2由| AF| BF| y1 y2 y1 y2 p4| OF|2 p，得 y1 y2 p.p2 p27联立Error! 消去 x，得 a2y22 pb2y a
16、2b20，所以 y1 y2 ，所以 p，2pb2a2 2pb2a2即 ，故 ，b2a2 12 ba 22所以双曲线的渐近线方程为 y x.22答案： y x2213(2019成都毕业班摸底测试)已知双曲线 1( a0)和抛物线 y28 x有相x2a2 y22同的焦点，则双曲线的离心率为_解析：易知抛物线 y28 x的焦点为(2,0)，所以双曲线 1 的焦点为(2,0)，则x2a2 y22a222 2，即 a ，所以双曲线的离心率 e .2ca 22 2答案： 214(2019南昌调研)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F，过点 Fx2a2 y2b2作圆( x a)2 y2 的切
17、线，若该切线恰好与 C的一条渐近线垂直，则双曲线 C的离心率c216为_解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为 y x，由题意可知该切线方程为bay (x c)，即 ax by ac0.又圆( x a)2 y2 的圆心为( a,0)，半径为 ，则圆心ab c216 c4到切线的距离 d ，又 e ，则 e24 e40，解得 e2.|a2 ac|a2 b2 ac a2c c4 ca答案：215(2019西安铁一中模拟)已知点 F1， F2分别是双曲线 C： x2 1( b0)的左、y2b2右焦点，过 F2作垂直于 x轴的直线，在 x轴上方交双曲线 C于点 M， MF1F230.(1)求双曲线 C的
18、方程；(2)过双曲线 C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1， P2，求 的值PP1 PP2 解：(1)由题易知 F2( ，0)，可设 M( ， y1)1 b2 1 b2因为点 M在双曲线 C上且在 x轴上方，所以 1 b2 1，得 y1 b2，所以| F2M| b2.在y21b28Rt MF2F1中， MF1F230，| MF2| b2，所以| MF1|2 b2.由双曲线的定义可知，|MF1| MF2| b22，故双曲线 C的方程为 x2 1.y22(2)易知两条渐近线方程分别为 l1： x y0， l2： x y0.2 2设双曲线 C上的点 P(x0， y0)，两条渐
19、近线的夹角为 ，不妨设 P1在 l1上， P2在 l2上，则点 P到两条渐近线的距离分别为| PP1| ，| PP2| .|2x0 y0|3 |2x0 y0|3因为 P(x0， y0)在双曲线 x2 1 上，y22所以 2x y 2，20 20又易知 cos ，13所以 cos .PP1 PP2 |2x0 y0|3 |2x0 y0|3 |2x20 y20|3 13 2916(2019湛江模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F(c,0)x2a2 y2b2(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y x且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O为圆心， c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的
20、交点为 A，过 A作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率3解：(1)因为双曲线的渐近线方程为 y x，所以 a b，ba所以 c2 a2 b22 a24，所以 a2 b22，所以双曲线的方程为 1.x22 y22(2)设点 A的坐标为( x0， y0)，所以直线 AO的斜率满足 ( )1，y0x0 3所以 x0 y0，3依题意，圆的方程为 x2 y2 c2，将代入圆的方程得 3y y c2，即 y0 c，20 2012所以 x0 c，所以点 A的坐标为 ，32 (32c， 12c)代入双曲线方程得 1，34c2a214c2b29即 b2c2 a2c2 a2b2，34 14又因为 a2 b2 c2，所以将 b2 c2 a2代入式，整理得 c42 a2c2 a40，34所以 3 48 240，(ca) (ca)所以(3 e22)( e22)0，因为 e1，所以 e ，2所以双曲线的离心率为 .210
